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专题 24.12 切线长定理（2 大考点 10 类题型）（知识梳理与题型分
类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点一】切线长定理
1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
【要点提示】切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，
而非线段.
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两
条切线的夹角.
【要点提示】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
【知识点二】三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
【要点提示】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径
乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一
接圆的圆心) 交点 定在三角形内部
内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等；
切圆的圆心) 的交点 (2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
【题型目录】
【题型1】应用切线长定理求解.................................................2【题型2】应用切线长定理求证.................................................3
【题型3】过圆外一点作圆的切线...............................................3
【题型4】圆外切四边形模型...................................................4
【题型5】直角三角形周长、面积和内切圆关系...................................5
【题型6】一般三角形周长、面积和内切圆关系...................................5
【题型7】三角形内心的应用...................................................6
【题型8】三角形内切圆和外接圆综合...........................................6
【题型9】直通中考...........................................................7
【题型10】拓展延伸..........................................................8
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】应用切线长定理求解
【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知 、 分别切 于 、 ， 为劣弧 上一点，过
点的切线交 于 、交 于 ．
(1)若 ，求 的周长． (2)若 求 ．
【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， 的直径 ， ， 分别是它的两
条切线， 与 相切于点 ，并与 ， 分别交于 ， 两点， ， ，则 关于
的函数表达式为 ．【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 为 外一点， 分别切 于点 ，
切 于点 ，分别交 于点 ，若 ，则 的周长为 ．
【题型2】应用切线长定理求证
【例2】（23-24九年级上·河南安阳·期中）如图，在 中， ，以 为直径的 交
于点D，过点D的切线交 于点E．求证： ．
【变式】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图， 切 于 ， 切 于 ， 交 于 ，连
接 ，下列结论中，错误的是（ ）．
A． B． C． D．以上都不对
【题型3】过圆外一点作圆的切线
【例3】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）过圆外一点P做 的切线，尺规作图保留作图痕迹，用
两种方法．
【变式】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程：
已知：如图， 及 外一点 ．作法： 连结 ，作线段 的垂直平分线 交 于点 ；
以点 为圆心， 的长为半径作圆，交 于点 、点 ；
作直线 ， ．
说明：连结 ．
∵以点 为圆心， 的长为半径作圆，∴ 为 的直径，∴ °．
∵ 为半径，∴ 为 的 ，且 （填“ ”、“ ”或“ ”）．
【题型4】圆外切四边形模型
【例4】（19-20九年级上·山东·课后作业）如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯
形的周长．
【变式1】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图， 是四边形 的内切圆．若 ，则
（ ）
A． B． C． D．【变式2】（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，
则∠AOD＝ ．
【题型5】直角三角形周长、面积和内切圆关系
【例5】（2024九年级上·全国·专题练习）已知：如图， 是 的内切圆， ．若
， ，求 的半径r；若 ， ， ，求 的半径r．
【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，
内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在 中， ， 是 的内切
圆，切点分别为D、E、F，若 ， ，则 的半径为 ．
【题型6】一般三角形周长、面积和内切圆关系
【例6】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图， 为 的内切圆，切点分别为 ，点
分别为 上的点，且 为 的切线．(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的周长．
【变式1】．（2024·广东广州·一模）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ，
，若 的半径为 ， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．0， B． ，
C． ， D． ，
【变式2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知 的三边长为 ， ， ，则三角
形内切圆半径为 ．
【题型7】三角形内心的有关应用
【例7】（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形 内接于 ， ，点 是 的内心，
连接 并延长交 于点 ，点 在 的延长线上，满足 ．试证明：
(1) 所在的直线经过点I； (2)点D是 的中点．【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点I为 的内心，连接 并延长，交 的外
接圆于点D，点E为弦 的中点，连接 ， ， ，当 ， ， 时， 的长为
（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【变式2】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，点O是 的内心， ，则
．
【题型8】三角形内切圆和外接圆综合
【例8】（22-23九年级上·江苏盐城·）如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点D．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)连接 、 ，求证：点D是 的外心．
【变式1】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图， 中， ， ，内心为I，连接
并延长交 的外接圆于D，若 ，则 （ ）A． B．1 C． D．
【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）一个直角三角形两条直角边的长分别为 ， ，则这个
直角三角形的内心与外心之间的距离是 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型9】直通中考
【例1】（2024·四川内江·中考真题）如图，在 中， ， ， 是 边上一点，且
，点 是 的内心， 的延长线交 于点 ， 是 上一动点，连接 、 ，则
的最小值为 ．
【例2】（2024·四川泸州·中考真题）如图， ， 是 的切线，切点为A，D，点B，C在 上，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型10】拓展延伸【例1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【习题再现】
（教材P74第10题）如图①，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点 ． 和 相等
吗？为什么？
（不需解答，请看下面的问题）
【逆向思考】
(1)如图（1）， 为 内一点， 的延长线交 的外接圆于点 ．若 ，求证：
为 的内心；
【拓展提高】
(2)如图（2） 的半径长为5，弦 ，动点 在优弧 上（不与 、 重合）， 是 的内
心．
①点 到 上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点；
② 的最大值为______．
【例2】（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在 中， ，经过点 的 与斜边
相切于点 ．
(1)如图①，当点 在 上时，试说明 ；
(2)如图②， ，当点O在 外部时，求 长的取值范围．
