文档内容
第 07 讲 函数的图象(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：画出函数的图象
高频考点二：函数图象的识别
高频考点三：函数图象的应用
①研究函数的性质
②确定零点个数
③解不等式
④求参数的取值范围
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 07 讲 函数的图象（精练）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个 加或者减，注意当 前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、对称变换
① 的图象 的图象；
② 的图象 的图象；
③ 的图象 的图象；
④ ( ，且 )的图象 ( ，且 )的图象.
3、伸缩变换
① .
② .
4、翻折变换（绝对值变换）① 的图象 的图象；
（口诀；以 轴为界，保留 轴上方的图象；将 轴下方的图象翻折到 轴上方）
② 的图象 的图象.
（口诀；以 轴为界，去掉 轴左侧的图象，保留 轴右侧的图象；将 轴右侧图象翻折到 轴左侧；本
质是个偶函数）
5、图象识别技巧（按使用频率优先级排序）
①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）
②单调性法（ ； ； ， ；通过求导判断单调性）
③奇偶性法
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
④极限（左右极限）（ ； ； ； ；）
⑤零点法
⑥极大值极小值法
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·陕西西安·高一期末）函数 的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
的定义域为 ，
，所以 是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误.
，所以B选项错误.
故选：C
2．（2022·北京·高三学业考试）函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由图象可知，当 时， .
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数 ， 的图象可能是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
A：没有幂函数图象，不符合；
B： 中 ， 中 ，不符合；
C： 中 ， 中 ，不符合；
D： 中 ， 中 ，符合.
故选：D.
4．（2022·浙江金华第一中学高一期末）图（1）是某条公共汽车线路收支差额 关于乘客量 的图象，图
（2）､（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是
（ ）
A．图（1）的点 的实际意义为：当乘客量为0时，亏损1个单位
B．图（1）的射线 上的点表示当乘客量小于3时将亏损，大于3时将盈利
C．图（2）的建议为降低成本而保持票价不变
D．图（3）的建议为降低成本的同时提高票价
【答案】D
A：当 时， ，所以当乘客量为0时，亏损1个单位，故本选项说法正确；
B：当 时， ，当 时， ，所以本选项说法正确；
C：降低成本而保持票价不变，两条线是平行，所以本选项正确；
D：由图可知中：成本不变，同时提高票价，所以本选项说法不正确，
故选：D第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：画出函数的图象
1．（2021·宁夏·银川市第六中学高一期中）已知函数 .
(1)证明 是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求函数 的值域.
【答案】(1)证明见解析；(2)图象见解析；(3)
(1)
解：由题知函数的定义域关于原点对称，
，
所以函数 是偶函数
(2)
解：由题知 ，
进而结合二次函数与分段函数的性质作图如下：(3)
解：由（2）的函数图象可知函数的最小值为 ，函数的最大值为 ，
所以函数 的值域为
2．（2021·山东临沂·高一期中）已知 是整数，幂函数 在 上单调递增．
(1)求 的解析式；
(2)若 ，画出函数 的大致图象；
(3)写出 的单调区间，并用定义法证明 在区间 上的单调性．
【答案】(1) (2)作图见解析
(3)单调减区间为 ， ，单调增区间为 ， ，证明见解析
(1)
解：由题意可知， ，即 ，
因为 是整数，所以 ，或 ，
当 时， ，当 时， ，
综上可知， 的解析式为 ；
(2)
解：由（1）知 ，则 ，
函数 的图象如图所示，(3)
解：由（2）可知， 的单调减区间为 ， ，单调增区间为 ， ，
当 时， ，
设任意的 ，且 ，
则 ，
∵ ，且 ，∴ ， ，
∴ ，即 ，
所以 在区间 上单调递增．
3．（2021·全国·高一课时练习）根据 的图像，作出下列函数的图像：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
(1)
作出函数 关于纵轴对称的图像，连同函数 的图像，就是该函数的图像，如下图所示：
(2)把函数 的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，
函数图像如下图所示：
(3)
作出函数 关于纵轴对称的图像，连同函数 的图像一起向右平移一个单位即可，如下图
所示：
(4)
把函数 的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个
单位，如下图所示：
高频考点二：函数图象的识别
1．（2022·福建福州·高一期末）已知函数 ，则 的大致图像为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
解：由题得 ，所以排除选项A,D.
,所以排除选项C.
故选：B
2．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
由题意知， ，解得 ，所以 定义域 关于原点对称，又因为
，所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.
当 时， ，排除B.
，函数只有1个零点，排除C.
故选：D
3．（2022·山东德州·高三期末）已知函数 ，则函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题可知：函数定义域为 ，
，
所以 ，故该函数为奇函数，排除A,C
又 ，所以排除B,
故选：D
4．（2022·浙江·高三学业考试）函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
因为函数 的定义域为R，且 不是偶函数，所以排除C、D；
又 ，排除A，即确定答案为B.
故选: B.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题可知函数定义域为 ，则 ，
又
所以 是奇函数，且 时， ，故选项A正确.
故选：A6．（2022·广西南宁·一模（文））函数 的图象最有可能是以下的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
定义域为 ，关于原点对称，又 ，所以
是奇函数，故排除CD，又 ，故排除A选项，B正确.
故选：B
7．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D对任意的 ， ，则函数 的定义域为 ，排除C选项；
， ，
所以，函数 为偶函数，排除B选项，
因为 ，排除A选项.
故选：D.
高频考点三：函数图象的应用
①研究函数的性质
1．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数 ，
则（ ）
A． 的最大值为3，最小值为1
B． 的最大值为 ，无最小值
C． 的最大值为 ，最小值为1
D． 的最大值为3，最小值为-1
【答案】B
解： ，
由 与 ，
解 得 ；
解 得 ；
所以 与 的交点坐标为 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 的图象如下图所示：由图象，可知最大值为 ，无最小值，
故选：B．
2．（2022·全国·高一期末）已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性，并证明；
(2)画出函数 的图象，并讨论方程 的解的个数.
【答案】(1)函数 为偶函数，证明见解析；
(2)图象见解析；当 时，方程的解为0个；当 或 时，方程的解为2个；当 时，
方程的解为4个；当 时，方程的解为3个.
(1)
函数 为偶函数，
∵ ，
∴ 的定义域为R，关于原点对称，
且 ，
所以 为偶函数；
(2)
因为 ，
所以函数 的图象如下所示：方程 的解的个数，即 与 的交点个数，结合函数图象可知：
当 时，有0个解，当 或 时，有2个解，当 时，有4个解，当 时，有3个
解.
3．（2022·山东潍坊·高一期末）已知定义在 上的奇函数 ，当 时， .
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)在给出的直角坐标系中作出 的图像，并写出函数 的单调区间.
【答案】(1)
(2)图像答案见解析，单调递增区间为 ，单调递减区间为
(1)
设 ，则 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，
又 为定义在 上的奇函数，所以 ，
所以
(2)
作出函数 的图像，如图所示：函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
②确定零点个数
1．（2022·全国·高三阶段练习）函数 的零点个数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
令 ，得 ；
在同一直角坐标系中分别作出 ， 的大致图象如图所示；
观察可知，两个函数的图象有 个交点（其中 个交点的横坐标介于 到 之间，另外两个交点分别为 ，
，故函数 的零点个数为 ，
故选：D．
2．（2022·江西·高一期末）已知函数 ，若方程 恰有两个不等的实根，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B方程 恰有两个不等的实根，
等价于 与 的图象有两个交点，
的图象如图所示，平移水平直线 可得 ，
故选：B.
3．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）函数 有三个不同的零点，则实数t的范
围是__________.
【答案】
作出函数 的图象和直线 ，如图，
由图象可得 时，直线与函数图象有三个交点，即函数 有三个零点．
．
故答案为： ．
4．（2022·湖南·高一课时练习）用图象法判定方程 的根的个数.
【答案】1
方程 根的个数，等价于函数 与 图象的交点个数，
函数 与 在同一坐标系中的图象如图所示，两函数图象只有一个交点，
所以方程 的根的个数为1
③解不等式
1．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数 的图象如图，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
不等式 ，则 或 ，
观察图象，解 得 ，解 得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D2．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
作出函数 与 的图象，如图，
当 时， ，作出函数 与 的图象，
由图象可知，此时解得 ；
当 时， ，作出函数 与 的图象，
它们的交点坐标为 、 ，结合图象知此时 .
所以不等式 的解集为 .
故选：C
3．（2022·北京·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
不等式 ，
分别画出函数 和 的图象，由图象可知 和 有两个交点，分别是 和 ，
由图象可知 的解集是
即不等式 的解集是 .
故选：B
4．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知定义在R上的函数 满足 ，且当
时， ，若对任 都有 ，则m的取值范围是_________．
【答案】 ， ．
解：因为 满足 ，即 ；
又由 ，可得 ，
画出当 ， 时， 的图象，
将 在 ， 的图象向右平移 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍），
再向左平移 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍），
由此得到函数 的图象如图：
当 ， 时， ， ， ，
又 ，所以 ，
令 ，由图像可得 ，则 ，解得 ，
所以当 时，满足对任意的 ， ，都有 ，
故 的范围为 ， ．
故答案为： ， ．④求参数的取值范围
1．（2022·山西·灵丘县第一中学校高二阶段练习）已知函数 若直线 与
有三个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设 与 相切于点 ，
则 ，解得 ，此时 ，
由 得 ，由 可得 ，此时切点为 ，
作出函数 与 的图象如图，
由图象可知，当 或 时，直线 与 有三个不同的交点，
故选：C
2．（2022·河北石家庄·高一期末）已知函数 ，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题设，将问题转化为 与 的图象有四个交点，
，则在 上递减且值域为 ；在 上递增且值域为 ；在 上
递减且值域为 ，在 上递增且值域为 ；
的图象如下：
所以 时， 与 的图象有四个交点，不妨假设 ，
由图及函数性质知： ，易知： ， ，
所以 .
故选：C
3．（多选）（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）函数 恰有2个零点，
则 的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】BD
解：由题意得：
当 时， ，该函数是由 向上或向下平移 个单位得到
当 时，
对于函数 ，令 ，则若 ，即 ，函数 与 轴没有交点，则 满足不等式组
故可取 ，如图1所示；
若 ，即 ，函数 与 轴有一个交点，则 满足不等式
或 ，解得 或 或无解，如图2所示；
又 ，解得 ，故可取
故选：BD
4．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数 若 且
，则 的最小值是________．
【答案】 ##函数 的图象如图所示．
令 ，则 ，所以 ．令 ，
，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ．
故答案为： ．
5．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数 有2个不同的零点，则k的取值范围是
____________．
【答案】
因为函数 有2个不同的零点，
所以关于 的方程 在区间 内有两个不等的实根，
即曲线 （圆 的上半部分）与经过定点 的直线 有两个不同的交点，
如图
过 作圆 的切线 ，则点 到切线 的距离 ，解得 （舍去）或 ，
所以 ，得 ，
即k的取值范围是 ，
故答案为：
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·天津·高考真题）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.
故选：B.2．（2021·浙江·高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
故选：D.
3．（2020·天津·高考真题）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项
CD错误；
当 时， ，选项B错误.
故选：A.
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象
的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函
数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4．（2020·北京·高考真题）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .
故选：D.
5．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，则 ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且 时， ，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象
的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函
数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
（1）函数 的图象如图所示：（2） ，
当 时， ，可得： ，
当 ， ，可得： ，
所以 的解集为： ，
所以 的取值范围为 .
第五部分：第 07 讲 函数的图象（精练）
一、单选题
1．（2022·湖南·高一课时练习）函数 与 的定义域均为 ，它们的图象如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解： 即为函数 的图像在函数 的图像的上方的部分对应自变量的范围，
由图可知，当 时， 或 ，
即不等式 的解集是 .故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图为函数 的图象，则该函数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由图可知， 时， ，ACD的函数 ,
故选：B.
3．（2022·北京交通大学附属中学高二阶段练习）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
根据题意，函数 ，其定义域为 ，
有 ，即函数 为奇函数，
当 时，有 ，函数的图象在第一象限，分析选项可得：C符合
故选：C
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数 ， ，且 的图
象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因为函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，
所以函数 的图象恒过定点 ，故选项A、B错误；
当 时，函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递减，
又 在 和 上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
5．（2022·新疆·模拟预测（理））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数
形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函
数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标 中抽象出一个函数的图象如图，其对应
的函数解析式可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
A：函数的定义域为 ，不符合；
B：由 ，不符合；
C：由 ，不符合；
D： 且定义域为 ， 为偶函数，
在 上 单调递增， 上 单调递减，
结合偶函数的对称性知： 上递减， 上递增，符合.
故选：D
6．（2022·四川达州·二模（理））函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
∵函数 ， ，
∴ ，故排除BD；又 ，故排除C.
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，若 ， ， 均不相等，且 =
= ，则 的取值范围是（ ）
A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)
【答案】C
画出函数的图象，
如图所示，不妨设 ，因为 ，所以 ，解得： ， 的取值范围是
，所以 的取值范围是 ．
故选：C
8．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））设 是定义在R上且周期为2的函数，当 时，
，其中a， ，且函数 在区间 上恰有3个零点，则a的取值不
可能是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
因为 是定义在R上且周期为2的函数，
所以 ，所以 ，得 ，
则 时， ，
当 时， ，其图象如图所示，由于周期为2，所以 ，所以 不符合题意，
当 时，则图象向上平移，函数无零点，所以不符合，
当 时，可得 在 上有一个零点，所以 在 上有零点，所以 在区间
上恰有3个零点，符合题意，
当 时，可得 在 上有2个零点，由于函数的周期为2，所以 在 上有6个零点，
不符合题意，
当 时，则可得 ，在区间 上恰有3个零点，所以符合题意，
当 时，函数图象与 轴无交点，
综上，当 或 时， 在区间 上恰有3个零点，
故选：D
二、填空题
9．（2022·重庆·高一期末）已知幂函数 的图象如图所示，则 ______．（写出一个正确结果即
可）
【答案】 （答案不唯一）
由幂函数图象知，函数 的定义域是 ，且在 单调递减，于是得幂函数的幂指数
为负数，
而函数 的图象关于y轴对称，即幂函数 是偶函数，则幂函数 的幂指数为偶数，
综上得： .
故答案为：10．（2022·山东威海·高一期末）已知函数 ，若关于 的方程 有四个根，则
实数 的取值范围为______．
【答案】
由 ，得
令 ，画出图像
由图可知，当 时，方程 有四解，
即方程 有四个根.
故答案为:
11．（2022·云南·高三阶段练习（理））函数 ，函数 ，若函数
恰有4个零点，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
由题意，函数 恰有4个零点，
即 ，即 有4个不同的实数根，
即直线 与函数 的图象有四个不同的交点，
又由 ，
作出该函数 的图象，如图所示，当 时，函数 ，其中 时， ；
当 时，函数 ，其中 时， ，
结合图象可得，
当 时，直线 与函数 的图象有4个不同的交点，
即函数 恰有4个零点时，所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
12．（2022·重庆·高一期末）设 函数 ，若关于 的方程
有三个不相等的实数解，则实数 的取值范围是______．
【答案】
由题意知，令 ，解得 ，
根据 ，得 ，
作出函数 的图象如图所示，由方程 有3个不等的根，
得函数 图象与直线 有3个不同的交点，
由图象可得，当 时函数 图象与直线 有3个不同的交点，
所以t的取值范围为 .
故答案为：
三、解答题
13．（2022·北京·高三专题练习）已知函数 ，作出 的大致图像并写出它
的单调性；
【答案】详见解析.
当 时，函数 的图象，如图所示：
则 的图象，如图所示：由图象知： 在 上递减，在 上递增；
当 时，函数 的图象，如图所示：
则 的图象，如图所示：
由图象知： 在 上递减，在 上递增；
14．（2022·江苏省响水中学高一开学考试）已知函数(1)在所给的直角坐标系内画出 的图象并写出 的单调区间；
(2)求不等式 的解集.
【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2) .
(1)
由解析式知：
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0
的图象如下图所示：
由图象知， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)
令 ，解得 或 ，
结合 图象知: 的解集为 ．
15．（2022·广东东莞·高一期末）给定函数 ， ， ，用 表示 ，
中的较大者，记为 .(1)求函数 的解析式并画出其图象；
(2)对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，作图见解析；
(2) .
(1)
①当 即 时， ，则 ，
②当 即 或 时， ，则 ，
故
图象如下：
(2)
由（1）得，当 时， ，
则 在 上恒成立等价于 在 上恒成立.
令 ， ，
原问题等价于 在 上的最小值 .①当 即 时， 在 上单调递增，
则 ，故 .
②当 即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，由 时， ，故不合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
