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专题 24.2 垂径定理及其推论【十大题型】
【人教版】
【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】..............................................................................................................1
【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】.....................................................................................................2
【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】.................................................................................................3
【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】.................................................................................................5
【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】..................................................................................................................6
【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】..................................................................................................................7
【题型7 垂径定理的实际应用】..............................................................................................................................8
【题型8 垂径定理在格点中的运用】......................................................................................................................9
【题型9 利用垂径定理求整点】............................................................................................................................11
【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】.......................................................................................................12
【知识点1 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】
【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC、BD，下
列结论中不一定正确的是（ ）A．AE=BE B．A´D=B´D C．OE=DE D．A´C=B´C
【变式1-1】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两
位同学分别整理了一个命题:
甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.
下面对这两个命题的判断,正确的是
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错
【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线经过圆心
C．平分弦的直径垂直于弦 D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦
【变式1-3】（2023·福建三明·泰安模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的
是（ ）
A．DE=BE B．B´C=B´D
C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形
【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】
【例2】（2023·贵州遵义·统考三模）在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是
（ ）3√3
A．√3 B．3√3 C．2√3 D．
2
【变式2-1】（2023春·浙江·九年级统考阶段练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上
运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为 ．
【变式2-2】（2023·湖北孝感·校联考一模）如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E
点，已知⊙O的半径为1，则AE2+CE2 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过
点P作弦MN，∠NPB=45°．
（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；
（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；
（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变），PM2+PN2的值是否发生变化？若不变，请求出其值；
AB2
若变化，请求出其范围．
【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】
【例3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB=CD=6，则OE的值是（ ）
A．2√2 B．3√2 C．4√2 D．5√2
【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接
EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【变式3-2】（2023·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别
是CB和AD的中点，联结MN,OG．
（1）求证：OG⊥MN；
（2）联结AC,AM,CN，当CN//OG时，求证：四边形ACNM为矩形．
【变式3-3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）按要求作图(1)如图1，已知AB是⊙O的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平
分线OP；
(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，点C是B´D的中点，AB∥CD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一
点P，使四边形ABPD是平行四边形．
【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】
【例4】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径
为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为4√2，则a的值是（ ）
A．4 B．3+√2 C．3√2 D．3+√3
【变式4-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10,0)，点B的坐
标是(8,0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
【变式4-2】（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于
A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ．【变式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点(0,10)，直
线y=kx+2k-4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（ ）
A．6√2 B．10√3 C．8√5 D．以上都不对
【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】
【例5】（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，
则AB与CD之间的距离是 ．
【变式5-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点
G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝
18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．【变式5-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD经过圆心O的线段
EF⊥AB于点F，与CD交于点E，已知⊙O半径为5．
（1）若AB=6，CD=8，求EF的长；
（2）若CD=4√6，且EF=BF，求弦AB的长；
【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】
【例6】（2023春·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）如图，两个圆都是以O为圆心．
（1）求证：AC=BD；
（2）若AB=10，BD=2，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值．
【变式6-1】（2023春·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆
被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得
AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放
置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则
杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B．4√2 C．4√3 D．4√5
【变式6-3】（2023·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD
分别是两圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是 ．
【题型7 垂径定理的实际应用】
【例7】（2023·浙江温州·校联考二模）如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由AP´B和直角
∠ACB围成，且点C也在AP´B所在的圆上，已知AC=4m，隧道的最高点P离路面BC的距离DP=7m，
则该道路的路面宽BC= m；在AP´B上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若E是
A´P的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．
【变式7-1】（2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破
裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径．
【变式7-2】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如
图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得
的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【变式7-3】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又
环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定
的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当
t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考
数据，√2≈1.414，√3≈1.732）问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）
【题型8 垂径定理在格点中的运用】
【例8】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期末）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶
点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使AD=BC；
(2)在图（2）中，A，E，F三点是格点，⊙I经过点A．先过点F画AE的平行线交⊙I于M，N两点，再
画弦MN的中点G．
【变式8-1】（2023春·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方
形网格交点）A、B、C，其中B(2,3)，则圆弧所在圆的圆心坐标为 ．【变式8-2】（2023春·河南驻马店·九年级统考期末）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的
每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径
是 ．
【变式8-3】（2023·北京·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过
格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 cm．（结果保留一位小数）
【题型9 利用垂径定理求整点】
【例9】（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图
以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数
点有 个．【变式9-1】（2023春·全国·九年级统考期中）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，满足线
段OP的长为整数的点P有 处不同的位置．
【变式9-2】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(4,4),C(6,2)．注：把
在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点 ．
(latticepo∫)
（1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为 ；
（2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过 格点．
【变式9-3】（2023·湖南邵阳·校联考一模）⊙O的直径为10，弦AB=8，点P为AB上一动点，若OP的值
为整数，则满足条件的P点有 个．
【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】
【例10】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD的顶点A，C在半径为5的⊙O上，
D(2,1)，当点A在⊙O上运动时，点C也随之运动，则矩形ABCD的对角线AC的最小值为（ ）．A．2√5 B．10-√5 C．10+√5 D．10-2√5
【变式10-1】（2023·广东佛山·统考二模）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动
点，则OP的长度范围是（ ）
A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤5
【变式10-2】（2023春·浙江金华·九年级统考期中）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一
点，EF=2，AB=12，CE的长的最大值为 ．
【变式10-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两
点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点
E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
