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专题 24.2 圆的有关性质--圆周角之七大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 圆周角的概念辨析】........................................................................................................................1
【考点二 圆周角定理】....................................................................................................................................3
【考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等】....................................................................................................5
【考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角】................................................................................................8
【考点五 90°的圆周角所对的弦是直径】..................................................................................................11
【考点六 已知圆内接四边形求角度】..........................................................................................................13
【考点七 求四边形外接圆的直径】..............................................................................................................15
【过关检测】...........................................................................................................................................19
【典型例题】
【考点一 圆周角的概念辨析】
例题：（2023秋·广西河池·九年级统考期末）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中， 是圆周角的是（ ）A． B． C． D．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列四个图形的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 是 的直径， 为圆内一点，则下列说法中正确的是（ ）
A． 是 的弦 B． 是圆心角
C． 是圆周角 D．
【考点二 圆周角定理】
例题：（2023·广东梅州·校考一模）如图， 是 上的三个点， ，则 度数是
．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 为 的直径，点 在 上，且 ，过点 的弦与线段 相交于点 ，满足 ，连接 ，则 ．
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的 上， ， ，垂足为
E，交 于点D，连接 ，则 的长度为 ．
【考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等】
例题：（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）如图， 为⊙O的直径， ，则
的度数为 ．
【变式训练】
1．（2023春·北京东城·八年级景山学校校考期末）如图， 为 的外接圆 的直径，若
，则2．（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，且 ，
的延长线与 的延长线交于点 ，连接 ，若 ，则 的度数是 ．
【考点四 半圆(直径)所对的圆周角是直角】
例题：（2023·辽宁营口·校联考一模）如图， 是 的直径，弦 交 于点 ，连接 ， ．若
，则 ．
【变式训练】
1．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）如图， 是 的直径， 是 的弦，如果 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ，求 的长．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 是 的直径，点C，D是 上的点，且 ， 分
别与 ， 相交于点E，F．(1)求证：点D为弧 的中点；
(2)若 ， ，求 的直径．
【考点五 90度的圆周角所对的弦是直径】
例题：（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形 中， ，动点P在矩形的内部，连
接 、 ，若 ，则 的最小值是 ．
【变式训练】
1．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在 中， ， ， ，D为线段 上
的动点，连接 ，过点B作 交 于点E，则在点D的运动过程中，求线段 的最小值为
．
2．（2023春·浙江·九年级专题练习）在矩形 中， ， ，点F是 边上的一个动点，连
接 ，过点B作 于点G，交射线 于点E，连接 ，则 的最小值是 ．【考点六 已知圆内接四边形求角度】
例题：（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ，延长 至点 ，已知 ，
那么 ．
【变式训练】
1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，已知四边形 内接于 ， ，则
的度数是 ．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在直径为 的 中，点 ， 在圆上， ，若
，则 的度数为 ．【考点七 求四边形外接圆的直径】
例题：（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，
∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【变式训练】
1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图， 为正方形 的外接圆，若 ，则 的
面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于 ， ，点C为
的中点，延长AB、DC交于点E，且 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．【过关检测】
一、单选题
1．（2023·江苏盐城·校考三模）如图，点 、 、 在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A．38° B．76° C．80° D．60°
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的外接圆，且 是 的直径，点D在 上，
连接 、 ，且 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
5．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形 的宽为10，长为12，E是矩形内的动点， ，则
最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
二、填空题
6．（2023·江苏苏州·校考二模）如图， 内接于 ， 为弧 的中点，若 ，则
°．
7．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则
．
8．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 ， 在 上．若 ，则
度．9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图， 是 的一条弦， ，垂足为点C，交
于点D，点E在 上， ， ，则弦 的长是 ．
10．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ， 是 内
部的一个动点，连接 ，且满足 ，过点 作 于点 ，则 ；当线段
最短时， 的面积为
三、解答题
11．（2023秋·九年级课时练习）如图， 内接于 ， 为 的直径． ， ，求
的长．12．（2023春·江西九江·九年级校考阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直
径，A是 的中点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中，作一个等腰 ．
(2)在图2中，作一个以 为对角线的矩形．
13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点B，C为 上两定点，点A为 上一动点，过点B作
，交 于点E，点D为射线 上一动点，且 平分 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，试判断四边形 的形状，并说明理由．14．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 ， ，
(1)求证： ；
(2)作 于点 ，若 的半径为 ， ，求 的长．
15．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图1，已知 为 的直径，C为 上一点， 于E，D
为弧 的中点，连接 ，分别交 于点F和点G．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ，连接 ，求证： ．
16．（2023秋·九年级单元测试）定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边
所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形．(1)如图1，四边形 内接于 ， ，点C是弧 的中点，连接 ，试说明 与
是偏等三角形．
(2)如图2， 与 是偏等三角形， ， ， ， ，求
的长．
(3)如图3， 内接于 ， ， ， ，若点D在 上，且 与 是偏
等三角形， ，求 的值．
