文档内容
第 07 讲 抛物线及其性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：抛物线的定义与标准方程....................................................................................................2
题型二：抛物线的轨迹方程................................................................................................................2
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题........................................................................................3
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题................................................................................3
题型五：焦半径问题............................................................................................................................4
题型六：抛物线的几何性质................................................................................................................4
题型七：抛物线焦点弦的性质............................................................................................................5
题型八：抛物线的实际应用................................................................................................................6
02 重难创新练......................................................................................................................................7
03 真题实战练....................................................................................................................................11题型一：抛物线的定义与标准方程
1．已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点 在 轴正半轴上．若点 到双曲线 的一条渐近
线的距离为2，则 的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若点 满足方程 ，则点 的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
3．（2024·陕西安康·模拟预测）过点 ，且焦点在 轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
题型二：抛物线的轨迹方程
4．点 ，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为
．
5．在平面坐标系中，动点P和点 满足 ，则动点 的轨迹
方程为 ．
6．若圆 与 轴相切且与圆 外切，则圆 的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知点 到点 的距离比它到直线 的距离小 ，则点
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
8．已知抛物线 的焦点为 ，点 ，若点 为抛物线上任意一点，当 取最小值
时，点 的坐标为 .
9．已知点 ， 是 轴上的动点，且满足 ， 的外心 在 轴上的射影为 ，
则 的最小值为 .
10．已知 ，抛物线 的焦点为 是抛物线C上任意一点，则 周长的最小值为
．
11．已知抛物线 ，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C： 上，则
的最小值为 .
12．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线 上，且 ，点P为直线 上的
动点，则 的最小值为 .
13．抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是准线 上的动点，若点 在抛物线 上，且 ，
则 （ 为坐标原点）的最小值为 .
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
14．已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若 面积是 面积的
两倍，则 ＝（ ）
A．4 B． C．5 D．
15．（2024·四川乐山·三模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两
点， 于H，若 ，O为坐标原点，则 与 的面积之比为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
16．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点，
若 ， 则 ( 为坐标原点)的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
17．已知抛物线 ： ，点 为抛物线上任意一点，过点 向圆 ： 作切线，切点
分别为 ， ，则四边形 的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．18．如图，已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点.
已知 ， ，若△ ，△ 的面积分别为 ， ，且 ，则抛物线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
题型五：焦半径问题
19．（2024·广东佛山·模拟预测）设 为抛物线 的焦点，点 在 上，且在第一象限，若直线
的倾斜角为 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
20．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知焦点为 的抛物线 上 两点满足 ，
则 中点的横坐标为 .
21．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线于 、 两点，若 ，则
.
题型六：抛物线的几何性质
22．（多选题）已知抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标是 B．抛物线 关于 轴对称
C．抛物线 的准线方程为 D．抛物线 的焦点到准线的距离为8
23．（多选题）已知抛物线 的焦点为F，点P为C上任意一点，若点 ，下列结论错误的
是（ ）
A． 的最小值为2B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
24．（多选题）已知抛物线 的焦点为F，点P为C上任意一点，若点 ，下列结论正确的
是（ ）
A． 的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
题型七：抛物线焦点弦的性质
25．（多选题）设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且与 交于
两点， 为 的准线，则（ ）
A． B．
C．以 为直径的圆与 相切 D．
26．（多选题）已知直线 经过抛物线 ： 的焦点 ，且与 交于点 ， ，点 为坐标原点，点
， 在 轴上的射影分别为 ， ，点 ， 在 轴上的射影分别为 ， ，则（ ）
A．
B．
C． 的最小值为7
D．
27．（多选题）设抛物线 ， 为其焦点， 为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．焦点到准线的距离为4
C．若 ，则 的最小值为3
D．以线段 为直径的圆与 轴相切
28．（多选题）（2024·高三·江苏南京·开学考试）抛物线 的焦点为 为抛物线上一动点，当
运动到 时， ，直线 与抛物线相交于 两点，则下列结论正确的是（ ）A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 轴相切
D．当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与准线相切
29．（多选题）已知抛物线 ，直线 过 的焦点 ，且与 交于 两点，则（ ）
A． 的准线方程为
B．线段 的长度的最小值为4
C．存在唯一直线 ，使得 为线段 的中点
D．以线段 为直径的圆与 的准线相切
题型八：抛物线的实际应用
30．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部
分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取
景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
31．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东
至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线
（设该抛物线的焦点到准线的距离为 米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的
相邻两根吊索之间的距离均为 米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点 到桥
面的距离）为 米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点 到桥面的距离）为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
32．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽 为 ，渠深 为 ，水面距 为 ，则截面图中水面宽 的长度约为（ ）（ ， ， ）
A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m
33．（2024·湖北·模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，
为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度
为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪
光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68
1．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线C： 和圆 ，点 是抛物线 的
焦点，圆 上的两点 满足 ，其中 是坐标原点，动点 在圆 上运动，则 到
直线 的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知点 在抛物线 上，则C的焦点
与点 之间的距离为（ ）
A．4 B． C．2 D．3．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点， 为坐标原点，
，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线 的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若
，则 的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
5．（2024·江西九江·二模）已知抛物线 过点 ， 为 的焦点，点 为 上一点， 为
坐标原点，则（ ）
A． 的准线方程为
B． 的面积为1
C．不存在点 ，使得点 到 的焦点的距离为2
D．存在点 ，使得 为等边三角形
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 的准线上，点
在 上且位于第一象限， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 与交于 两
点（ 点在 轴上方），点 ，若 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·新疆·三模）已知抛物线C： 的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦
与弦 的交点恰好为F，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
9．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为 ，过抛物
线 的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为 ，右焦
点记为F，若以OF为直径的圆M交直线 于O，A两点，点B在 上，且 ，则
（ ）A． B． C． D．
10．（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 的准线 与 轴交于点 ，过
的一条直线与 交于 两点，过 作 的垂线，垂足分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的面积等于 的面积
11．（多选题）（2024·陕西·一模）已知曲线 的方程为 是以点 为圆心､1为半径的圆位于
轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线 的焦点坐标为
B．曲线 过点
C．若直线 被 所截得的线段的中点在 上，则 的值为
D．若曲线 在 的上方，则
12．（多选题）（2024·河南周口·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的
动直线与 交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C． 为定值
D． 为钝角三角形
13．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知曲线 上的点满足：到定点(1,0)与定直线 轴的距离的差为
定值 ，其中，点 ， 分别为曲线 上的两点，且点 恒在点 的右侧，则（ ）
A．若 ，则曲线 的图象为一条抛物线
B．若 ，则曲线 的方程为
C．当 时，对于任意的 ， ，都有
D．当 时，对于任意的 ， ，都有
14．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且点 到直线
的距离为 ，则 .15．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于
两点，若 ，则直线 的斜率为 .
16．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知 ，抛物线 的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴
的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若 ，
则 AMN的面积为 ．
17△．（2024·福建泉州·模拟预测）若过抛物线C： 的焦点F，且斜率为 的直线交C于点
和 ，交C的准线于点 ，则 的最小值为 .
18．（2024·江西南昌·模拟预测）已知点 在抛物线 上，也在斜率为1的直线 上.
(1)求抛物线 和直线 的方程；
(2)若点 在抛物线 上，且关于直线 对称，求直线 的方程.
19．（2024·浙江·二模）已知点 为抛物线 与圆 在第一象限的交点，另一交
点为 .
(1)求 ；
(2)若点 在圆 上，直线 为抛物线 的切线，求 的周长．
20．（2024·河南·三模）已知抛物线 的焦点为F，点 为C上一点．
(1)求直线 的斜率；
(2)经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线 的距离为 ，求以线段 为直径的圆的标
准方程．
21．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系 中，顶点在原点 的抛物线 经过点 .(1)求抛物线 的方程；
(2)若抛物线 不经过第二象限，且经过点 的直线 交抛物线 于 ， ，两点（ ），过
作 轴的垂线交线段 于点 .
当 经过抛物线 的焦点 时，求直线 的方程；
求点A到直线 的距离的最大值.
①
②
1．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P
作 的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
2．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
3．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点
F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．
4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线
上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
5．（2024年北京高考数学真题）抛物线 的焦点坐标为 ．
6．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9，
那么点 到 轴的距离为 ．
7．（2024年天津高考数学真题）圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为
两曲线的交点，则原点到直线 的距离为 ．
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的
距离为 .
9．（2021年北京市高考数学试题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点
.若 ，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．
10．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ，
为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为 .
11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F
的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
12．（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与
x轴的交点，且 ，（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
13．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
14．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：
交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并
说明理由．
