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专题 23.2 模型构建专题：旋转中的常见模型
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 “手拉手”模型】............................................................................................................................1
【变式1 等边三角形——等腰直角三角形】.........................................................................................3
【变式2 特殊三角形——矩形】...........................................................................................................12
【变式3 特殊三角形——正方形】.......................................................................................................16
【类型二 “半角”模型】..............................................................................................................................22
【典型例题】
【类型一 “手拉手”模型】
例题：（2023秋·河南信阳·九年级统考期末） 和△ADE都是等边三角形．将△ADE绕点 旋转到图
①的位置时，连接 并延长相交于点 （点 与点 重合），有 （或 ）成
立．
(1)将△ADE绕点 旋转到图②的位置时，连接 相交于点 ，连接 ，猜想线段 之
间有怎样的数量关系？并加以证明；
(2)将△ADE绕点 旋转到图③的位置时，连接 相交于点 ，连接 ，猜想线段 之
间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1) ，证明见解析(2)
【分析】（1）在 上截取 ，连接 ，证明 和 ，得
，再证明 是等边三角形，得 ，最后由线段的和可得结论；
（2）在 上截取 ，连接 ，证明 和 ，得
，再证明 是等边三角形，得 ，最后由线段的和可得结论．
【详解】（1）解： ，
理由如下：
如图②，在 上截取 ，连接 ，
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
如图③，在 上截取 ，连接 ，
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质、全等三
角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
【变式1 等边三角形——等腰直角三角形】
例题：（2023春·吉林长春·七年级校考期末）【阅读材料】两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具
有公共的顶点，且当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等三角形，则把具有这种规律的图形称为
“手拉手”图形，如图1，在“手拉手”图形中，若 ， ， ，则 ≌
．(1)【材料理解】在图1中证明．
(2)【问题解决】如图2， 和 都是等腰三角形， ， ， ，线段
与线段 交于点F，延长 交 于点 ，求证： ．下面是小明的部分证明过程：
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
请你补全余下的证明过程．
(3)【结论应用】如图3， 是等腰三角形， ， 、 分别为边 、 上的点，且满足
，连接 ，将 以点 为旋转中心按逆时针方向旋转，旋转角为 ，当线段
与 的腰有交点，且直线 垂直于 的腰时，直接写出 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) 或
【分析】（1）根据 得 ，再结合全等三角形的判定条件 证明即可；
（2）根据三角形内角和定理，证明 ，结合 ，即可证明 ；
（3）根据直线 垂直于 的腰 和 时的图，结合三角内角和定理分别求出 和 的
度数，再结合逆时针旋转方向求出旋转角即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，∴ ≌ ，
（2）：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3） 旋转至垂直 时，如图4所示，
,
∵ ， ，
∴ ，
∵ 以点 为旋转中心按逆时针方向旋转至 ，
∴ ，
∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 旋转至垂直 时， 以点 为旋转中心按逆时针方向旋转角度为 ；
旋转至垂直 时，如图5所示，∵ 以点 为旋转中心按逆时针方向旋转至 ，
∴ ，
∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 旋转至垂直 时， 以点 为旋转中心按逆时针方向旋转角度为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形的内角和和图形的旋转，熟练掌握各
个性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河北张家口·八年级统考期中）已知 和 都是等腰直角三角形（
）， ．
(1)如图①，连 ， ，求证： ；
(2)若将 绕点 顺时针旋转．
①如图②，当点 恰好在 边上时，求证： ；
②当点 ， ， 在同一条直线上时，若 ， ，请直接写出线段 的长．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② 或
【分析】（1）利用 证明 即可；
（2）①连接 ，证明 ，得 ，结合等腰直角三角形的性质，即可证
；②分当点 在线段 上时，和当点 在线段 上时，两种情况分类讨论．情况
一：当点 在线段 上时，连接 ，过点 作 于 ，根据 ，得 ，
根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，先算出 ， ，再根据 计算即可；情况
二：当点 在线段 上时，连接 ，过点 作 于 ，先利用 证 ，得
，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，算出 ， ，最后根据
计算即可．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
和 是等腰直角三角形，
， ，
在 和 中，
，
；
（2）解：①证明：如下图，连接 ，
，
，
即 ，
和 是等腰直角三角形，， ， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
②情况一：如下图，当点 在线段 上时，连接 ，过点 作 于 ，
由（1）得 ，
，
和 都是等腰直角三角形， ， ， ， ，
， ，
，
，
；
情况二：如下图，当点 在线段 上时，连接 ，过点 作 于 ，，
，
即 ，
和 都是等腰直角三角形， ， ， ， ，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
综上，线段 的长为 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
等知识，结合图形正确判断全等三角形是解题的关键．
2．（2023春·江西吉安·八年级校联考期中）如图1，在 中， ， ，点 ，
分别在边 ， 上，且 ，连接 ．现将 绕点 顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接 ， ， ．
(1)当 时，如图2，求证： ；
(2)当 时，如图3，延长 交 于点 ，求证： 垂直平分 ；
(3)在旋转过程中，当 的面积最大时，直接写出此时旋转角 的度数和 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，
【分析】（1）利用 “ ”证得 即可得到结论；
（2）利用 “ ”证得 ，推出 ，计算得出 ，利用等腰三
角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段 的垂直平分线上时， 的面积取得最大值，利用等腰直角三角形
的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意： ， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；（2）解：根据题意： ， ， ，
在 和 中，
，
，
，
，且 ，
，
，
，
， ， ，
， ，
，
，
是线段 的垂直平分线；
（3）解： 中，边 的长是定值，则 边上的高取最大值时 的面积有最大值，
当点 在线段 的垂直平分线上时， 的面积取得最大值，如图：
， ， ， 于 ，
， ，， ，
的面积的最大值为：
，旋转角 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直
平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式2 特殊三角形——矩形】
例题：（2023春·福建福州·八年级统考期末）矩形 的边长 ， ，将矩形 绕点 顺
时针旋转角 得到矩形 ，点 、 、 的对应点分别为 、 、 ．
(1)如图 ，当 过点 时，求 的长；
(2)如图 ，当点 落在 上时，连结 、 ．
①四边形 是何特殊的四边形？请说明理由；
②证明点 、 、 三点共线．
【答案】(1)
(2)①四边形是 为平行四边形，理由见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可得 的长度，在 中，根据勾股定理即可求解；
（2）①矩形 是由矩形 旋转所得，则有 ，可证 ， ，再
结合平行四边形的判定方法即可求证；②根据平行的性质即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
由旋转的性质得： ，
在 中， ，由勾股定理得： ．
（2）解：①四边形 是平行四边形，理由如下：
如图所示，
矩形 是由矩形 旋转所得，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
又 ，
四边形是 为平行四边形；
②证明：∵矩形 中， ，由上述①可知，四边形是 为平行四边形，即 ，
∴点 、 、 三点共线．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的旋转的性质，勾股定理求线段长度的综合，掌握
以上知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）【探索发现】（1）如图1，正方形 的对角线相交于点O，
点O又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形 绕点
O怎么转动，总有 ，连接 ，求证： ．
【类比迁移】（2）如图2，矩形 的中心O是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点E，与边 相交于点F，连接 ，矩形 可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，
请证明，若不成立，请说明理由；
【迁移拓展】（3）如图3，在 中， ， ， ，直角 的顶点D在
边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 相交于点E，F， 可绕着点D旋转，当
时，直接写出线段 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）仍然成立，证明见解析；（3） 或 cm
【分析】（1）根据正方形的性质证明 ，推出 ，得到 ，然后根据勾股定
理和线段的代换即可证得结论；
（2）连接 ，证明 ，可得 ，然后根据勾股定理和线段的代换证明即
可；
（3）设 ，分两种情况：当点F在边 上，点F在边 延长线上时，结合（2）的结论利用勾股
定理构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 、 都是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形 中， ，
∴ ；（2） 仍然成立；
证明：连接 ，∵O是矩形 的中心，
∴O在 上，且 ，
延长 交 于G，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵矩形 中， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
在直角三角形 中， ，
∴ ；
（3）当点F在边 上时，如图，因为 ，所以 ，
根据（2）的结论可得： ，
设 ，则 ，则 ，解得 ，即 ，
∴ （cm）；
当点F在边 延长线上时，如图，同理可证： ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，即 ，
∴ （cm）；
综上， 或 cm．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握
相关图形的性质定理、灵活利用方程思想是解题的关键．
【变式3 特殊三角形——正方形】
例题：（2023·山西大同·校联考三模）综合与实践：问题情景：如图1、正方形 与正方形 的边 ， 在一条直线上，正方形 以
点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重
合，连接 ， ．
(1)操作发现：当正方形 旋转至如图2所示的位置时，求证： ；
(2)操作发现：如图3，当点E在 延长线上时，连接 ，求 的度数；
(3)问题解决：如图4， 如果 ， ， ，请直接写出点G到 的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质可得 ， ， ， ，
从而证明 ，即可得出结论；
（2）过F作 ，垂足为H，证明 ，可得 ， ，从而可得
，再由 ，即可求解；
（3）连接 ， ，过点B作 于点H，根据正方形的性质可得 ，从而可得
，再利用勾股定理求得 ，再由 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
又∵四边形 是正方形，
∴ ， ，∴ ．
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解；过F作 ，垂足为H，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形AEFG是正方形，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，（3）解：如图，连接 ， ，过点B作 于点H，
∵ 是正方形 的对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
设点G到 的距离为h，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴点G到 的距离为 ．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的
性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活
动：在正方形 的边 上任意取一点G，以 为边长向外作正方形 ，将正方形 绕点B顺时针旋转．
特例感知：
（1）当 在 上时，连接 相交于点P，小红发现点P恰为 的中点，如图①．针对小红发
现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接 ，并延长与 相交，发现交点恰好也是 中点P，如图②，根据小红发现的结
论，请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形 绕点B顺时针旋转 ，连接 ，点P是 中点，连接 ， ， ，
△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）△APE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）△APE的形状不改变，见解
析
【分析】（1）连接 ， ， ，根据正方形的性质求出 ，证明 ，推出
，再利用余角的性质求出 ，推出 即可；
（2）根据正方形的性质直接得到 ，推出 ，得到△APE是等腰直
角三角形；
（3）延长 至点M，使 ，连接 ，证明 ，得到
，推出 ，设 交 于点H，交 于点N，得到 ，
由 得到 ，推出 ，进而得到
，再证明 ，得到 ， ，证得 ，再
由 ，根据等腰三角形的三线合一的性质求出 ，即可证得△APE是等腰直
角三角形．
【详解】（1）证明：连接 ， ， ，如图，∵四边形 ， 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点P恰为 的中点；
（2）△APE是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形 ， 都是正方形，
∴
∴ ，
∴△APE是等腰直角三角形；
（3）△APE的形状不改变，
延长 至点M，使 ，连接 ，∵四边形 、四边形 都是正方形，
∴ ， ，
∵点P为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 交 于点H，交 于点N，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△APE是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的
性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的
关键．
【类型二 “半角”模型】
例题：（2023春·福建漳州·八年级校考期中）（1）【发现证明】老师在数学课上提出一个问题：如图1，
点E、F分别在正方形 的边 、 上， ，请试判断 、 、 之间的数量关系，
小聪把 绕点A逆时针旋转 至 ，发现 ，请你利用图1证明上述结论．
（2）【类比引申】如图2，四边形 中， ， ， ，点E、F分别在
边 、 上，要使得 仍然成立，则 与 应满足什么数量关系？请说明理由．
（3）【探究应用】如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ．已知 米，
， ， ，道路 、 上分别有景点E、F，且 ，
）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长，
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 米
【分析】（1）根据旋转的性质，得到 ， ，从而证明 ，可证
得出 即可；（2）仿照（1）的方法将 绕点A顺时针旋转 至 ，则可通过的相同的方法证明
，即可证出；
（3）将 绕点A逆时针旋转 至 ，连接 ，过A作 ，垂足为H，得到点G在
的延长线上，求出 ， ，得到 ，求出 ，进而得到
，推出 ，由此得到 求出
结果．
【详解】（1）解：∵ 绕点A逆时针旋转 至 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
理由如下：将 绕点A顺时针旋转 至 ，
∵ 绕点A顺时针旋转 至 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，则点M、B、E共线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（3）解：将 绕点A逆时针旋转 至 ，连接 ，过A作 ，垂足为H，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ 米，
根据旋转的性质得到 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，即点G在 的延长线上，
又∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，根据（2）中结论有： （米），
即这条道路 的长为 米．
【点睛】本题考查了全等三角形，旋转的性质，对于大角中等于其中包含的小角的2倍的问题，可利用题
中旋转的方法补全三角形，再通过证明三角形全等的方法求解相关线段．
【变式训练】
1．（2023春·河南信阳·八年级校考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的
目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图 ，点 、 分别在正方形 的边 、 上， ，连接 ，则 ，
试说明理由．
(1)梳理
，
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合．
，
，点 、 、 共线．
根据 ，易证 ，得 ．
(2)引申
如图 ，四边形 中， ， 点 、 分别在边 、 上， ，若 、
都不是直角，则当 与 满足等量关系 时，仍有 ．
(3)联想拓展
如图 ，在 中， ， ，点 、 均在边 上，且 ，猜想 、 、
应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】(1) ，
(2)(3) ，见解析
【分析】 把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，再证明 ≌ 进而
得到 ，即可得 ；
时， ，与 的证法类同；
根据 绕点A顺时针旋转 得到 ，根据旋转的性质，可知 ≌ 得到 ，
， ， ，根据 中的， 得到 ，所以
，证 ≌ ，利用 得到 ；
【详解】（1）证明： ，
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合．
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中
，
≌ ，
，
即： ．
（2）解：延长 至点G，连接 ，如图所示，时， ；
，
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，
， ，
， ，
，
，
当 ，点 、 、 共线时，
在 和 中
，
≌ ，
，
∵ ，
即： ．
故答案为： ；
（3）解：猜想： ．
把 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，
，
， ，， ，
在 中， ，
，
，
即 ，
，
又 ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明≌此题是一道综合题，难度较大，题目所
给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
