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专题 24.13 正多边形和圆（4 大知识点 7 类题型）（知识梳理与题型
分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
【要点提示】
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.
如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
【知识点二】正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正
多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
(4)正ｎ边形半径R,边长a，边心距r的关系 ；
(5)正ｎ边形周长 ；
(6)正ｎ边形面积 ；
【要点提示】要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
【知识点三】正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 n边形的中心；
当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于
相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
【要点提示】（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形
是圆的外切正多边形.
【知识点四】正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以
等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各
边所对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边
形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、
B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
【要点提示】画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【题型目录】
【题型1】正多边形与圆的有关计算............................................3；
【题型2】正多边形与圆的有关的证明..........................................6；
【题型3】正多边形的实际应用...............................................10；
【题型4】与正多边形与圆有关作图...........................................14；
【题型5】正多边形与圆有关综合.............................................18；
【题型6】直通中考.........................................................21；
【题型7】拓展延伸.........................................................26.第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】正多边形与圆的有关计算；
【例1】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形 的外接圆为 ，点P在劣弧 上
（不与点C重合）．
(1)求 的度数；
(2)若 的半径为8，求正方形 的边长．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理：
（1）连接 ，根据中心角的计算公式求出 的度数，圆周角定理，求出 的度数即可；
（2）勾股定理求出 的长即可．
解：（1）连接 ，
由题意得： ，
∴ ；
（2）由（1）知： ，
又∵ ，
∴ ，即正方形的边长为： ．
【变式1】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边三角形 和正方形 均内接于 ，若
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接
、 、 、 ，过点 作 于点 ，利用 求出圆的半径，再求出 和 ，
利用 直角三角形性质和勾股定理求出 ，即可求出 ．
解：连接 、 、 、 ，过点 作 于点 ，如图，
∵正方形 内接于 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵等边三角形 内接于 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，正六边形的边长为1，顶点 与原点重合，将对角
线 绕点 顺时针旋转，使得点 落在数轴上的点 处，则点 表示的数是 ．
【答案】
【分析】过点B作 于点D，利用正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可．
本题考查了正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键．
解：过点B作 于点D，
∵正六边形的边长为1，顶点 与原点重合，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
根据旋转性质，得 ，∴点C表示的数是 ，
故答案为： ．
【题型2】正多边形与圆的有关的证明；
【例2】（2023·上海静安·二模）如图，在矩形 中，点 是边 的中点， 是 的外接圆，
交边 于点 ．
(1)求证： ；
(2)当 是以点 为中心的正六边形的一边时，求证： ．
【分析】（1）根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则 ，根据“全等
三角形的对应边相等”得到
（2）连接 ，并延长PO交AD于点M，先证明 ，再根据“有一个角是 的等
腰三角形是等边三角形”得到 为等边三角形，然后根据“两直线平行，内错角相等”得到
，则 ，最后根据“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”
得到 ．
解：（1）四边形 是矩形，且点 是边 的中点，
在 和 中，
，
∴
；（2）证明：如图，连接 ，并延长 交 于点 ，
四边形 是矩形，
∴
∵ ， ，
∴点 、 都在线段 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
，
是以点 为中心的正六边形的一边，
由正六边形性质可得∶ ，
∵ ，
是等边三角形，
又
，
，
．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，线段垂直
平分线的判定以及正多边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定及性质以及等边三角形的判定及性
质是解题的关键．
【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）如图， 是正八边形 的外接圆，则下列结论：
① ；② 的度数为 ；③ ．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
解：连接 ， ，求出正八边形的中心角 ，得到 ，根据这条弧的度数等于它
所对的圆心角的度数可得到②正确；由勾股定理求得 ，可得①正确；由于
，可得 ，于是得到③正确．
解：连接 ， ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
综上分析可知，正确的是①②③．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和
边数的关系是解决问题的关键．
【变式2】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；
②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD.其中判断正确的是 (填序号)．
【答案】①②③
【分析】①分别求出∠BCD和∠ADC的度数，得到∠BCD+∠ADC=180°，判断出BC∥AD；
②计算出∠BAE的度数和∠CAD的度数，判断出∠BAE=3∠CAD；
③根据AB=CB，AE=DE，AC=AD，判断出△BAC≌△EAD；
④根据“三角形的两边之和大于第三边”和“正五边形的各边相等”解答．
解：①在正五边形ABCDE中，
，
故本选项正确；
②∴∠BAE=3∠CAD，故本选项正确；
③在△BAC和△EAD中,
，
，故本选项正确；
④∵AB+BC>AC， ，
∴2CD>AC，故本选项错误；
故答案为①②③．
【点拨】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和正五边形的性质是解题的关键．
【题型3】正多边形的实际应用；
【例3】（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个
大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均
匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如 ）始终垂直于水平线l．
(1) ________°
(2)若 ， 的半径为10，小圆的半径都为1：
①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；
②当圆心H到l的距离等于 时，求 的长；
③求证：在旋转过程中， 的长为定值，并求出这个定值．
【答案】(1)60 (2)①25；② ；③ 的长为定值，定值为10．
【分析】（1）将 平均分6份即可；
（2）①当圆心M在 的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解；
②设 的挂点为K，过点H作 于点T，先证四边形 是矩形，再用勾股定理解 即可；
③先证 是等边三角形，再证 是平行四边形，可得 ．
解：（1）解： ，
故答案为：60；
（2）解：①当圆心M在 的延长线上时，圆心M与l有最大距离，
最大距离为 ，
故答案为：25；
②如图，设 的挂点为K，过点H作 于点T，
∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴K，H，T在同一直线上，
∵圆心H到l的距离等于 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③证明：如图所示，连接 ， ，由（1）知 ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 的长为定值．
【点拨】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和
性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型．
【变式1】（2024·河北·模拟预测）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底
面均为正六边形，六边形的边长为 ，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我
们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种
方案底面积差为 （结果保留根号）
【答案】 二
【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，利用圆面积，等边三角形的面
积，即可得出答案．
解：如图1中，圆的半径为3cm，底面积为 ．
如图2中，连接 ， ．
， ， ，
，
，
等边三角形的边长 ，
底面积 ，
等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为 ，
两种方案底面积差为 ，
故答案为：方案二， ．
【变式2】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，某校园内有一个由两个相同的边长为 的正六边
形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为
．【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及正六边形的性质．注意解此题的关键是
根据题意作出辅助线，找出等边三角形．
根据题意和正六边形的性质得出 是等边三角形，再根据正六边形的边长得出 ，
同理可证出 ，再根据 ，求出 ，从而得出扩建后菱形区域的周长．
解：如解图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，同理可证： ，
∴ ，
∴扩建后菱形区域的周长为 ．
故答案为：24．
【题型4】与正多边形与圆有关作图；
【例4】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图， 是 中互相垂直的两条直径，以点A为圆
心， 为半径画弧，与 交于E、F两点．
(1)求证： 是正六边形的一边；
(2)请在图上继续画出这个正六边形．【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键．
（1）连接 ，得到 是等边三角形，从而得到 是正六边形的一边；
（2）用以 的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长．
解：（1）证明：连接 ，如图．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
，
∴ 是正六边形的一边；
（2）解：如图所示，
用圆规截去 弧的弧长，然后以E点、点B为圆心， 为半径画弧，与 交于G、H两点，顺次将
点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形 中， ， 分别交 于点H，G．(1)如图①，求证：点H，G三等分 ．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作 的垂线，垂足为K，以点O为圆心， 的长为半径作圆；（在图②中完成作
图，保留作图痕迹，不需要写作法）
②求证： 是①所作圆的切线．
【分析】（1）由正多边形的性质证明 ，可得 ，
再证明 是等边三角形，从而可得结论；
（2）①按照题干的要求作线段 的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作 ，垂足为P，连接
， 证明 ．结合 ， ， ．从而可得结论；
解：（1）证明：在圆内接正六边形 中，
，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∴点H，G三等分 ．
（2）①解：如图，即为所求作．②证明：如图，过点O作 ，垂足为P，连接 ，则 ．
由（1）知， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ 是①所作圆的切线．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的
判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【变式2】（2021九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形
ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH= ，由勾股定理得AH＝，可求OG＝ ﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（ ﹣1）2＝10﹣2 即可．
解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点，
∴OH= ，
在Rt△OAH中，由勾股定理
∴AH＝ ，
∵AH＝HG＝ ，
∴OG＝GH﹣OH＝ ﹣1，
在Rt△AOG中，由勾股定理得，
∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（ ﹣1）2＝10﹣2 ．
故答案为：10﹣2 ．
【点拨】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆
内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键．
【题型5】正多边形与圆有关综合.
【例5】（2023·陕西西安·一模）如图，正六边形 内接于 ．
(1)若P是 上的动点，连接 ， ，求 的度数；
(2)已知 的面积为 ，求 的面积．【答案】(1) (2)
【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间
的关系．
（ ）在 取一点 ，连接 ，利用弦和圆周角的关系即可求出 的值；
（ ）证明 是等边三角形，利用三角函数求出 ， ，再根据 的面积为
求出圆的半径，即可求出面积．
解：（1）如图所示，在 取一点 ，连接 ，
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，∴ 是等边三角形，
∴ ；
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的半径为 ．
面积为：
【变式1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形 内接于 ，则它的内切
圆半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；
连接 ， ，作 于G，证明 是等边三角形，可得 ，然后利用勾股定理求
出 即可．
解：如图，连接 ， ，作 于G，∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即它的内切圆半径为 ，
故选：D．
【变式2】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形 中， ， 分别交
于点 ， ，若该圆的半径为12，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质，
含 的直角三角形性质，是解题关键．含 的直角三角形性质：三边是 的关系．
连接 、 ，根据圆内接正六边形的性质得到 是等边三角形，得到 ，推出
， ，得到 ，得到 ，推出 ，
，得到 是等边三角形，即得 ．
解：连接 、 ，
∵六边形 是圆内接正六边形，圆的半径为12，
∴ ， ，∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为： ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型6】直通中考
【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为 的正
方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合
适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为 的圆面．喷洒覆盖率 ， 为待喷洒区域面积，
为待喷洒区域中的实际喷洒面积．【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为 的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率
______．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半
径均为3m的自动喷洒装置； ，以此类推，如图5，设计安装 个喷洒半径均为 的自动喷洒装置．
与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并
给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率
．已知正方形 各边上依次取点F，G，H，E，使得 ，设 ，的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并求当 取得最小值时 的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为 的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的
喷洒覆盖率 ？（直接写出结果即可）
【答案】（1） ；（2）不能，理由见解析（3） ；当 取得最小值时 ；
（4）
【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；
（3）根据勾股定理求得 的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即
可求解；
（4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为 的圆的内接正方形
的边长为 ，进而将草坪分为 个正方形，即可求解．
解：（1）当喷洒半径为 时，喷洒的圆面积 ．
正方形草坪的面积 ．
故喷洒覆盖率 ．
（2）对于任意的 ，喷洒面积 ，而草坪面积始终为 ．
因此，无论 取何值，喷洒覆盖率始终为 ．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．（3）如图所示，连接 ，
要使喷洒覆盖率 ，即要求 ，其中 为草坪面积， 为喷洒面积．
∴ 都经过正方形的中心点 ，
在 中， ， ，
∵
∴ ，
在 中，
∴
∴
∴当 时， 取得最小值，此时
解得：
（4）由（3）可得，当 的面积最小时，此时圆为边长为 的正方形的外接圆，
则当 时，圆的内接正方形的边长为
而草坪的边长为 ， ，即将草坪分为 个正方形，将半径为 的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装 个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率
【点拨】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，
然后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒
面积和喷洒半径之间的函数关系．解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒
覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数
学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结
果还原为实际问题的解决方案．
【例2】（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形 内接于⊙ ，阅读以下作图过程，并回答
下列问题，作法：如图2，①作直径 ；②以F为圆心， 为半径作圆弧，与⊙ 交于点M，N；③连
接 ．
(1)求 的度数．
(2) 是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以 长为半径，在⊙ 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】(1) ；(2)是正三角形，理由见解析；(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得 ，则 (优弧所对圆
心角) ，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出 ，即可得出结论．
解：（1）∵正五边形 ．
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ (优弧所对圆心角) ，
∴ ；
（2） 是正三角形，理由如下：
连接 ，
由作图知： ,
∵ ，
∴ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，即 ，
∴ 是正三角形；
（3）∵ 是正三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．【点拨】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周
角定理是解本题的关键．
【题型7】拓展延伸
【例1】（2023·浙江台州·二模）如图1，五边形 是 的内接五边形， ，对角线
于点 ．
(1)①若 ，则 _______；
②猜想 和 的数量关系，并证明；
(2)如图2，当 经过圆心 时，若 ， ，求 ；
(3)作 于点 ，求 的值．
【答案】(1)① ；② ； (2) ；(3) .
【分析】（1）①连接 ，由题意可得 ，根据圆周角定理可得 ，以此
即可求解；
②连接 ，根据三角形内角和定理可得 ，由圆周角定理可得 ，
再根据三角形内角和定理得 ，将 代入化简即可；
（2）如图，连接 、 ，连接 交 于点 ，根据勾股定理求得 ，设 ，则
，在 中，利用勾股定理建立方程解得 ，于是 ， ，
，易得 垂直平分 ，设 ，则 ，利用双勾股定理建立方程求得 ，进而求
出 ， ，在 中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接 、 、 、 ，过点 作 于点 ，由圆周角定理可得 ，易得
，由平行线的性质得 ，由等边对等角得 ，进而可得 ，
根据等角减等角相等可得 ，于是可通过 证明 ，得到 ，根据等腰三角形三线合一性质得 ，以此即可求解．
解：（1）①解：如图，连接 ，
，
，
，
，
，
；
故答案为： ；
② ，
证明：如图，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ；
（2）解：如图，连接 、 ，连接 交 于点 ，
在 中， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
， ， ，
， ，
垂直平分 ，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
解得： ，
，
，
为 的直径，
，
在 中， ；
（3）解：如图，连接 、 、 、 ，过点 作 于点 ，，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
，
．
【点拨】本题主要考查正多边形与圆综合，圆周角定理、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的
性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关
键．
【例2】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①， ， 分别是半圆 的直径 上的点，点 ，在 上，且四边形 是正方形．
(1)若 ，则正方形 的面积为 ；
(2)如图②，点 ， ， 分别在 ， ， 上，连接 ， ，四边形 是正方形，且其面
积为16
①求 的值；
②如图③，点 ， ， 分别在 ， ， 上，连接 ， ，四边形 是正方形．直接写
出正方形 与正方形 的面积比．
【答案】(1)16 (2)① ；②
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）连接 ，根据正方形和圆的性质得出 ，然后根据勾股定理求解即可；
（2）①连接 ， ，设 ，分别在 、 中，利用勾股定理关键关于x的方程求
解即可；
②连接 ， ， ，先证明 共线，然后求出 ，最后根据正方形面积公式求解即可．
解：（1）解：连接 ，
四边形 是正方形，，
解得： ，
正方形的边长为4，
正方形 的面积为16．
（2）解：①连接 ， ，
四边形 是正方形，且其面积为16，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得 （舍）
，
．
②连接 ， ， ，
，且 ，， ，
又 ，
，
共线，
，
．
