专题24.1圆的有关性质--圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角之八大考点(学生版)_初中数学_九年级数学上册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题24.1 圆的有关性质--圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角之八大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【考点一 求过圆内一点的最长弦】................................................................................................................1 【考点二 利用垂径定理求值】........................................................................................................................2 【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】........................................................................................................5 【考点四 垂径定理的推论】............................................................................................................................8 【考点五 垂径定理的实际应用】..................................................................................................................11 【考点六 圆心角概念辨析】..........................................................................................................................13 【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】..............................................................................................14 【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】..............................................................................................16 【过关检测】...........................................................................................................................................19 【典型例题】 【考点一 求过圆内一点的最长弦】 例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若 的直径长为 ，点 ， 在 上，则 的长不可能 是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知 的半径是3cm，则 中最长的弦长是（ ） A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm 2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14【考点二 利用垂径定理求值】 例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为 ，连接 ，若 ， ，则弦 的长为 ． 【变式训练】 1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知 的半径为 ，弦 的长为 ，则圆心 到 的距离为 ． 2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有 圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就 是：如图， 是 的直径，弦 ，垂足为E， 寸， 寸．则直径 的长为 寸． 【考点三 利用垂径定理求平行弦问题】 例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末） 半径为5，弦 ， ， ，则 与 间的距离为（ ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的 中，弦 ，弦 ，且 ，则 与 之间的距离是 ． 2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习） 的半径为13cm，AB、CD是 的两条弦， ，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 【考点四 垂径定理的推论】 例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一 水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高 为4米，则 的半径为 米． 【变式训练】 1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳 与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米， 厘米．则“图上”太阳从目前所 处位置到完全跳出海平面，升起 厘米． 2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大 小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图， 为 的半径，弦 ，垂足为 ， 寸， 尺 尺 寸 ，则此圆材的直径长是 寸． 【考点五 垂径定理的实际应用】 例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图， 的直径 与弦 交于点E， ，则下列 说法错误的是（ ）A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（ ） ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 ②平分弦的直径平分弦所对的弧 ③垂直于弦的直线必过圆心 ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧 A．②③ B．①③ C．②④ D．①④ 2．（2023·四川攀枝花·校联考二模）下列说法中正确的说法有（ ）个 ①对角线相等的四边形是矩形 ②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 ③相等的圆心角所对的弧相等 ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 ⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点六 圆心角概念辨析】 例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（ ） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【考点七 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图， 是 的直径，点C，D在 上， ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在 上， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法： ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点八 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知 的半径 ， ， 在 上， 于 点 ， 于点 ，且 ，求证： ． 【变式训练】 1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD． 2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝ ∠B．【过关检测】 一、单选题 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C均在 上，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列说法正确的个数有（ ） ①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧； ②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等； ③等弧所对的圆心角相等； ④过三点可以画一个圆； ⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴； ⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋·九年级课时练习）如图， 的半径为 是圆外一点， ， 交 于点 ，则弦 的长为（ ） A．4 B．6 C． D．8 4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 为 的直径，点 是 的中点，过点 作 于 点 ，延长 交 于点 ．若 ， ，则 的直径长为（ ） A． B． C． D． 5．（2023秋·全国·九年级专题练习）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图② 是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图． 是 的一部分， 是 的中点，连接 ， 与弦 交于点 ，连接 ， ．已知 cm，碗深 ，则 的半径 为（ ）A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 二、填空题 6．（2023秋·九年级课时练习）如图，若点 为 的圆心，则线段 是圆 的半径； 线段 是圆 的弦，其中最长的弦是 ； 或 是劣弧； 是半圆． 7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐 标是 ． 8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径，C是 延长线上一点，点D在 上，且 ， 的延长线交 于点E．若 ，则 度数为 ． 9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果 M是 中弦 的中点， 经过圆心O交 于点E，若 ， ，则 的半径为 m．10．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在 中， ， 截三边所得的弦长 ，则 度． 三、解答题 � � AB AC AC BD 11．（2023秋·江苏·九年级校考周测）如图，点A、B、C、D在⊙O中，且 ， 与 相等吗？ 为什么？ 12．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）如图，圆心角AODBOC 90．(1)判断AOC和BOD的数量关系，并说明理由； COD30 AOB (2)若 ，求 的度数． 13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，OAOB，AB交O于点C，D，OE是半径，且OE AB 于点F ． (1)求证：AC BD． (2)若CD8，EF 2，求O的半径． 14．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， D两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB24，则CD的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H 两点，若ABEF ，求证CDGH ． 15．（2023·全国·九年级专题练习）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保， 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况 下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的O．如图②，OM 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当 t0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时AOM 30，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数 2 1.414，31.732 据， ） 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，BOM 的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）16．（2023秋·江苏·九年级专题练习）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦 所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，AB，AC是O的等垂弦，OD AB，OE AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正 方形； (2)如图2，AB是O的弦，作ODOA，OC OB，分别交O于D，C两点，连接CD．求证：AB， CD是O的等垂弦； (3)已知O的半径为10，AB，CD是O的等垂弦，P为等垂点．若AP3BP，求AB的长．