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专题24.33 弧长和扇形的面积（分层练习）
一、单选题
1．如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 ，圆弧的半径 ，圆
心角 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则该扇形的半径为（ ）
A． B．6 C．12 D．
3．一个扇形的半径为6，弧长等于 ，则扇形的圆心角度数为（ ）
A． B． C． D．
4．若扇形的圆心角为 ，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在扇形 中，∠ ， ，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．6．如图，某小区要绿化一扇形 空地，准备在小扇形 内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测
得 ， ， ，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．一张直径为40cm的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧 的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子： ， ，经核对，两
个结果均正确，则下列说法正确的（ ）
A．该扇形的圆心角为 ，直径是4 B．该扇形的圆心角为 ，直径是3
C．该扇形的圆心角为 ，直径是6 D．该扇形的圆心角为 ，直径是4
9．如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形．每个小正方形
画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线．试求图中斐
波那契螺旋线的长．（ 取3.14）（ ）
A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68
10．将两块全等的三角板 和 按如图所示的位置放置． ， ，若三角板 绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边 上，则点A运动路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图， 上经过点A的切线交直径 的延长线于点P，且 ， 的半径为2，则下列
结论错误的是（ ）
A． 的长为 B． 为等腰三角形
C．B为 中点 D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是 ， 与x轴相切．点A，B在 上，它们的
横坐标分别是0，9．若 沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，以 为圆心的圆形跑道上，有三个起点A，B，C，设从 到 的跑道长为 ，从 到 的跑道长为 ，从 到 的跑道长为 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
14．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水平面的接触点，PA，PB分别与
所在圆相切于点A，B．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触，如图3.若 ，
水平面上点M与点B之间的距离为 ，则 所在圆的半径是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
15．六一儿童节快到了，小亮在图纸上先画了一个边长为 的正方形，再以该正方形的四个顶点为
圆心、 长为半径作弧，则图中实线所示的饰品轮廓的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．若扇形的圆心角为 ，半径为 ，则它的弧长是 ．17．一个扇形的圆心角为 ，弧长为3πcm，则此扇形的半径是 cm．
18．一个扇形的面积是 ，半径是 ，则此扇形的圆心角是 度．
19．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将 绕点 顺时针旋转 得到
，则 的长为 ．
20．如图，在矩形ABCD中， ， ，点O为BC的中点，以点O为圆心，OC长为
半径作半圆与BD相交于点E，则图中阴影部分的面积是 ．
21．如图所示，将三角尺的一个顶点与量角器的中心O重合，斜边与半圆交于点A，顶点B在量角器
的半圆上，已知 ，则扇形 的面积与弧 的比 ．
22． 年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“
”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为 米，圆心角都为 ，则这“
”型圆弧堤坝的长为 米．（结果保留 ）23．如图，这是“太极”图案的一部分，也称为“阴阳鱼”，其柔和而流畅的曲线构造既包含了国人
的智慧文化，同时也蕴藏着很多的数学知识．该图案可以看作是三段弧线的组合，即以 为直径的半圆
弧 ，以 为直径的半圆弧 ，以 为直径的半圆弧 ．且满足 ，A，B，C三点在同一
直线上，若 ，则该图案的面积为 ．
24．如图：一个用铅丝围成的等边三角形 的边长为6，把它弯成一个以A为圆心的扇形，则此
扇形的面积为
25．如图是古希腊数学家埃拉托斯特尼在夏至日这天测量地球子午线周长的示意图，其中太阳光线
是竖直插在球面上的木杆， 的延长线都经过圆心O．已知B，E间的劣弧长约为800千
米，子午线周长约为40000千米，则 的度数约为 ．26．如图，边长为2的等边 ，将边 不改变长度，变为弧 ，得到以A为圆心， 为半径
的扇形 ，由三角形变成扇形，下列量的变化情况是： 的度数 ，图形的面积 ．（空格
处填“变大”，“变小”或“不变”）
27．如图所示的扇形中，已知 ，则 ．
28．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上
常佩戴的一种饰品，现从一块直径为 的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为 的最大扇形玉佩，
则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
29．蛋形九巧板源于1983年上市的“哥伦布蛋形拼图”（如图1），是七巧板的变形和延伸．如图
2， ， 是 两条互相垂直的直径，分别以点 ， 为圆心， 的长为半径画圆弧，交 ，
的延长线于点 ， ，再以点 为圆心， 的长为半径画 ，形成蛋形九巧板轮廓．若 ，则蛋形
九巧板外围周长为 ．30．如图，一个圆形花坛分成三个区，四小圆以外的部分是外围区来种草，四小圆两两相交的部分是
中心区来种花，这两区的面积比是 ．
三、解答题
31．如图，点 在 的直径 的延长线上，点 在 上，连接 、 ．
（1）给出下列信息：① ；② ；③ 与 相切．
请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你
选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）．
（2）在（1）的条件下，若 ，求图中阴影部分的面积．
32．如图，已知长方形 的宽 ，以 为圆心， 长为半径画弧与边 交于点 ，连接
，若 计算结果保留 ）（1）用含 的代数式表示图中阴影部分的面积；
（2）当 时，求图中阴影部分的面积．
33．如图， 是 的直径， 是 的弦，且 ．
（1）求证：直线 为 的切线；（2）若 ，求图中阴影部分的面积．
34．如图，四边形 内接于 ，且 的半径为r， ．
（1）若 ，求 的长．
（2）若 ，求证： ．35．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ， 是 的中点．
（1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积；
36．如图，在矩形 中，点 为边 上一点，以点 为圆心， 为半径的 与对角线 相
交于点 ，与边 相交于点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若当点 为 的中点时， 的半径为 ，求阴影部分的面积．参考答案
1．B
【分析】根据弧长公式求解即可．
解：弧的半径 ，圆心角 ，
，
∴故选：B．
【点拨】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．
2．B
【分析】根据弧长公式 可以求得该扇形的半径的长度．
解：根据弧长的公式 ，知
=6，
即该扇形的半径为6．
故选：B．
【点拨】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的方程，通过解方程
即可求得r的值．
3．C
【分析】根据弧长公式 ，其中n为圆心角，r为半径，代入数值即可求解．
解：根据题意得到 ，
解得 ，
即扇形的圆心角度数为 ．
故选：C
【点拨】此题考查了弧长公式，数量掌握弧长公式是解题的关键．
4．C
【分析】根据扇形的面积计算公式计算即可．
解：由题意得：
故选C．
【点拨】本题主要考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积计算公式是解决本题的关键．
5．D
【分析】利用阴影部分的面积等于扇形面积减去 的面积即可求解.
解：=
故选D
【点拨】本题主要考查扇形面积和三角形面积，掌握扇形面积公式是解题的关键.
6．B
【分析】种草区域的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，利用利用扇形的面积公式计算即可．
解：解∶∵ ， ， ，
∴种草区域的面积为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式：扇形面积 ．
7．D
【分析】设圆心为O，连接 ，利用圆周角定理求得 ，再利用弧长公式
即可求解．
解：设圆心为O，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵圆的直径为40cm，
∴ ，
∴优弧 的长度为 ，故选：D．
【点拨】本题考查了弧长公式，圆周角定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．D
【分析】根据 ， ，可以写出 和 的形式，然后即可判断哪个选项是
正确的，本题得以解决．
解： ， ，
， ，
该扇形的圆心角为 ，直径是4，
故选：D．
【点拨】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，解答本题的关键是明确扇形的 和 ．
9．B
【分析】分别计算6段圆弧的长，然后求和即可．
解：若半径为 ，则四分之一圆弧长为 ，
由图可知， ，1，2，3，5，8，
则6段圆弧的长分别为： ， ， ， ， ， ，
∴图中斐波那契螺旋线的长为6段弧长之和，即 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了数字的变化规律及弧长公式，找出这组数列中的规律是解决本题的关键．
10．B
【分析】根据题意确定 为等边三角形，从而得出 的度数，结合 ，代入弧长运算公
式即可得出答案．
解： ，
，
又 ，
为等边三角形，
，
，则 运动路径的长度 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是根据题意判断 为等边三角形，另外要求同
学们熟练掌握弧长的计算公式．
11．A
【分析】连接 ，证出 是等边三角形，得出 ，由切线的性质得
出 ，由等腰三角形的性质及弧长公式可得出答案．
解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即B为 的中点．
故选项B，C，D正确，
∵ 的半径为2，∴ ．
故A选项不正确．
故选：A．
【点拨】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握切线
的性质是解题的关键．
12．B
【分析】连接 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，求出 的坐标，当点B第一
次落在x轴上时，点 移动的距离为 的长，进而得到此时点 的坐标，根据旋转过程中 的长度不变，
确定 的位置，再进行求解即可．
解：连接 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，
∵
∴ ，
∵ 与x轴相切，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 的横坐标为： ， ，
∴ 在平行于 轴的直线上，即： ，
∴ ，∴ 的长为 ，
当点B第一次落在x轴上时，点 移动的距离为 的长，
∴此时 点的坐标为： ，
∵ 沿着x轴向右作无滑动的滚动， 的长度保持不变，
∴点 位置转动到如图所示的位置：
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
故选B．
【点拨】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，勾股定理．解题的关键是确定点B第一次落在
x轴上时，点 和点 的位置．
13．B
【分析】利用弧长公式计算后比较大小即可．
解：设圆的半径为r，根据题意得
，
故 ，
故选B．
【点拨】本题考查了弧长公式，熟练掌握公式是解题的关键．
14．B
【分析】如图：过A、B作 的垂线交于点O，O即为圆心；再根据题意可得 的度数，然后可得得到优弧 对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
解：如图：过A、B作 的垂线交于点O，
设圆的半径为r
∵PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B，
∴O为圆心，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵水平面上点M与点B之间的距离为 ，
∴
∴ ，
解得： ．
故选B．
【点拨】本题主要考查弧长的计算、切线的性质等知识点，解答本题的关键是求出优弧 的圆心角．
15．C
【分析】如图，由题意知， ， ，则 ，根据
计算求解即可．
解：如图，由题意知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴实线所示的饰品轮廓的长 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了弧长，正方形的性质．解题的关键在于明确轮廓的表达形式．
16．
【分析】直接根据扇形的弧长公式进行计算即可．
解：∵扇形的圆心角为 ，半径为 ，
∴它的弧长是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．
17．4
【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径．
解：扇形的弧长为 ，
解得， ，
故答案为：4．
【点拨】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式．
18．
【分析】设扇形的圆心角是 ，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．解：设扇形的圆心角是 ，
根据扇形的面积公式得：
解得 ．
故答案是： ．
【点拨】此题主要考查扇形的面积公式，解题的关键是熟知扇形的面积公式的运用．
19．
【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．
解： 的长 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
20．
【分析】连接OE、EC，用△BCD的面积减去△BOE和扇形OEC的面积即可．
解：连接OE、EC，
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°，
∵ ， ，
∴ ， ，∠EOC=60°，BD=2CD，
，
，
，
， ，
，
，图中阴影部分的面积是 ．
【点拨】本题考查了扇形面积和勾股定理，圆周角的性质，解题关键是熟记相关公式，准确进行计算．
21．
【分析】分别根据扇形面积公式和弧长公式求出扇形 的面积与弧 的长即可得到答案．
解：由题意得： ，
∴ ，弧 的长为 ，
∴扇形 的面积与弧 的比为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了求扇形面积，求弧长，熟知弧长公式和扇形面积公式是解题的关键
22．
【分析】根据弧长公式进行计算即可求解．
解：根据题意可知这“S”型圆弧堤坝的长为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
23．
【分析】根据半圆 与半圆 相等，可得 ，即有
，问题随之得解．
解：∵半圆 与半圆 相等，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了扇形的面积，根据半圆 与半圆 相等，可得 ，是解答本
题的关键．
24．18
【分析】由等边三角形的边长得到扇形的弧长和半径，再利用面积公式计算即可．
解：由题意可得：
此扇形的半径为6，弧长为6，
∴面积为 ，
故答案为：18．
【点拨】本题考查了扇形的面积，解题的关键是将等边三角形中的长度转化到扇形的弧长和半径．
25．7.2°/7.2度
【分析】将地球近似的看成圆，根据弧长公式即可求解．
解：∵B，E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，
∴
解得：
故答案为：
【点拨】本题考查了根据弧长公式求圆心角的度数，掌握弧长公式是解题的关键．
26． 变小 变大
【分析】根据扇形面积公式求出圆心角的度数 ，与原来的 度数比较，分别求出扇形和等边三角
形 的面积，比较即可得到答案．
解：设 的度数大小由 变为 ，
由题意得 ，
∵ ，
∴ ，
即 的度数变小，以A为圆心， 为半径的扇形 的面积为 ，
边长为2的等边 的面积为 ，
∵ ，
∴图形的面积变大．
故答案为：变小，变大
【点拨】此题考查了扇形面积、弧长公式、等边三角形的性质和面积等知识，读懂题意是解题的关键．
27．100．
【分析】先在小扇形中利用扇形弧长公式求解出圆心角度数，再在大扇形中利用公式求解出弧长即可．
解：设扇形圆心角度数为n°，
∵ ，
∴在扇形 中， ，
解得： ，
∴在扇形 中， ,
故答案为：100．
【点拨】本题主要考查了扇形弧长的计算，解题的关键是利用圆心角大小不变并熟悉弧长公式进行求
解．
28． / 平方厘米
【分析】根据圆周角定理由 得 为 的直径，即 ，根据等腰直角三角形的性
质得 ，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．
解：∵ ，
∴ 为 的直径，即 ，∴ ，
∴ （平方厘米），
∴故答案为： ．
【点拨】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．
29．
【分析】分别求出 、 和 的长即可求出结果．
解：根据题意知， 和 都是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 的长 ，
的长= 的长 ，
的长 ,所以，蛋形九巧板外围周长
= ．
【点拨】本题主要考查了弧长的计算，解答此题应注意复杂的不规则的图形需要把图形分解看成几个
规则图形的组合
30．1：1
【分析】设小圆的交叉部分种花的面积为 ，在四小圆以外部分种草的面积为 ，令小圆半径为 ，
则大圆半径为 ，数形结合即可得到答案．
解：设小圆的交叉部分种花的面积为 ，在四小圆以外部分种草的面积为 ，令小圆半径为 ，则大
圆半径为 ，
，即 ，
故答案为：1：1．
【点拨】本题考查不规则图形面积的求法，根据题意，设出面积及半径，数形结合表示出面积之间的
关系是解决问题的关键．
31．（1）①②，③，证明过程见详解；（2）
【分析】（1）证明 是 的切线，根据 ， ，可证明 ，
由此即可求证；
（2）如图所示（见详解），作 于 ，在 中，可求出 ，在
中，可求出 ， ， ，根据 ，即可求解．
（1）解：选择①②可证明③或选择①③可证明②或选择②③可证明①，
以选择①②可证明③为例证明，
证明：如图所示，连接 ，，
，
，
，即 ，点 在 上，
∴ 与 相切．
故答案为：①②，③．
（2）解：如图所示，作 于 ，
在 中，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查圆的基础知识，切线的证明，不规则图形的面积，掌握圆的切线的证明方法，观察图形的组成部分，几何图形的面积计算方法是解题的关键．
32．（1） ；（2）
【分析】（1）阴影部分的面积是长方形 的面积减去 半圆的面积，再减去三角形 的面积，
且 ， 由此即可求解；
（2）根据（1）中的计算结果，将 代入计算即可．
（1）解：设 ， ，
∴ ，
∴
，即阴影部分的面积是 ．
（2）解：由（1）可知， ，
∴ ，
即 时，阴影部分的面积是 ．
【点拨】本题主要考查圆与三角形，长方形的综合运算，理解图形的组成，找出各图形间的关系是解
题的关键．
33．（1）见分析；（2）阴影部分的面积为 ．
【分析】（1）连接 ，由 ，可得 ，从而求得 ，可证得直线
为 的切线；
（2）先求 和扇形 的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．
解：（1）证明：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为圆的半径，
∴直线 为 的切线；
（2）解：由（1）可知 ，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ．
【点拨】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直，学会用分割法
求阴影部分面积是解题的关键．
34．（1） ；（2）见分析
【分析】（1）连接 ， ，根据圆内接四边形的性质得到 ，由圆周角定理得到
，根据弧长的公式即可得到结论；
（2）根据 ，得 ，根据 ，得 ，所以 ，
，可得 为等边三角形，即可得出结论．
（1）解：连接 ， ， ，
四边形 内接于 ， ，
，
，
的长为 ；
（2）证明： ，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
．
【点拨】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互
补是解题的关键．
35．（1） 与 相切，理由见分析；（2）阴影部分的面积为
【分析】（1）连接 ，如图，先利用 为 的中位线得到 ，再证明
，接着证明 得到 ，然后利用直线与圆的位置关系可判断 为
的切线；
（2）先计算出 ， ，则根据圆周角定理得到 ，接着利用
，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分图形的面积等于扇形 面积减去三角形
面积进行计算．
（1）解： 与 相切，理由如下：
连接 ， ，如图：
是 中点， 为 的中点，
为 的中位线，
，
， ，
，
，，
在 和 中，
，
，
，
，且 为半径，
为 的切线．
（2）解： ， ， ，
， ，
∴在 中， ，
∴ ，
则 ，
即 的半径为 ，
，
，
∴ ，设 与 交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
阴影部分图形的面积 ，∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
【点拨】本题考查了圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，切线的证明方法，含 角的直角三
角形三边的关系、圆周角和扇形的面积公式等知识是解题的关键．
36．（1）见详解；（2） ．
【分析】（1）连接 ，得到 ，利用等角代换证明 ，从而得到
，即证 为 的切线；
（2）过点 作 ，当点 为 的中点时，可证 为正三角形，从而得到 ，
，利用垂径定理和含 角的直角三角形的性质可求得 、 的长，再利用三角形面积公
式和扇形面积公式即可求阴影面积．
解：（1）证明：连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的切线，
（2）由题意，在 中，当点 为 的中点时，且 ，
则 为正三角形，即 ，∴ ，
∴ ，
过点 作 于H，如图所示；
∵ 的半径为 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
，
= ．
【点拨】本题考查圆的计算与证明——切线的证明与线段长的计算，涉及到的知识点有切线的证明方
法、垂径定理、矩形的性质、含30度的直角三角形的性质与斜边中线性质、等边三角形的判定与性质，三
角形面积与扇形面积公式、不规则图形面积的求法、辅助线的应用；掌握直角三角形的边角关系以及矩形、
等腰三角形的性质是解题的关键．
