文档内容
第 05 讲 椭圆及其性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：椭圆的定义与标准方程........................................................................................................2
题型二：椭圆方程的充要条件............................................................................................................2
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题....................................................................3
题型四：椭圆上两点距离的最值问题................................................................................................3
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题............................................................................................4
题型六：离心率的值及取值范围........................................................................................................4
题型七：椭圆的简单几何性质问题....................................................................................................5
题型八：利用第一定义求解轨迹........................................................................................................6
题型九：椭圆的实际应用....................................................................................................................7
02 重难创新练......................................................................................................................................8
03 真题实战练....................................................................................................................................10题型一：椭圆的定义与标准方程
1．已知 ， 是椭圆C的两个焦点，过 且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且 ，
则椭圆C的标准方程为 ．
2．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，
且 ，且 ， ，则 的标准方程为 .
3．已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，则它的标准方程为 ．
题型二：椭圆方程的充要条件
4．若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 且
5．若曲线 表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若方程 表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南·模拟预测）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则（ ）A． B．
C． D． 或
8．设 为实数，若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
9．已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且 ，若
的面积为9，则 的值为 ．
10．设椭圆 的左右焦点为 ，椭圆上点 满足 ，则 的面积为
.
11．已知 ， 分别是椭圆C： 的左、右焦点，椭圆C的离心率为 ，P是C在
第一象限上的一点.若 ，则 .
12．已知椭圆 的焦点为 、 ， 为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则 的周长为
（ ）
A．10 B．13 C．14 D．16
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
13．（2024·宁夏银川·二模）已知椭圆C： 的左焦点为 ， 为椭圆C上任意一点，则
的最小值为 ．
14．已知 ，点 在点 ， 所在的一个平面内运动且 ，则 的最大值是 ，最小
值是 ．
15．过椭圆 的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为 ，过点 且斜率为 的直
线与 相交于 两点，若 恰好是 的中点，则椭圆 上一点 到 的距离的最大值为 .16．已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆 上的一个动点，定点 ，则 的最
大值为 ．
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
17．设实数 满足 的最小值为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
18．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，A是C上一
点， ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
19．已知点P为椭圆 上任意一点，点M、N分别为 和 上的点，则
的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
20．已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
题型六：离心率的值及取值范围
21．已知椭圆 的左右焦点为 ， ，以 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆
离心率的范围为（ ）．
A． B． C． D．
22．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，过坐标原点 的直线 与椭
圆 交于 ， 两点．在 中， ，且满足 ，则椭圆 的离心率为
．
23．（2024·高三·河北保定·开学考试）如图，设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，右顶点为 ，且 ，则 的离心率为 .
24．（2024·高三·福建·开学考试）已知椭圆 的右焦点F与抛物线 焦点重合，M
是椭圆与抛物线的一个公共点， ，则椭圆的离心率为 .
25．（2024·高三·河北沧州·期中）已知 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上一
点，且 的周长为6，面积的最大值为 ，则椭圆 的离心率为 .
26．已知 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点，若 的三边 成等差数列，则
的离心率为 ．
27．如图所示，已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 在 上，点 在 轴上，
，则 的离心率为 .
题型七：椭圆的简单几何性质问题
28．（多选题）连接椭圆 的三个顶点所围成的三角形面积为 ，记椭圆C的右焦
点为 ，则（ ）
A． B．椭圆 的离心率为
C．椭圆 的焦距为 D．椭圆 上存在点P，使29．（多选题）（2024·福建厦门·一模）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过
的直线与 交于A，B两点，若 ，且 的周长为8，则（ ）
A． B． 的离心率为
C． 可以为 D． 可以为直角
30．（多选题）若矩形 的所有顶点都在椭圆 上，且 ， ，点
是 上与 不重合的动点，则（ ）
A． 的长轴长为4 B．存在点 ，使得
C．直线 的斜率之积恒为 D．直线 的斜率之积恒为
31．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆E上，则
（ ）
A．点 在x轴上 B．椭圆E的长轴长为4
C．椭圆E的离心率为 D．使得 为直角三角形的点P恰有6个
32．（多选题）（2024·高三·河南·期中）已知F，F 分别是椭圆 的左、右焦点，且
1 2
，直线 与椭圆的另一个交点为B，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是短轴长的 倍 B．线段 的长度为
C．椭圆的离心率为 D． 的周长为
33．（多选题）（2024·全国·二模）已知圆O： 经过椭圆C： （ ）的两个焦
点 ， ，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且 的面积为1，则下列结论正确的是
（ ）
A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2
C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为题型八：利用第一定义求解轨迹
34．（2024·安徽·二模）已知定点 ， ， ，以 为一个焦点作过 ， 两点的椭圆，
则椭圆的另一个焦点 的轨迹方程是 ．
35． 已知 ， 是圆 上一动点，线段 的垂直平分线交 于点 ，则动
点 的轨迹方程为 .
36．（2024·高三·广东揭阳·期中）设 ， 两点的坐标分别为 ， ，直线 、 相交于点 ，
且它们的斜率之积是 ，则点 的轨迹方程是 .
37．若 的两个顶点 ， ，周长为 ，则第三个顶点 的轨迹方程是 ．
38．圆 与 的位置关系为 ；与圆 ， 都内切的动圆圆心的
轨迹方程为 ．
题型九：椭圆的实际应用
39．（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点
变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在 点第二次变轨进入仍以 为一个
焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在 点第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用
和 分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）
A． B．
C． D．
40． 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站
的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点
（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为 ，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离
为 ，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为 （用 ， ，R表示）．
41．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆
形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆
轨道Ⅱ的离心率为 .（用R、r表示）
1．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆 的左焦点、右顶点， 满足
，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 的短轴长为2，则其离心率为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆 的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的
两点．则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆 的左右焦点为 ，右顶点为 ，已知点
在椭圆 上，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．5．（2024·浙江·模拟预测）已知 ， 分别为椭圆C： 的左右焦点，过 的一条直
线与C交于A，B两点，且 ， ，则椭圆长轴长的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．
6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线
交椭圆于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
7．（2024·江西新余·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 的左右焦点分别为 ，经过 的直线 与
交于 两点，若 ， ， ，则 的方程为：（ ）.
A． B． C． D．
8．（2024·内蒙古包头·三模）设O为坐标原点， ， 为椭圆C： 的左，右两个焦点，点R在
C上，点 是线段 上靠近点 的三等分点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 过点 ，其右顶点 ，上顶点
．那么以下说法正确的是（ ）
A．设 是半焦距 到 的其中一个焦点的距离，那么必然有
B． 到直线 的距离 不是定值
C． 和 没有交点
D．三角形 面积的取值范围是
10．（多选题）（2024·四川·一模）已知椭圆 的左顶点为 ，左、右焦点分别为 ，过点
的直线与椭圆相交于 两点，则（ ）
A．
B．
C．当 不共线时， 的周长为D．设点 到直线 的距离为 ，则
11．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知椭圆 的上顶点为 ，右顶点为
A，左、右焦点分别为 ， ．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点
M，直线PB与x轴交于点N，则（ ）
A．C的方程为 B． 面积的最大值为2
C．坐标原点O到直线AB的距离为 D．
12．（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知 ， ， ，动点 满足 与 的斜率之
积为 ，动点 的轨迹记为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，且 ， 的中点为 ，则（ ）
A． 的轨迹方程为
B． 的最小值为1
C．若 为坐标原点，则 面积的最大值为
D．若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 点的横坐标是 点的横坐标的 倍
13．（2024·广东佛山·模拟预测）定义离心率 的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆
是“西瓜椭圆”，则 .若“西瓜椭圆” 的右焦点为
，直线 与椭圆 交于 两点，以线段 为直径的圆过点 ，则 ．
14．（2024·山东济南·三模）已知 是椭圆 的左，右焦点，点 为椭圆上一点，
为坐标原点， 为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
15．（2024·山东·二模）已知椭圆 的焦点分别是 ， ，点 在椭圆上，如果 ，
那么点 到 轴的距离是 .
16．（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过 且
斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点（ 在 左侧），若 ，则 的离心率为
.1．（2022年高考全国甲卷数学真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的
左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年高考全国甲卷数学真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且
关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021年全国高考乙卷数学试题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点
都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为
， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
．
6．（2021年浙江省高考数学试题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过
的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是
，椭圆的离心率是 .7．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点
的四边形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点
和 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
8．（2024年高考全国甲卷数学真题）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，
且 轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明：
轴．
9．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆 椭圆的离心率 ．左顶点为 ，下顶点
为 是线段 的中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 ．若存在求出这
个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
10．（2023年天津高考数学真题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，
已知 ．
(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积
的二倍，求直线 的方程．
11．（2022年新高考天津数学高考真题）椭圆 的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B
满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的方程．
