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专题24.18 直线和圆的位置关系（知识梳理与考点分类讲解）
【要点一】直线和圆的三种位置关系
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫
做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
【要点二】直线与圆的位置关系的判定和性质
直线与圆的位置关系与点与圆的位置关系一样通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来进行判断
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点
(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图
(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
【考点一】判断直线和圆的位置关系
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC =4cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半
径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）．
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交【答案】B
【分析】作CD⊥AB于点D．在Rt△BCD中，∠B=30°，得CD= =2，与圆的半径比较，作出判断．
解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B=30°，BC=4cm，
∴
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故选：B．
【点拨】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大
小判断：当r>d时，直线与圆相交；当R=d时，直线与圆相切；当R<d时，直线与圆相离．
【举一返三】
【变式1】已知 中， ， 、 ．以C为圆心作 ，如果圆C与斜边 有
两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（ ）
A． B． C． D． ．
【答案】C
【分析】作 于 ，由勾股定理求出 ，由三角形的面积求出 ，由 ，可得以
为圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点；若 与斜边 有两个公共点，即可得出
的取值范围．
解：作 于 ，如图所示：
， ， ，
，
∵ 的面积 ，，
即圆心 到 的距离 ，
，
以 为圆心， 为半径所作的圆与斜边 只有一个公共点，
若 与斜边 有两个公共点，则 的取值范围是 ．
故选：C．
【点拨】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌
握数形结合思想的应用．
【变式2】已知 的直径是6，直线l是 的切线，则圆心O到直线l的距离是（ ）．
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【分析】根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与
圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径．
解：由⊙O的直径是6，可知 的半径是3，直线l是 的切线，那么点O到直线l的距离是3．
故选：A
【点拨】本题考查圆与直线的位置关系，记忆理解判定条件是解题的关键．
【考点二】由直线与圆的位置关系➼➻求半径的取值范围
【例2】如图，半径 的⊙M在 轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线 相切
时，圆心M的坐标为（ ）A．（0，0） B．（2，0） C．（-6，0） D．（2，0） 或（-6，0）
【答案】D
【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线
相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．
解：①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：
∵
∴ ， ， 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴⊙M与直线AB相切于点A
∵
∴
∴圆心M的坐标为 ；
②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作 于点C，如下图所示：
∵⊙M与直线AB相切，
∴
根据直线AB的解析式： 可知
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴圆心M的坐标为 ，综上所述：圆心M的坐标为 或 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方
法并进行分类讨论是解决本题的关键．
【举一返三】
【变式1】如图， 半径 ，直线 ，垂足为H，且l交 于A，B两点，
，将直线l沿 所在直线向下平移，若l恰好与 相切时，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，由垂径定理和勾股定理得 ，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得
．
解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将直线l沿 所在直线向下平移，若l恰好与 相切时，
∴ ，
即直线在原有位置向下移动 后与圆相切．
故选：B．【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．
【变式2】平面直角坐标系中， 的圆心坐标为 ，半径为 ，那么 与 轴的位置关系是
．
【答案】相交
【分析】根据圆心坐标可得出点P到y轴的距离，再与圆的半径比较，即可得出结论．
解： 的圆心坐标为 ，
点 到 轴的距离为 ，
∵
与 轴相交，
故答案为：相交．
【点拨】本题考查的是点到坐标轴的距离、圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于半径，直线与
圆相离；小于半径，直线与圆相交；等于半径，则直线与圆相切．
【考点三】由直线与圆的位置关系➼➻求圆心到直线的距离
【例3】如图，已知 ， ， ，以 为圆心， 为半径作 ， 与线段
有交点时，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】过M作 于H，根据直角三角形的性质得到 ，然后根据直线与圆的
位置关系即可得到结论．
解：过M作 于H，如图所示：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， 与线段 有交点，
∴r的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了直线和圆的位置关系：设 的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l
和 相交 ；直线l和 相切 ；直线l和 相离 ．
【举一返三】
【变式1】如图， 的半径是3，点A在 上，点P是 所在平面内一点，且 ，过点P作
直线l，使 ．
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若点M，N是直线l与 的公共点，则当线段 的长度最大时， 的长为 ．
【答案】 5
【分析】（1）如图1，当点 在圆外且 ， ， 三点共线时，点 到直线 距离的最大，于是得到
结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段 是 的直径，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）如图1，，
当点 在圆外且 ， ， 三点共线时，点 到直线 的距离最大，
最大值为 ；
（2）如图2， ， 是直线 与 的公共点，当线段 的长度最大时，
线段 是 的直径，
，
，
， ，
，
故答案为：5， ．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系 中，半径为2的 的圆心P的坐标为 ，将 沿x轴
正方向以 个单位/秒的速度平移，使 与y轴相切，则平移的时间为 秒．【答案】2或10
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
解：当 位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
∴ （秒）；
当 位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
∴ （秒）；
故答案为：2或10
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等
于圆的半径．
【考点四】由直线平移与圆相切➼➻求圆心经过的距离
【例4】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，
则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
【答案】4
【分析】根据垂径定理可求出 ，再利用勾股定理可得 ，从而 ，
再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等
于 ，即可求解．
解：∵直线l⊥OC，AB=16cm，∴ ， ，
∵ ，
在 中，由勾股定理得
，
∴ ，
若l与⊙O相切，
则点 到直线l的距离等于OC=10cm，
∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于
即l沿OC所在直线向下平移 时与⊙O相切．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的
关键．
【举一返三】
【变式1】圆心O到直线l的距离为d， 的半径为r，若d、r是方程 的两个根，试判
断直线m与直线l与 的位置关系．
【答案】相离或相交
【分析】先求出一元二次方程的两个根，由于没有说明d、r的大小关系，再根据两根进行讨论求解即
可
解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵d、r是方程 的两个根，
∴ 或 ．
∵当 时， ，
∴直线与圆相离；
∵当 ， ，
∴直线于圆相交．
综上所述，直线l与 的位置关系为相离或相交．【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解一元二次方程，正确求出一元二次方程的两根并利
用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式2】已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
【答案】（1）相切；（2）0cm＜r＜12cm．
【分析】（1）过点P作PC⊥OB，垂足为C，根据含30度角的直角三角形性质求出PC的长，根据
PC=r，即可得出⊙P与OB位置关系是相切；
（2）根据相切时半径=12cm，再根据当r＜d时相离，即可求出答案．
解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．
∵∠AOB=30°，OP=24cm，
∴PC= OP=12cm．
（1）∵PC =r=12cm，
∴⊙P与OB相切，
即⊙P与OB位置关系是相切．
（2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，
∴r需满足的条件是：0cm＜r＜12cm．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系.解题的关键是判断出圆心到直线的距离与半径的大小关系.
【考点四】由直线平移与圆相切➼➻求运动的距离【例5】如图， 的半径是5，点 在 上． 是 所在平面内一点，且 ，过点 作直
线 ，使 ．
（1）点 到直线 距离的最大值为 ；
（2）若 ， 是直线 与 的公共点，则当线段 的长度最大时， 的长为 ．
【答案】（1）7；（2） ．
【分析】（1）当点 在圆外且 三点共线时，点 到直线 距离的最大，由此即可得；
（2）先确定线段 是 的直径，画出图形，再在 中，利用勾股定理即可得．
解：（1）如图1， ，
当点 在圆外且 三点共线时，点 到直线 距离的最大，
此时最大值为 ，
故答案为：7；
（2）如图2， 是直线 与 的公共点，当线段 的长度最大时，线段 是 的直径，，
，
， ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
【举一返三】
【变式1】如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP
上移动．
（Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系．
（Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围
【答案】相切;1cm＜d＜5cm
解：试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，
作O′C⊥PA于C，
∵∠P=30度，
∴O′C= PO′=1cm，
∵圆的半径为1cm，
∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；
（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，当移动到C″时，相切，
此时C″P=PO′=2，
∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交
考点：直线与圆的位置关系．
【变式2】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P
沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．
【答案】1或5．
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故答案为：1或5．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于
圆的半径．
