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专题 24.3 坐标系中圆的综合
【典例1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公
共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A(3，0)，B(5，0)，
①在点P (6，0)，P (1，−2)，P (3，2)中，线段AB的融合点是______；
1 2 3
②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，A(a,0)，B(a+1,0)，直线l过点T(0,−1)，记线段AB关于l的对称线段为
A′B′．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A′B′的融合点，直接写出a的取值范围．
【思路点拨】
（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段AB融合点的轨迹
为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域，则当直线y=t与两圆相切时是临界点，据此求
解即可；
（2）先推理出A′B′的融合点的轨迹即为以T为圆心，(TA−1)的长为半径的圆和以T为圆心，以(TB+1)
的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与⊙O内切，外切时a的值即可得
到答案．
【解题过程】
（1）解：①如图所示，根据题意可知P ，P 是线段AB的融合点，
1 3故答案为；P ，P ；
1 3
②如图1所示，设PA的垂直平分线与线段AB的交点为Q，
∵点Q在线段PA的垂直平分线上，
∴PQ=AQ，
∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，AQ的长为半径的圆上，
∴当点Q在AB上移动时，此时点P的轨迹即线段AB的融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为
半径的圆及两圆内区域．
当直线y=t与两圆相切时，记为l ，l ，如图2所示．
1 2
∵A(3，0)，B(5，0)，
∴AB=2,∴t=2或t=−2．
∴当−2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点．
（2）解：如图3-1所示，假设线段AB位置确定，
由轴对称的性质可知TA=T A′，TB=T B′，
∴点A′在以T为圆心，TA的长为半径的圆上运动，点B′在以T为圆心，以TB的长为半径的圆上运动，
∴A′B′的融合点的轨迹即为以T为圆心，(TA−1)的长为半径的圆和以T为圆心，以(TB+1)的长为半径的
圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；
当TATB时，
当以T为圆心，(TB−1)为半径的圆与⊙O外切时，
∴TB−1=4+1，
∴ ，
❑√(0−a−1) 2+(−1−0) 2=6
∴a2+2a+1+1=36，
∴a=−❑√35−1（正值舍去）；
当以T为圆心，(TA+1)为半径的圆与⊙O内切时，
∴TA+1=3，
∴ ，
❑√(0−a) 2+(−1−0) 2=2
∴a2+1=4，
∴a=−❑√3（正值舍去）；
∴−❑√35−1≤a≤−❑√3时，存在直线l，使得⊙O上有A′B′的融合点；
综上所述，当❑√3−1≤a≤❑√35或−❑√35−1≤a≤−❑√3时存在直线l，使得⊙O上有A′B′的融合点．1．（2022·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系 中，点 到直线
xOy P(x ,y ) Ax+By+c=0(A2+B2≠0)
0 0
|Ax +B y +C)
的距离公式为： d= 0 0 ，例如，求点 P(1,3) 到直线 4x+3 y−3=0 的距离．解：由直线
❑√A2+B2
4x+3 y−3=0知：A=4，B=3，C=−3所以P(1,3)到直线4x+3 y−3=0的距离为：
|4×1+3×3−3)
根据以上材料，解决下列问题：
d= =2
❑√42+32
（1）求点P (1,−1)到直线3x−4 y−5=0的距离．
1
3
（2）已知：⊙C是以点C(2,1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=− x+b相切，求实数b的值；
4
（3）如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4 y+5=0上的两点，且AB=2，
请求出△ABP面积的最大值和最小值．2．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点
P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P(1，3)是
“垂距点”．
(3 5)
（1）在点A(2，2)，B ，− ，C(−1，5)中，是“垂距点”的点为 ；
2 2
（2）求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为(1，0)，半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．3．（2022秋·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,
给出如下定义:连接PC交⊙C于点N,若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点.
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D(−1,−1)，E(2,0)，F(0,4)中，⊙O的外称点是 ；
②若点 为 的外称点，且线段 交 于点 (❑√2 ❑√2)，求 的取值范围;
M(m,n) ⊙O MO ⊙O G , m
2 2
（2）直线y=−x+b过点A(1,1)， 与x轴交于点B. ⊙T的圆心为T(t,0), 半径为1若线段AB上的所有点
都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围.4．（2022春·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上
任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q
间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．
（1）d（点O，AB）＝ ；
（2）⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；
（3）⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．
①当 时 ，求出此时r的值；
α=30° d(⊙O,A′)=0
②对于取定的r值，若存在两个α使 ，直接写出r的范围．
d(⊙O,A′)=05．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的
AQ+BQ
直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设k= ，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，
CQ
2AQ 2BQ
特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，k= （或 ）．
CQ CQ
已知在平面直角坐标系xoy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r．
（1）如图1，当r=❑√2时，
①若A(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值．
1
②A (1+❑√2，0)是否为⊙C的“2相关依附点”．
2
（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，
①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．
②当k=❑√3时，求r的取值范围．
（3）若存在r的值使得直线y=−❑√3x+b与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“❑√3相关依附点”，直接
写出b的取值范围．6．（2022秋·北京·九年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x
轴的距离为d，到y轴的距离为d，若d≤d，则称d 为点P的“引力值”；若d＞d，则称d 为点P的
1 2 1 2 1 1 2 2
“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．
例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．
（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为 ；
②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为 ；
（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；
（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是
．1 1
7．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）M（﹣1，− ），N（1，− ）是平面直角坐标系xOy中的两点，
2 2
若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
1 1
（1）在点A (0， )，A ( ，0)，A (0，❑√2)，A（2，2）中，线段MN的可视点为 ；
1 2 2 2 3 4
1
（2）若点B是直线y＝x+ 上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
2
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写
出b的取值范围．8．（2022·北京密云·统考二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P
与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．
（1）如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．
①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．
②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．
（2）已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径
为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x 的取
C
值范围．
9．（2023·北京海淀·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形
G的“k分点”．
已知点N(3，0)，A(1，0)，B(0，3)，C(1，−1)．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“❑√2分点”是______；
②点D(a，0)，若点C为线段OD的“二分点”，求a的值；
（2）以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
10．（2023秋·北京·九年级北京市师达中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形
W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”
（1）已知点A(0，4)，B(4，4)，
①在点M (−2，2)，M (0，2)，M (2，2)中，是点O关于点A的“旋垂点”的是___________；
1 2 3
②若点M(m，n)是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线y=−x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为❑√10，圆心为T(t，0)，若在⊙T上
存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ=❑√2，直接写出t的
取值范围．
11．（2023春·全国·九年级专题练习）对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得
点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，则称点P是图形的G的“中称点”．在平面直角坐标系xOy
中，已知点A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．(1 ) (1 1)
（1）在点P ,0 ，P , ，P (1,−2)，P (−1,2)中，_____是正方形OABC的“中称点”；
1 2 2 2 2 3 4
（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为1．
①当圆心T与原点O重合时，若直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，求m的取值范围；
②若正方形OABC的“中称点”都是⊙T的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．
12．（2023春·江苏扬州·九年级高邮市城北中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径
为1，A为任意一点，B为⊙O上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A
p+q
在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把 的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d(A,⊙O)．
2
（1）如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．①d(D,⊙O)=___；
②若点M在线段EF上，求d(M,⊙O)的取值范围．
（2）若点N在直线y=❑√3x+2❑√3上，求d(N,⊙O)的取值范围．
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d(P,⊙O)的最小值为1，最大值为❑√10，
直接写出m的最小值和最大值．
13．（2022秋·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，
若图形M上存在两个点E、F，使得EP+FP＝2，则称点P为图形M的“距2点”．设A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半径为r．
1
（1）①点P（1，0），P（0，1），P（﹣1，﹣ ）中，是线段AB的“距2点”的是 ．
1 2 3
2
②若P（3，4）是⊙O的“距2点”，求r的取值范围；
4
（2）设⊙M的半径为2，圆心M是x轴上的动点，C（﹣4，8）．若折线段AC﹣CB上存在点⊙M的“距
2点”，直接写出圆心M横坐标的取值范围．
14．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形
W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．
（1）已知⊙O的半径为1，点D的坐标为(5,0)．若点E(x,2)在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；
（2）已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是
坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若H´K上的任意两个点都是⊙C
的一对平衡点，直接写出b的取值范围．
15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出
如下定义：以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于
点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：
1
（1）如图2，已知点A(6,0)，点B在直线y=− x+4上．
2
①若点B(4,2)，点C(4,0)，则在点O，C，A中，点______是△AOB关于点B的内联点；
②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B横坐标m的取值范围；
（2）已知点D(3,0)，点E(6,3)，将点D绕原点O旋转得到点F，若△EOF关于点E的内联点存在，直
接写出点F横坐标n的取值范围．
16．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P
上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标
系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
（1）当r=4❑√2时，①在P（0，-3），P（4，6），P（4❑√2，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是
1 2 3
_______________；
②若点P在直线y=−x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；
（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶
点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．
①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；
②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的
圆心，则r的取值范围是_______________．
17．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段
AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对
应点），则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的对称的“反射线段”，直线l称为“反射轴”（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有___________；
（2）已知A点的坐标为(0,2)，B点坐标为(1,1)，
①如图2，若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M的坐
标是___________．
②若将“反射线段”AB沿直线y=x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标y 的取
M
1 13
值范围为 ≤ y ≤ ，求S的取值范围．
2 M 6
（3）已知点M、N是在以(2,0)为圆心，半径为❑√13的圆上的两个动点，且满足MN=❑√2，若MN是⊙O
的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范
围是___________．
18．（2022·北京房山·统考一模）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作
圆，若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P
视角下图形M的“宽度d ”．
M
（1）如图1.点A(4,3)，B(0,3)．①在点O视角下，则线段AB的“宽度d ”为_________；
AB
②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d ”为_________；
⊙B
（2）如图2，⊙O半径为2，点P为直线y=−x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d ”的取值范围；
⊙O
❑√3
（3）已知点C(m,0),CK=1，直线y= x+3与x轴，y轴分别交于点D，E．
3
若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足00)分别交x轴、y轴于E、F两点，若线段EF上的所有点都是半径为1的
⊙O的“关联点”，直接写出m的取值范围．
20．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个
点 ， 满足 且 ，则称点 是图形 的关联点．已知点 ， ．
M N PM=❑√3PN ∠MPN=90° P W A(−2❑√3,0) B(0,2)
（1）在点 ， ， 中，______是线段 的关联点；
P (−❑√3,−1) P (−❑√3,3) P (−2❑√3,−2) AB
1 2 3（2）⊙T是以点T(t,0)为圆心，r为半径的圆．
①当t=0时，若线段AB上任一点均为⊙O的关联点，求r的取值范围；
②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t≥4，使折线G的关联点都是⊙T的关联点，直接写出r的最
小值．
