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专题 24.2 圆与四边形的综合
【典例1】定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，
若∠A=∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．
（1）如（图①），A、B、C、D是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，延长BP到Q，使
AQ=AP．求证：四边形AQBC是准平行四边形；
（2）如（图②），准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC=DC，若⊙O的半径为5，AB=6，
求AC的长；
（3）如（图③），在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，若四边形ABCD是准平行四边形，
且∠BCD≠∠BAD，请直接写出BD长的最大值．
【思路点拨】
（1）可证△APQ是等边三角形，可得∠Q=60°=∠QAP，由圆的内接四边形的性质可得
∠QPA=∠ACB=60°=∠Q，由四边形内角和定理可证∠QAC≠∠QBC，可得结论；
（2）如图②，连接BD，由准平行四边形定义可求∠BAD=∠BCD=90°，可得BD是直径，由勾股定理
可求AD=8，将ΔABC绕点C顺时针旋转90°得到ΔCDH，可得AB=DH=6，AC=CH，∠ACH=90°
，∠ABC=∠CDH，由勾股定理可求AC的长；
（3）如图③，作△ACD的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，由准平行四边形定义
可求∠ABC=∠ADC=60°，可得∠AOC=120°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求
OE=1，CO=2OE=2，由勾股定理可求OB，由当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，即可求解．【解题过程】
解：证明：（1）∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠APQ=60°，且AQ=AP，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠Q=60°=∠QAP，
∵四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠QPA=∠ACB=60°，
∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC=360°，
∴∠QAC+∠QBC=240°，
且∠QAC=∠QAP+∠BAC+∠PAB=120°+∠PAB>120°，
∴∠QBC<120°，
∴∠QAC≠∠QBC，且∠QPA=∠ACB=60°=∠Q，
∴四边形AQBC是准平行四边形．
（2）如图②，连接BD，
∵AB≠AD，BC=DC，
∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD=∠CDB，
∴∠ABC≠∠ADC，
∵四边形ABCD是准平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴BD是直径，
∴BD=10，∴ ，
AD=❑√BD2−AB2=❑√100−36=8
将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，
∴AB=DH=6，AC=CH，∠ACH=90°，∠ABC=∠CDH，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠CDH=180°，
∴点A，点D，点H三点共线，
∴AH=AD+DH=14，
∵AC2+CH2=AH2，
∴2AC2=196，
∴AC=7❑√2．
（3）如图③，作ΔACD的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠ABC=60°，∠ABC=60°，AC=❑√3BC=2❑√3
∵四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠AOC=120°，且OE⊥AC，OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO=30°，CE=AE=❑√3，
∴OE=1，CO=2OE=2，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，∠ECF=90°，
∴四边形CFOE是矩形，
∴CE=OF=❑√3，OE=CF=1，
∴BF=BC+CF=3，，
∴BO=❑√BF2+OF2=❑√9+3=2❑√3
∵当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，
∴BD长的最大值=BO+OD=2❑√3+2．
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连
接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：AF=CE；
（2）若BF=2，DH=❑√5，求⊙O的半径．
2．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，G为AD的中点，△GBC的外接圆
⊙O交CD于点F．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DF=1，CF=3，求BC的长．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB=90°，以点A为
圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ADE=30°，AB=6，求EF的长．
4．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）如图1， ▱ABCD中，O为BC上一
点，AO平分∠BAD，以O为圆心，OC为半径的圆，与AB相切于点E
（1）求证：⊙O与AD相切
（2）如图2，若⊙O与AD相切于点F，DF=7，BO=5，且∠D>45°，求弧FC、线段DF和CD组成
的图形面积．
5．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，以点 A 为
圆心，1为半径作圆，点 E 是⊙A 上的一动点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接AF．
（1）求CF长；
（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；
（3） AF的最大值是__________．
6．（2022秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称
这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角
四边形．
（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；
（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；
①求证：四边形ABCD是双直角四边形；
②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积．
7．（2022春·江苏·九年级期末）如图1，已知矩形ABCD中AB=2❑√3，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O
（1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线
（2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD
（3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度
的最小值；若不存在，请说明理由．
8．（2022秋·江苏·九年级期中）如图1，已知A(−10,0)，B(−6,0)，点C在y轴的正半轴上，
∠CBO=45°，CD//AB，∠CDA=90°．点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运
动，运动时间为t秒．（1）BC=__________；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切
时，求t的值．
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端
点），以OP、OB为一组邻边作 ▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接
PM、ON．（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．
（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．
①是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
②试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需
说明理由）．
10．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上
方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处
出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若
∠GOH为直角，求此时t的值．
（3）当矩形ABCD为正方形时，连接AC，在点B运动的过程中，若直线AC与半圆只有一个交点，则t
的取值范围是 ．
11．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，⊙O的半径为4cm， ▱ABCD的顶点A，B，C在
⊙O上，AC=BC．（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD也与⊙O相切，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）如图2，AD与⊙O相交于点E，连接于CE，当∠B=75°时，求 ▱ABCD的对角线AC的长及阴影
部分图形的面积．
12．（2023·全国·九年级专题练习）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一
些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度
数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC
是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度
数．
（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交
BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
13．（2022·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，
AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG
＝3，S ：S ＝8：9，求⊙O的半径．
四边形AGMO 四边形CHMO
14．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A
出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，其中
一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：（1）如图1，几秒后，△DPQ的面积等于21cm2？
（2）在运动过程中，若以P为圆心的⊙P同时与直线AD、BD相切（如图2），求t值；
（3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．
①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在⊙Q上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理）
15．（2022·江西抚州·校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点A，B，D三个点都在⊙O上，CD与
⊙O交于点F，连接BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，∠BAD＝75°；
①求BE的长；
②求阴影部分的面积．
16．（2023秋·广东东莞·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分
∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=10，DC=4，求AC的长；
（3）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积．
17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）四边形ABCD为矩形，点A，B在⊙O上，连接OC、OD．（1）如图1，求证：OC＝OD；
（2）如图2，点E在⊙O上，DE∥OC，求证：DA平分∠EDO；
（3）如图3，在（2）的条件下，DE与⊙O相切，点G在弧BF上，弧FG＝弧AE，若BG＝3❑√2，DF＝
2，求AB的长．
18．（2023·河南开封·河南大学附属中学校考二模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操
作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP(OP
