文档内容
第 07 讲 函数与方程
目录
模拟基础练............................................................................................................................................2
题型一：求函数的零点或零点所在区间....................................................................................................................2
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围........................................................................................................2
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题....................................................................................................3
题型四：嵌套函数的零点问题....................................................................................................................................3
题型五：函数的对称问题............................................................................................................................................4
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型............................................................................................................5
题型七：唯一零点求值问题........................................................................................................................................5
题型八：分段函数的零点问题....................................................................................................................................6
题型九：零点嵌套问题................................................................................................................................................7
题型十：等高线问题....................................................................................................................................................7
题型十一：二分法.........................................................................................................................................................8
重难创新练............................................................................................................................................9
真题实战练..........................................................................................................................................11题型一：求函数的零点或零点所在区间
1．（2024·高三·北京东城·开学考试）已知函数 则函数 的零点为
2．（2024·高三·浙江宁波·期末）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·高三·江苏常州·开学考试）已知函数 则函数 的所有零点构
成的集合为 ．
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
5．（2024·高三·广东深圳·期末）已知函数 在 内有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·宁夏银川·三模）函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数 存在1个零点位于 内，则a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．8．函数 的一个零点在区间 内，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数 的零点位于区间 内，则整数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
10．函数 的零点个数为
11．已知函数 ，则方程 的解的个数是 .
12．（2024·青海西宁·二模）记 是不小于 的最小整数,例如 ,则函数
的零点个数为 .
13．函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：嵌套函数的零点问题
14．已知函数 ,若关于 的方程 恰有5个不同的实数
解，则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数 ，方程 有6个不同的实数解，则实数 的
取值范围是（ ）A． B． C． D．
16．（2024·高三·天津滨海新·开学考试）已知函数 ，关于x的方程
在 上有四个不同的解 ，且 ，若
恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．定义域为 的函数 ，若关于x的方程 恰有5个不同的实数解 ，
， ， ， ，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．0
题型五：函数的对称问题
18．（2024·河南洛阳·一模）已知函数 的图象上存在点 ，函数 的图象上
存在点 ，且 ， 关于 轴对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知函数 的图象上存在点 ，函数 的图象上
存在点 ，且点 关于原点对称，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·高三·湖北鄂州·期末）若不同两点 、 均在函数 的图象上，且点 、 关于原点对
称，则称 是函数 的一个“匹配点对”（点对 与 视为同一个“匹配点对”）.已知
恰有两个“匹配点对”，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
21．（2024·江西·一模）已知函数 ，与函数 ，若 与 的图象上分别
存在点 ，使得 关于直线 对称，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
22．（2024·江西·模拟预测）函数 ， （ ），若 与 的图象上分别
存在点 ， 关于直线 对称，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
23．（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数 至少存在一个零点，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
24．已知函数 的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数
的图象上，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
25．（2024·全国·高三假期作业）若存在两个正实数 、 ，使得等式 成立，
其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．题型七：唯一零点求值问题
26．已知函数 有唯一零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·全国·模拟预测）若函数 有唯一零点，则实数 的值为（ ）
A．0 B．－2 C．2 D．－1
28．已知函数 有唯一零点，则 （ ）
A．1 B． C． D．
29．（2024·广东茂名·二模）已知函数 ， 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
30．已知关于 的函数 有唯一零点 ，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．4
题型八：分段函数的零点问题
31．（2024·河南开封·模拟预测）已知 若函数 有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．（2024·全国·模拟预测）若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
33．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．434．（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数 ， 若函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
35．若函数 有且只有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型九：零点嵌套问题
36．（2024·辽宁·二模）已知函数 有三个不同的零点 ， ， ，
且 ，则 的值为（ ）
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9
37．（2024·四川南充·二模）已知函数 有三个不同的零点 ，且
．则实数 的值为（ ）
A． B． C．－1 D．1
38．（2024·高三·浙江绍兴·期中）已知函数 有三个不同的零点 .其中
，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
题型十：等高线问题
39．已知函数 若函数 有四个不同的零点，记作
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．40．设函数 若关于 的方程 有四个实根 ，则
的最小值为（ ）
A． B．23 C． D．24
41．已知函数 ，若 ，且 ，则 ·c的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
42．（2024·贵州贵阳·一模）设函数 ，则下列判断错误的是（ ）
A．方程 的实数根为-2，0， ，2
B．若方程 有3个互不相等的实数根，则 的取值范围为
C．若方程 有4个互不相等的实数根 ，则 的取
值范围为
D．若方程 有3个互不相等的实数根 ，则 的取值范围为
题型十一：二分法
43．某同学用二分法求函数 的零点时，计算出如下结果： ，
，下列说法正确的有（ ）
A． 是满足精度为 的近似值.
B． 是满足精度为 的近似值
C． 是满足精度为 的近似值
D． 是满足精度为 的近似值
44．若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程 的一个近似根(精确度为 )可以是（ ）
A． B．
C． D．
45．用二分法求函数 的零点时，初始区间可选为（ ）
A． B．
C． D．
46．函数 在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间 至少二等分
（ ）
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
47．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
48．函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.441．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若关于 的方程 在 上恰
有一个实数根 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
3．（2024·内蒙古·三模）已知奇函数 的定义域为R ，且 ，则 在
上的零点个数的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
4．（2024·四川内江·三模）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ， ，若关于 的方程
有两个不等实根 ，且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知 ， ，则下面正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·北京通州·二模）已知函数 ， ，若关于x的方程
恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知两函数 与 的图象有两个交点，则不满足条件的
的值是（ ）
A． B． C． D．4
9．（多选题）已知 为方程 的根， 为方程 的根，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2024·福建福州·三模）已知实数 满足： ，则下列不等式中可能成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（2024·河北·三模）已知 有三个不相等的零点 且
，则下列命题正确的是（ ）
A．存在实数 ，使得
B．
C．
D． 为定值
12．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 则方程
可能有（ ）个解.
A．3 B．4 C．5 D．6
13．（2024·江西景德镇·三模）不经过第四象限的直线 与函数 的图象从左往右依次交于三个
不同的点 ， ， ，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为 .
14．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数 的定义域为 ， ，且 ，则在 上的零点个数的最小值为 .
15．（2024·重庆·模拟预测）若函数 的图象与函数 的图象有三个不同的公共点，
则实数 的取值范围为 ．
16．（2024·山东泰安·三模）已知函数 若曲线 与直线 恰有2个公
共点，则 的取值范围是 .
17．（2024·天津·二模）设 ，函数 . 若 在区间 内
恰有2个零点，则 的取值范围是 .
1．（2021年天津高考数学试题）设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知当 时，函数
的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数
．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））函数 在 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2019年浙江省高考数学试卷）已知 ，函数 ，若函数
恰有三个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数 若函数 恰有
4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021年北京市高考数学试题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标III卷））函数 在 的
零点个数为 ．
9．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））已知 ，函数
若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是
.
10．（2019年江苏省高考数学试卷）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的
周期为2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .若在
区间 上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .
11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版））设 是定义在R 且周期为1的函数，在区间 上， 其中集合 ，则方程 的解的
个数是
12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知λ∈R，函数f(x)= ，
当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
13．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 与 在 上有两个不同的
交点，则 的取值范围为 ．
