文档内容
专题 24.2 垂径定理（3 大知识点 11 类题型）（知识梳理与考点分类
讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
【知识点2】垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条
弧.
【要点提示】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；(2)这里的直径也可以是半径，也可
以是过圆心的直线或线段.
【知识点3】垂径定理的拓展：根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平
分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过
圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角
形”，通过勾股定理求值或证明.
【题型目录】
【题型1】垂径定理和推论的理解..............................................2；
【题型2】利用垂径定理求半径................................................4；【题型3】利用垂径定理求弦长或弦心距........................................6；
【题型4】利用垂径定理求角度或其他线段长....................................9；
【题型5】利用垂径定理解决平行弦问题（分类讨论）...........................12；
【题型6】利用垂径定理解决同心圆问题.......................................16；
【题型7】利用垂径定理推论求值.............................................18；
【题型8】利用垂径定理进行证明.............................................21；
【题型9】垂径定理的应用...................................................13;
【题型10】直通中考........................................................26；
【题型11】拓展练习........................................................29.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】垂径定理和推论的理解
【例1】（23-24九年级上·广西防城港·期末）下列判断正确的是（ ）
A．弦心距相等则弦也相等
B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分
C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等
D．弦的垂直平分线必定经过圆心
【答案】D
【分析】本题考查了圆的相关性质，熟练掌握垂径定理及其推论是解题的关键．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平方弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直于平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
解：A、在同圆或等圆中，弦心距相等则弦也相等，故该选项错误；
B、一个圆的两条直径，虽不垂直，但一条一定平分另一条，故该选项错误；
C、必须在同圆或等圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等，故该选项错误；
D、根据垂径定理得到，故该选项正确．
故选：D．【变式1】（21-22九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的弦，根据下列条件填空：
（1）如果 是 的直径，且 于点 ，那么有 ， ， ；
（2）如果 是 的直径，且 ，那么有 ， ， ；
（3）如果 ，且 ，那么有 ， ， ．
【答案】
是 的直径
【分析】（ ）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可；
（ ）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解
即可；
（ ）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可．
解：（ ）∵ 是 的直径，且 于点 ，
∴ ， ， ；
（ ）∵ 是 的直径，且 ，
∴ ， ， ；
（ ）∵ ，且 ，
∴ 是 的直径， ， ．
【点拨】此题考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
【答案】D
【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根
据相关定理逐项判断，即可解题．
解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意；
C、过弦（弦不是直径）中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意；
故选：D．
【题型2】利用垂径定理求半径
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图， 是 的弦， 为 的中点， 的延长线与
交于点 ，若 ， ，求 的半径．
【答案】 的半径为 ．
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理及推论的应用，连接 ，由 为 的中点，则 ，故
有 ，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：连接 ，
∵ 为 的中点，∴ ， ，
设 的半径为 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得 ，
∴ 的半径为 ．
【变式1】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图， 为 的弦， 于点 ．若 ，
，则 的半径长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得出 ，根据勾股定理求出
，即可得出答案．
解：∵ ，
∴ 为 的中点，
∴
在 中， ，
∴ ．
∴ 的半径为 ．
故答案为：
【变式2】（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出
盒外，其截面如图所示，已知 ，则圆形纸片的半径长是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点 作 于 ，则 ， ，
设圆形纸片的半径长为 ，则 ， ，由勾股定理得 ，解方程即可求解，
正确作出辅助线是解题的关键．
解：过点 作 于 ，则 ， ，
设圆形纸片的半径长为 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴圆形纸片的半径长是 ，
故选： ．
【题型3】利用垂径定理求弦长或弦心距
【例3】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线 与坐标轴相交于点A，
B，过点O，A的 与该直线相交于点C，连结 ， ．
(1)求点E到x轴的距离． (2)连结 ，求 的长．【答案】(1) ； (2) .
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周
角定理、勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征．
（1）过点 作 轴于点 ，先确定 ，再根据垂径定理得到 ，然后利用勾股定理计算
出 即可；
（2）连结 ， ，如图，先求出 ，则可判断 为等腰直角三角形，所以 ，再
根据圆周角定理得到 ，所以 为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求
出 的长．
解：（1）解：过点 作 轴于点 ，如图，
当 时， ，解得 ，
，
，
，
在 中， ，点 到 轴的距离为 ；
（2）连结 ， ，如图，
当 时， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
．
【变式1】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，
使其一边经过圆心 ，另一边所在直线与半圆相交于点 ，量出半径 ，弦 ，则直
尺的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键．连接 ，过点O作
，垂足为H，在 中，由勾股定理即可求出答案．
解：连接 ，过点O作 ，垂足为H，∴ ，
在 中，
∴
即直尺的宽度为 ．
故选：C．
【变式2】（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，已知 的直径 ，点 是弦 上一点，
连接 ， ， ，则弦 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解
此题的关键．过 作 于 ，求出 ，根据等腰三角形的判定得出 ，
设 ，则根据垂径定理得出 ，然后根据勾股定理求出 即可．
解：过 作 于 ，则 ，
，
，
，
设 ，直径 ，
，
， 过圆心 ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
，
，
故答案为： ．
【题型4】利用垂径定理求角度或其他线段长
【例4】（2021·浙江宁波·一模）如图，在 中， ，以点A为圆心， 长为半径作圆，
交 于点D，交 于点E，连接 ．
(1)若 ，求 的度数； (2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ; (2) .
【分析】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径
定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）连接 ，求出 ，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作 ，垂足为F．利用面积法求出 ，再利用勾股定理求出 ，进而利用垂
径定理可得结论；
解：（1）解：如图所示，连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，过点A作 ，垂足为F．
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ．【变式1】（2024·福建龙岩·模拟预测）在 中，点C为弦 的中点，过点C的直径交 于点D，
E，如果 ，则 长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理和勾股定理求得 ，再分类讨论，结合
图形求解即可．
解：如图1，连接 ，
∵点C为弦 的中点， 是 的直径， ，
∴ ， ，又
∴ ，
∴ ；
同理，如图2，则 ，
综上， 长为 或 ，
故选：C．
【变式2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，已知 的半径为7， 是 的弦，点P在弦
上．若 ，则 的长为 ．【答案】5
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的
关键．
如图：过O作 于C，连接 ，由垂径定理可得 ，进而得到 、 ，再
运用勾股定理可得 ，最后再运用勾股定理即可解答．
解：如图：过O作 于C，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 过圆心O，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：5．
【题型5】利用垂径定理解决平行弦问题（分类讨论）
【例5】（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）已知 的半径为13，弦 平行于 ， ，
求 和 之间的距离．
【答案】 和 之间的距离为7或17
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当 的圆心O位于 、 之间时，当 的圆心O不在两平行弦 、 之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到 和 的距离，
据此可得答案．
解：如图，当 的圆心O位于 、 之间时，作 于点E，并延长 ，交 于F点．分别
连接 、 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 和 之间的距离为17；
如图所示，当 的圆心O不在两平行弦 、 之间（即弦 、 在圆心O的同侧）时，
同理可得： ，
∴ ，
∴ 和 之间的距离为7；
综上所述， 和 之间的距离为7或17．
【变式1】（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面
⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面 ，作 与 的交点为 ，
可知 ， ， ，在 中，由勾股定理得
，解得 的值，在 中，由勾股定理得 ，解得 的值，
计算 即可；②如图2，宽度为8cm的油面 ，作 与 的交点为 ，连接
，由题意知 ， ， ，在 中，由勾股定
理得 ，在 中，由勾股定理得 ，计算 即可．
解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面 ，作 与 的交点为
由题意知 ， ，
在 中，由勾股定理得
在 中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面 ，作 与 的交点为 ，连接由题意知 ， ，
在 中，由勾股定理得
在 中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
【点拨】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑．
【变式2】（2023九年级上·全国·专题练习）已知 的直径为 ， ， 是 的两条弦，
， ， ，则 与 之间的距离为 cm．
【答案】2或14
【分析】作 于E，延长 交 于F，连接 、 ，如图，利用平行线的性质 ，根
据垂径定理得到 ， ，则利用勾股定理可计算出 ， ，讨
论：当点O在 与 之间时， ；当点O不在 与 之间时， ．
解：作 于E，延长 交 于F，连接 、 ，如图
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，，
在 中， ，
在 中， ，
当点O在 与 之间时，如图1， ，
当点O不在 与 之间时，如图2， ，
故答案为：2或14．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
【题型6】利用垂径定理解决同心圆问题
【例6】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦
交小圆于点B、C．
(1)求证： (2)当 时，求大圆与小圆的面积之差．
【答案】(1)见解析； (2) .
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）过点 作 于点 ，利用垂径定理可得 ， ，即可证明 ；
（2）连接 ，作 于点E，根据垂径定理得 ， ，再根据圆的面积公式，
勾股定理和平方差公式计算即可．
解：（1）证明：如下图，过点 作 于点 ，
则 ， ，∴ ，
即 ；
（2）解：如图，连接 ，作 于点E，则 ， ，
大圆与小圆的面积之差为：
．
【变式1】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，以 为圆心的同心圆中，大圆的弦 交小圆
于 两点，
求证：(1) ；(2) ．
【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题
的关键．
（1）过 作 ，由等腰三角形的性质可知 ， ，由此可得出结论；
（2）根据垂径定理得到 ， ，从而得到 ．
解：（1）证明：过 作 ，与 均为等腰三角形，
， ，
，即 ；
（2）证明： ，
， ，
，即 ．
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小
圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，先画出图形，再利用垂径定理与勾股定理计算即可．
解：如图，记弦与圆的交点分别为 ，连接 ，
过 作 于 ，
∴ ， ，
∵大圆的一条弦有一半在小圆内，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：D
【题型7】利用垂径定理推论求值
【例7】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，D、E分别是 的中点， 交 于
M、交 于 求证： ．
【分析】连结 ， ，根据垂径定理的推论可得 ， ，再由 得到
，根据等角的余角相等得到 ，即可证明结论．
解：证明：连结 ， ，
是 的中点，E是 的中点，
， ，
又 ，
，
， ，
而 ， ，
，【点拨】此题主要考查垂径定理的推论，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【变式1】（2023·广东河源·一模）如图， 为⊙O的直径， 是⊙O的弦，点 是 上的一点，
且 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，交 于 ，根据垂径定理推论 ，再由垂径定理 ，再由勾股
定理计算 ， 的长，从而求得 的长，此题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理的性质，正
确作出辅助线是解题的关键．
解：连接 ，交 于 ，
∵ ，
∴点 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，故选： ．
【变式2】（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，已知 ， ，依据尺规作图的
痕迹可求出 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和勾股定理解直角三角形以及垂径定理的推论，“平分弦（非直径）的直径
垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧．”熟悉角平分线的尺规作图方法，和理解垂径定理的推论是解题的关键．
解：依据尺规作图痕迹，可知该图是以A为圆心作圆弧 交 、 交于 、 ，然后分别以 、 圆心，相同半
径作圆弧相交于一点，连接两圆弧交点和点 交 于 ，故 所在直线为 的角平分线．
，
（垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧．）
在 中， ，
，
．
故答案为： ．【题型8】利用垂径定理进行证明
【例8】（20-21九年级上·辽宁大连·期中）如图， 是 的直径，C，D是 上两点，且 平分
，作 于E．
(1)求证： ；(2)求证： ．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，垂径定理等知识，解题的关键是：
（1）根据角平分线定义和等腰三角形等边对等角性质可得出 ，然后根据平行线
的判定即可得证；
（2）过点O作 于M，由垂径定理可得出 ，利用 证明 ，得出
，即可得证．
解：（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：过点O作 于M，
∴ ，∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，点 在 上，直径 于点 ，下列结论
中不一定成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知 为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断．
解：根据 为 的直径，且 ，垂足为 ，则 是垂直于弦 的直径，满足垂径定理．
因而 都是正确的．
所以选项B不一定成立．故选：B．
【点拨】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解，垂径定理为：垂直于弦的直径，平分弦，且平分
弦所对的劣弧，平分弦所对的优弧，要求学生熟练掌握，灵活运用．
【变式2】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为M，
下列结论不一定成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过审题， 根据 是 的直径，弦 ，依据垂径定理即可解答问题．
解：∵ 是 的直径，弦 ，
由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知，
∴ ，故A正确； ，
∴ ，故D正确；
∵ ， ，
∴ ，故C正确；故选：B．
【点拨】题主要考查了垂径定理的简单应用,解题的关键是掌握垂径定理的内容，灵活应用．
【题型9】垂径定理的应用
【例9】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒
车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．
已知圆心O在水面上方，且 被水面截得弦 长为8米， 半径长为6米，若点C为运行轨道的最
低点，则点C到弦 所在直线的距离是多少？
【答案】 米
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接 ， 交 于点D，再由勾股定理得 ，然后计算即可求解．
解：连接 ， 交 于点D，如图，即 ，
∵点C为运行轨道的最低点， ，
∴ ， ，
由勾股定理，得 ，
即 ，
∴ ，
故点C到弦 所在直线的距离是 米．
【变式1】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，
B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（ ）
A．(2,1) B．(1,0) C．(2,0) D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形，垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直
径平分弦”．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 和 的垂直平分线，交点
即为圆心．
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦 和 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，圆心的坐标是(2,1)，
故选：A．
【变式2】（2023·浙江衢州·一模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架 与地
面垂直，真空集热管 与地面水平线夹角 为 ，直线 与 都经过水箱截面的圆心O．已知
， ，则水箱内水面宽度 为 ．
【答案】
【分析】取 与 的交点为点G，由题意得， ， ，从而可得 ，
，根据直角三角形的性质可得 ， ，设 ，则
， ，进而可得 ， ，再利用 ，列方
程求解即可．
解：取 与 的交点为点G，
由题意得， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角
形的性质和垂径定理是解题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型10】直通中考
【例1】（2023·浙江金华·中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，与 轴相交于
点 ．连接 ，过点 作 于点 ．
(1)求证：四边形 为矩形．
(2)已知 的半径为4， ，求弦 的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
解：（1）证明：∵ 与 轴相切于点 ，
∴ 轴．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）如图，连接 ．
四边形 是矩形，
．
在 中， ，
．
点 为圆心， ，
．
【点拨】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．
【例2】（2024·江西·中考真题）如图， 是 的直径， ，点C在线段 上运动，过点C的
弦 ，将 沿 翻折交直线 于点F，当 的长为正整数时，线段 的长为 ．
【答案】 或 或2【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据 ，可得 或2，利用勾股定
理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
解： 为直径， 为弦，
，
当 的长为正整数时， 或2，
当 时，即 为直径，
将 沿 翻折交直线 于点F，此时 与点 重合，
故 ；
当 时，且在点 在线段 之间，
如图，连接 ，
此时 ，
，
，
，
，
；
当 时，且点 在线段 之间，连接 ，同理可得 ，
，
综上，可得线段 的长为 或 或2，
故答案为： 或 或2．
【题型11】拓展延伸
【例1】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，M为x轴正半轴上一点， 与x轴负半轴交于点A，
与y轴正半轴交于点B，连接 ，将 绕顶点B逆时针旋转 得到 ，此时点C恰在 上，
若 半径为4，则点D的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质，垂径定理，矩形的判断和性
质，勾股定理解三角形，是解题的关键．
过点M作 的垂线，垂足为N，连接 ，利用垂径定理证明四边形 是矩形，令 ，则，利用勾股定理求出 ，进而求解即可．
解：过点M作 的垂线，垂足为N，连接 ，
则 ，
由旋转知， ， ， ，
∴ 轴，
∴ 轴，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
令 ，则 ，
在 中， ，
解得 （舍负），
∴ ，
即 ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．所以点D的坐标为： ，
故答案为：
【例2】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交
于 两点，与y轴交于C点，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使 ，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说
明理由；
(3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作 轴于点F，过点A、B、D的圆与 交于E点，求
的面积．
【答案】(1) ; (2)存在， ; (3) .
【分析】（1）根据题意得到 ， ，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）判断 是等腰直角三角形，可求出 ，设 交x轴于点D，则
，求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式，联立方程组
，求出公共解即可求出点M坐标；
（3）记过点A、B、D的圆的圆心为点G，设 ，根据 ，可得出①，由点D在抛物线上，可得出 ②，将②代入①得求出
，根据三角形面积公式求出 ，然后整体代入计算即可．
解：（1）解：∵ ，
∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：在第一象限内抛物线上存在点M，使 ，理由如下：
如图 ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 交x轴于点D，则 ，
∴点D的坐标为 ；设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
联立 ，
解得 ， （舍）
∴点M的坐标为（ ，
（3）解：把 代入 ，得 ，
解得 或 ，
∴点A的坐标为 ，
∴AB=6，
设过点A、B、D得圆的圆心为点G，
∵ ，
∴点G在线段 的垂直平分线上，设点G的坐标为 ，
同理可得点G在线段 的垂直平分线上，
∵ 轴于点F，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ①，
∵点D在抛物线上，
∴ ，
得 ②，
将②代入①得， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特
征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
