文档内容
专题 24.6 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】........................................................................................2
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】............................................................................................2
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】............................................................................................3
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】.......................................................................................................4
【题型5 定义法判断切线】...................................................................................................................................5
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】...........................................................................................................6
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】...........................................................................................................7
【题型8 利用切线的性质求线段长度】...............................................................................................................8
【题型9 利用切线的性质求角度】.......................................................................................................................9
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】.................................................................................................10
【知识点1 直线与圆的位置关系】
设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为
则有：
相交：直线和圆有两
个公共点
直线 和 相交
r d
直
线
与
圆 相切：直线和圆只有
的
一个公共点
位 直线 和 相切
置 d=r
关
系
相离：直线和圆没有
公共点
直线 和 相离
r
d【题型1 已知距离及半径判断直线与圆的位置关系】
【例1】（2022春•金山区校级月考）已知同一平面内有 O和点A与点B，如果 O的半径为6cm，线段
OA＝10cm，线段OB＝6cm，那么直线AB与 O的位置⊙关系为（ ） ⊙
A．相离 B．相交 ⊙C．相切 D．相交或相切
【变式1-1】（2022秋•韶关期末）已知 O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与 O
的位置关系是（ ） ⊙ ⊙
A．直线l与 O相交 B．直线l与 O相切
C．直线l与⊙O相离 D．无法确定⊙
【变式1-2】（2 ⊙ 022秋•川汇区期末）在平面直角坐标系中，原点为O，点P在函数y= 1 x2-1的图象上，
4
以点P为圆心，以OP为半径的圆与直线y＝﹣2的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．三种情况均有可能
【变式1-3】（2022秋•自贡期末）如图， O的半径为5，圆心O到一条直线的距离为2，则这条直线
可能是（ ） ⊙
A．l B．l C．l D．l
1 2 3 4
【题型2 已知直线与圆的位置关系确定取值范围】
【例2】（2022秋•北仑区期末） O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是
（ ） ⊙
A．3 B．5 C．6 D．10
【变式2-1】（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C
为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么 C的半径r的取值范围是（ ）
⊙12 12 12
A．0≤r≤ B． ≤r≤3 C． ≤r≤4 D．3≤r≤4
5 5 5
【变式2-2】（2022秋•丛台区校级期中）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作
圆，且 B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为（ ）
⊙
A．3≤r≤4 B．3≤r＜5 C．3≤r＜4 D．3≤r≤5
【变式2-3】（2022秋•丛台区校级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线y＝﹣x+b与 O
相交，则b的取值范围是（ ） ⊙
A．0≤b＜2√2 B．﹣4√2≤b≤4√2 C．﹣2√2＜b＜2√2 D．﹣4√2＜b＜4√2
【题型3 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例3】（2022秋•武汉期末）已知 O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与 O的公
共点的个数是（ ） ⊙ ⊙
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【变式3-1】（2022秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半
径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【变式3-2】（2022•武汉模拟）一个圆的半径是5cm，如果圆心到直线距离是4cm，那么这条直线和这个
圆的公共点的个数是（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
【变式3-3】（2022秋•沭阳县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r
为半径画圆．
（1）当r＝ 时， C与边AB相切；
⊙（2）当r满足 时， C与边AB只有一个交点；
（3）随着r的变化， C与边AB⊙的交点个数还有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围．
⊙
【题型4 利用直线与圆的位置关系求最值】
3
【例4】（2022秋•常熟市期中）如图，直线y= x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，
4
0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【变式4-1】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的 O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P
是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线⊙段PA的最小值是 ．
【变式4-2】（2022•乐亭县一模）如图， O的半径是5，点A在 O上．P是 O所在平面内一点，且
AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA． ⊙ ⊙ ⊙
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若M，N是直线l与 O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
⊙【变式4-3】（2022•广汉市模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动
点．以CD为 O直径，作AD交 O于点E，连BE，则BE的最小值为（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．8 C．10 D．12
【知识点2 切线的判定】
（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
【题型5 定义法判断切线】
【例5】（2022•淮安模拟）下列直线中，一定是圆的切线的是（ ）
A．过半径外端的直线
B．与圆心的距离等于该圆半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．与圆有公共点的直线
【变式5-1】（2022秋•嘉定区期末）下列四个选项中的表述，正确的是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
【变式5-2】（2022秋•东台市校级月考）下列命题：（1）垂直于半径的直线是圆的切线．（2）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．（3）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．（4）和三角形三边所在
直线都相切的圆有且只有一个．其中不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【变式5-3】（2022秋•慈溪市期末）已知 O的半径为5，直线EF经过 O上一点P（点E，F在点P的
两旁），下列条件能判定直线EF与 O⊙相切的是（ ） ⊙
⊙
A．OP＝5 B．OE＝OF
C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
【题型6 切线的判定（连半径证垂直）】
【例6】（2022•顺德区一模）如图，A，B，C，D是 O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作
AE∥BC交CD延长线于点E． ⊙
（1）求∠ABC的大小；
（2）证明：AE是 O的切线．
⊙
【变式6-1】（2022•昭平县一模）如图，AB是 O的弦，OP⊥AB交 O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．
（1）求AB的长； ⊙ ⊙
（2）若C是OP的中点，求证：PB是 O的切线．
⊙
【变式6-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点
D，O为AB上一点，经过点A，D的圆O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．
求证：BC是圆O的切线．【变式6-3】（2022秋•武夷山市期末）如图，点P是 O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是
线段OP的中点．在直径AB上方的圆上作一点C，⊙使得EC＝EP．
求证：PC是 O的切线．
⊙
【题型7 切线的判定（作垂直证半径）】
【例7】（2022•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上
的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作 D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是 D的切线； ⊙
（2）求线段AC的⊙长．
【变式7-1】（2022秋•滨海县期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆【变式7-2】（2022•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与 O相切于
点D．求证：AC是 O的切线． ⊙
⊙
【变式7-3】（2022秋•丹江口市期中）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为
半径的 O与BC相切于点E．
（1）求⊙证：CD是 O的切线；
（2）若正方形ABC⊙D的边长为10，求 O的半径．
⊙
【知识点3 切线的性质】
（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【题型8 利用切线的性质求线段长度】
【例8】（2022•新平县模拟）如图，已知AB是 O的直径，CD是 O的切线，点C是切点，弦CF⊥AB
于点E，连接AC． ⊙ ⊙
（1）求证：AC平分∠DCF；
（2）若AD⊥CD，BE＝2，CF＝8，求AD的长．
【变式8-1】（2022•泸县一模）如图，AB是 O的切线，A为切点，AC是 O的弦，过O作OH⊥AC于
⊙ ⊙点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求： O的半径和AC的长．
⊙
【变式8-2】（2022•建邺区一模）如图，AB、CD是 O的切线，B、D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝
10．若∠A+∠C＝90°，则 O的半径是 ． ⊙
⊙
【变式8-3】（2022•新抚区校级三模）如图，△ACD内接于 O，AB是 O的切线，∠C＝45°，∠B＝
30°．AD＝4，则AB长为（ ） ⊙ ⊙
A．4 B．2√2 C．2√3 D．2√6
【题型9 利用切线的性质求角度】
【例9】（2022•红桥区三模）已知PA、PB是 O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长
线于点C，连接PO，交 O于点D． ⊙
⊙
（I）如图①，若∠AOP＝65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【变式9-1】（2022秋•香洲区期末）如图，PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，AC是 O的直径，
⊙ ⊙∠BAC＝35°，求∠P的度数．
【变式9-2】（2022•老河口市模拟）PA，PB是 O的切线，A，B是切点，点C是 O上不与A，B重合
的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 ⊙ ． ⊙
【变式9-3】（2022•曲阜市二模）已知BC是 O的直径，AD是 O的切线，切点为A，AD交CB的延长
线于点D，连接AB，AO． ⊙ ⊙
（Ⅰ）如图①，求证：∠OAC＝∠DAB；
（Ⅱ）如图②，AD＝AC，若E是 O上一点，求∠E的大小．
⊙
【题型10 利用切线的判定与性质的综合运用】
【例10】（2022•五华区三模）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD＝AB，以线段AB为直径
作 O，分别交BD，AC于点E，点F，∠BAC＝2∠CBD．
（⊙1）求证：BC是 O的切线；
（2）若CD＝2，B⊙C＝4，求点B到AC的距离．
【变式10-1】（2022•邵阳模拟）如图，AC是 O的直径，OD与 O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是 O的切线． ⊙ ⊙
（2）若∠ADB＝30⊙°，DB＝2，求直径AC的长度．【变式10-2】（2022•衡阳）如图，AB为 O的直径，过圆上一点D作 O的切线CD交BA的延长线于点
C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连⊙接BE． ⊙
（1）直线BE与 O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，⊙CD＝4，求DE的长．
【变式10-3】（2022•盘锦模拟）如图，△ABC内接于 O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交 O于点D，
连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延长线交于点E⊙． ⊙
（1）求证：CE与 O相切；
（2）若AD＝4，∠⊙D＝60°，求线段AB，BC的长．
