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专题 24.5 求某点的弧形运动路径长度
◆ 典例分析
【典例1】四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠DAB=135°，且AB=2，AD=4❑√2．以B为圆心，
BC为半径作弧，交BA的延长线于点E，若点Q为弧EC上的动点，过点Q作QH⊥BC于点H，设点I为
△BQH的内心，连接BI，QI，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 ．
【思路点拨】
三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，连接IC，由内心定义得∠QBI=∠CBI，继而证明
△IBQ≌△IBC(SAS)，再由全等三角形的对应角相等解得∠BIC=∠BIQ，接着计算∠QBI+∠IQB的
度数，得到∠BIC=∠BIQ=135°，过B、I、C三点作⊙O，求得∠BOC的度数，求出BC=10，在等
腰直角三角形BCO中，利用勾股定理解得BO=5❑√2，最后根据弧长公式解题即可．
【解题过程】
解：如图，连接IC，
∵I是内心，
∴∠QBI=∠CBI，
∵BI=BI，CB=BQ，∴△IBQ≌△IBC(SAS)，
∴∠BIC=∠BIQ，
∵∠QHB=90°，
1 1 1 1
∴∠QBI+∠IQB= ∠QBH+ ∠BQH = (∠QBH+∠BOH) = (180°−∠BHQ)
2 2 2 2
1
= ×(180°−90°)=45°，
2
∴∠BIQ=180°−45°=135°，
∴∠BIC=∠BIQ=135°，
过B、I、C三点作⊙O，连接OB,OC，
∴∠BOC=2(180°−∠BIC)=2×(180°−135°)=90°，
∴当点Q从点C运动到点E时，内心所经过的路径长为B´C的长，
过点D作DM⊥BC，过A作AN⊥DM，垂足分别为M、N，
∵∠DAB=135°，∠B=∠D=90°，
∴∠DAN=45°，∠C=45°，
∵AB=2，AD=4❑√2．
∴AN=DN=4=BM，DM=CM=6，
∴BC=4+6=10，
BC 10
在等腰直角三角形BCO中，BO= = =5❑√2，
❑√2 ❑√2
90×π×5❑√2 5❑√2π
∴ l = = ．
^BC 180 2
5❑√2π
故答案为： ．
2
◆ 学霸必刷
1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，⊙O的半径为6，Q
是B´C上的一动点，P是弦AQ的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（ ）4π 8π
A． B．2π C． D．3π
3 3
2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2．
△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到 △ADE，当点B的对应点D正好在线段BC上时，点C经过的路径
长为（ ）
π 2π 2❑√3π
A． B． C． D．π
3 3 3
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，D在线段CB上，连AD，以为CD的
直径⊙O交AD于P，CB=CA=6，当D在线段CB上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是
（ ）
3
A．3 B．3❑√2 C． π D．3π
2
4．（2024·湖南湘潭·一模）如下图，等边△ABC的边长为2，△ABC在直线l上绕其右下角的顶点C顺时
针旋转120°至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转120°至图②位置，⋯，以此类推，这样连续
旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A．8π B．9π C．10π D．12π
5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=❑√3，P是AD边上的
一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C ，当P运动时，C 也随之运动．若P从A运动到D，
1 1则点C 经过的路径长是（ ）
1
2❑√3 5❑√3 4π 5π
A． π B． π C． D．
3 6 3 3
6．（2024·山西·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=40°，AC=6．将Rt△ABC绕
AC的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运
动路径的长为（ ）
4 8
A． π B． π C．2π D．8π
3 3
7．（23-24九年级下·四川达州·期中）如图，点C为半⊙O上的三等分点，点P是弧AC上的一动点，过点
B作BQ⊥PC交PC延长线于点Q，若直径AB=6，在点P从点A运动到点C的过程中，则点Q的运动路径
长为（ ）
❑√3π ❑√3π
A． B． C．❑√3π D．2❑√3π
4 2
8．（2024·湖北武汉·三模）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，C是上半圆A´B的中点，D是下半圆AB上
一个动点，过点A作CD的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是
（ ）A．π B．❑√2π C．2π D．2❑√2π
9．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC= 2❑√6，点P在以AB为直径
的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A．❑√2π B．❑√3π C．2❑√3 D．❑√6
10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端
放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑
动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，
线段QR的中点M所经过的路径长为 ．
11．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，将含有30°角的直角三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时
针方向），木板上点A位置变化为A→A →A ，其中AB=6，第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使三
1 2
角板与桌面成20°角，则点A翻滚到A 位置时共走过的路径长为 ．
2
12．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心过点A(2,0)，B点为⊙O上任意一点，P(5,0)，连接AB，BP，以AP、BA为邻边作平行四边形ABQP，当B点从A点出
发，绕圆旋转一周的过程中，求Q的运动路径长为 ．
13．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=115°，AB=BC=6cm， 将
△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，过点C作CF⊥BE于点F，当点E、B、A在同一直线上时停止
旋转．在这一旋转过程中，点F所经过的路径长为 ．
14．（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点E、F是
以斜边AB为直径的半圆的三等分点，点P是E´F上一动点，连接PC，点M为PC的中点．当点P从点E
运动至点F时，点M运动的路径长为 ．
15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，半径为2，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P，
从点P作PH⊥OA于点H，设△OPH的三个内角平分线交于点M，当点P在弧AB上从点A运动到点B
时，点M所经过的路径长是 ．16．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将
△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．
（1）求证：△ADC≌△ADC′；
（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）
17．（2023九年级上·浙江·专题练习）等边三角形ABC的边长为2❑√3，在AC，BC边上各有一个动点E，
F，满足AE=CF，连接AF，BE相交于点P．
（1）∠APB的度数；
（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；
（3）连接CP，直接写出CP长度的最小值．18．（2024·云南楚雄·一模）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A，B分别作
BD，AC的平行线，相交于点E．
（1）求证：四边形AEBO是菱形；
（2）若四边形AEBO的面积是24，AC=10，求矩形ABCD的周长；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P是线段BC上的一动点，连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，
若点P从点B开始向右运动了6个单位，求点Q运动的轨迹的长．
19．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O
于点D．
（1）求AD的长；
（2）试探究CA、CB、CD之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）连接OD，P为半圆ADB上任意一点，过P点作PE⊥OD于点E，设△OPE的内心为M，当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．
20．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板
ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α(0°≤α≤90°)角，观察图
形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．
问题1：BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2：如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．
【尝试应用】
问题3：如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
