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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 12 练 函数的图像（精练）
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
一、单选题
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在 上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D
2．（2022·天津·高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析函数 的定义域、奇偶性、单调性及其在 上的函数值符号，结合排除法可得出合
适的选项.
【详解】函数 的定义域为 ，
且 ，
函数 为奇函数，A选项错误；又当 时， ，C选项错误；
当 时， 函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
3．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设 ，则 ，故排除B;
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C;
设 ，则 ，故排除D.
故选：A.
4．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C.
故选：A.
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）函数 的部分图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数奇偶性，再考虑特殊点代入检验，即得.
【详解】依题意得 ，函数的定义域为 ，
因为 ，
所以 为偶函数，图象关于y轴对称，排除B,D两项，
又 ，排除C项，所以只有A选项符合.
故选:A．
2．（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称 C．关于点 对称 D．关于点
对称
【答案】A
【分析】先求 的对称中心，结合图象变换可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，即 的图象关于原点对称，
函数 的图象可由 的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
所以函数 的图象关于点 对称.
故选：A.3．（2024·湖北·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.
【详解】设题设函数为 ，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为 ，
对于选项D：若 ，但此时 ，矛盾，故可排除D；
对于选项C：若 ，但此时 ，矛盾，故可排除C；
对于选项B：若 ，但此时 ，矛盾，故可排除B.
故选：A.
4．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知函数 ，则函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用函数的定义域和值域，排除法选择正确选项.
【详解】因为 的定义域为 ，所以 的定义域为 ，所以排除A，
C．
因为 ，所以 ，所以排除B．
故选：D
5．（2024·四川成都·三模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据 时的函数值为正排除余下两个中的一个即得.
【详解】函数 的定义域为 ， ，
函数 是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足；
当 时， ，则 ，C不满足，A满足.
故选：A
6．（2024·上海奉贤·二模）已知函数 ，其中 ， ，其中 ，则图象如
图所示的函数可能是（ ）．A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象和 的奇偶性判断.
【详解】易知 是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，
A. ，定义域为R，
又 ，所以 是奇函数，符合题意，故正确；
B. ， ，不符合图象，故错误；
C. ，定义域为R，
但 ，故函数是非奇非偶函数，故错误；
D. ，定义域为R，
但 ，故函数是非奇非偶函数，故错误，
故选：A
7．（2024·辽宁抚顺·三模）函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象.
【详解】易知 ，因为 ，令 ，得 ，或 ，
则 时， ， 时， ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
所以选项A符合题意,
故选：A.
8．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数 ，若函数 有3个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
转化为 与 图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】令 ，故 ，画出 与 的图象，
函数 有3个零点，即 与 图象有3个不同的交点，
则 ，
解得 .
故选：D
二、多选题
9．（23-24高三上·甘肃平凉·阶段练习）已知函数 ，若 ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据分段函数的表达式作出函数图象，由二次函数的对称性即可判断A，根据对数的运算性质可
判断B，结合函数图象即可求解CD.
【详解】解：由函数 ，作出其函数图象如图所示，由图可知， ；
当 时，令 ， 或 ，
所以 ；
由 ，得 ，
即 ，
所以 ，由图可知 ，
故选:BCD.
10．（2023·湖南岳阳·二模）设函数 在 上的最小值为 ，函数 在 上的
最大值为 ，若 ，则满足条件的实数 可以是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】BD
【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数 和 的图象，如图，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，解得 ；
当 时，函数 在 上单调递增，所以 ，
由图可知，函数 在 上，有 ，得
所以 ，解得 ，
结合选项，实数a可以是 和 .
故选：BD.
三、填空题
11．（2023·上海宝山·一模）设 为常数，若 ，则函数 的图象必定不经过第
象限
【答案】二
【分析】由指数函数的性质与图象的平移可得.
【详解】已知 ,
则指数函数 单调递增，过定点 ，且 ，
函数 的图象是由函数函数 向下平移 个单位，
作出函数 的图象，可知图象必定不经过第二象限.
故答案为：二.12．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）函数 的对称中心是 ．
【答案】
【分析】变形函数解析式，再借助反比例函数的性质，结合函数图象平移变换求解即得.
【详解】函数 ，
显然函数 的图象可以由函数 的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位而得，
而函数 的图象的对称中心为 ，所以函数 的图象的对称中心为 .
故答案为：
13．（22-23高二下·陕西西安·期中）直线 与函数 图象的交点个数为 ．
【答案】4
【分析】根据二次函数的性质，结合图象变换，作图，可得答案.
【详解】令 ， ，解得 或 ，
将 代入 ，解得 ，可作图如下：由图可知，直线 与函数 图象的交点个数为 .
故答案为： .
14．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）把函数 的图象向右平移1个单位，再把横坐标缩小为
原来的 ，所得图象的函数解析式是 .
【答案】
【分析】根据函数图象变换的性质进行求解即可,
【详解】函数 的图象向右平移1个单位，得到 ，
函数 的横坐标缩小为原来的 ，
所得图象的函数解析式是 ，
故答案为：
15．（2023高三·全国·专题练习）函数 的图象与 的图象关于 轴对称，再把 的图象
向右平移1个单位长度后得到函数 的图象，则 .
【答案】
【分析】根据函数的对称性及函数图象变换的原则即可求解.
【详解】解：由题意可知 ，
把 的图象向右平移1个单位长度后得 ，
故答案为： .
16．（22-23高一上·内蒙古包头·期末）函数 ，若函数 ，有三个不同的零点，
则实数m的取值范围是 ．【答案】
【分析】对分段函数的每一段进行单调性分析，画出对应的图象，然后结合题意可得到 与 有三
个不同的交点，结合图象即可求解
【详解】当 时，根据对勾函数可得 在 上单调递增，在 上单调递减，故此时最
小值 ；
当 时，根据 在 上单调递减，故此时最小值 ；
作出对应的图象，如图所示
函数 有三个不同的零点，可看作 与 有三个不同的交点，
从图象可得到实数m的取值范围是
故答案为：
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·广西·模拟预测）已知函数 ， ，如图为函数 的图象，则 可
能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性结合函数的定义域和图象逐项分析即可；
【详解】依题意可知，函数 的定义域为R， ，
所以函数 为奇函数．
函数 的定义域为 ， ，
所以函数 为偶函数．
对于A， 的定义域为 ， 既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
对于B，函数 的定义域为 ， 既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
对于C，函数 的定义域为 ， ，所以 为 奇函数，故C正确；
对于D，函数 的定义域为 且 ，故D错误；
故选：C．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，结合函数值的符号和定义域逐项分析判断．
【详解】根据题意，用排除法分析：
对于选项A： ，当 时，有 ，不符合题意；
对于选项B：当 时， ，不符合题意；
对于选项D： 的定义域为 ，不符合题意；
故选：C．
3．（2023·河北·模拟预测）已知函数 ，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对称性分析可得函数 有且仅有一个对称中心 ，结合图象变换分析判断.
【详解】由题意可得： ，
因为
，
若 为定值，
则 ，解得 ，此时 ，
所以函数 有且仅有一个对称中心 .对于选项A： 有且仅有一个对称中心为 ，不合题意，故A错误；
对于选项B： 有且仅有一个对称中心为 ，符合题意，故B正确；
对于选项C： 有且仅有一个对称中心为 ，不合题意，故C错误；
对于选项D： 有且仅有一个对称中心为 ，不合题意，故D错误；
故选：B.
4．（2024·浙江温州·三模）已知函数 ，则关于 方程 的根个数不可
能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线 与函数 的图象交点的个数，作出 的图象，分 、
、 三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数 的图象，如图所示：
将原问题转化为直线 （过定点 ）与函数 的图象交点的个数，
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象只有一个交点；
当 时，直线 与函数 的图象没有交点；
当 时，直线 与函数 的图象有三个交点；
所以直线 与函数 的图象不可能有两个交点．
故选：C．
5．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线 在初始位置与等边 的底边重合，之后 开始在平面上按逆时
针方向绕点 匀速转动（转动角度不超过 ），它扫过的三角形内阴影部分的面积 是时间 的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ，连接 ，设等边 的边长为 ，求得 ，令
，其中 ，结合导数，即可求解.
【详解】如图所示，取 的中点 ，连接 ，因为 为等边三角形，可得 ，
设等边 的边长为 ，且 ，其中 ，
可得 ，
又由 的面积为 ，可得 ，
且 ，
则 的面积为 ，令 ，其中 ，
可得 ，所以 为单调递增函数，
又由余弦函数的性质得，当 时，函数 取得最小值，
所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
结合选项，可得选项C符合题意.
故选：C.
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）某学习小组在研究函数f（x）＝ 的性质时，得出了如下结
论，其中正确的结论是 （ ）
A．函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称
B．函数f（x）在（－2，0）上单调递增
C．函数f（x）在[0，2）上的最大值为－
D．方程f（x）－x＝0有2个不同实根
【答案】BCD
【详解】
解析：由 y＝ →y＝ →y＝ 的路线，结合图象变换规则，可得 y＝f（x）大致图象如图.由函数f（x）是偶函数及图象知，函数f（x）的图象不关于点（2，0）中心对称，故A错误；由图
象知，函数f（x）在（－2，0）上单调递增，故B正确；由图知，函数f（x）在[0，2）上单调递减，因此
x∈[0，2）时，f（x） ＝f（0）＝－ ，故C正确；当x<0时，f（x）＝ ，令 ＝x，得x2＋2x
max
＋1＝0，得x＝－1. 且由图象知，当x>0时，y＝x与y＝f（x）有一个交点，故D正确．故选BCD.
【考查意图】分段函数的图象及单调性、最值应用
7．（2024·安徽合肥·一模）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，故B正确；当 时， ， ，所以在 上单调递增，故D正确；
当 时，当 时， ；当 时， ；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
三、填空题
8．（21-22高三上·陕西渭南·阶段练习）把函数 的图象向左平移 ( )个单位长度后，所得
图象对应的函数 在 上单调递增，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出f(x)的图象，根据f(x)单调性即可和函数图象的平移即可求解．
【详解】函数 的图象如图：
f(x)图象关于x＝1对称，在x＜1时单调递减，x＞1时单调递增，
将f(x)的图象向左平移t(t＞0)个单位得到g(x)图象，
要使g(x)图象在 上单调递增，则t≥1．
故答案为：
9．（2024·全国·模拟预测）方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分离参数，构造函数 ，利用导数研究其单调性与最值，作出函数大致图象，数形结合计算即可.
【详解】由题意，得方程 有两个不相等的实数根．
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．所以当 时， 取最大值 ．
作出函数 的大致图象，如图．
由图可知，当 时，直线 与函数 的图像有两个交点，
即方程 有两个不相等的实数根，所以实数 的取值范围为 ．
故答案为： .
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）在棱长为1的正四面体 中，P为棱 （不包含端点）上一动点，过点P
作平面 ，使 ， 与此正四面体的其他棱分别交于E，F两点，设 ，则 的面
积S随x变化的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】取线段 的中点 ，连接 、 ，证明出 平面 ，分析可知平面 与平面 平
行或重合，分 、 、 三种情况讨论，计算出 的面积，利用三角形相似可得出
的表达式，即可得出合适的选项.
【详解】取线段 的中点 ，连接 、 ，
因为 、 为等边三角形， 为 的中点，则 ， ，
， 、 平面 ， 平面 ，
因为 平面 ，所以，平面 与平面 平行或重合，
且 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
且 ，故 .
①当 时，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ， ，同理可知， ， ，
所以， ，故 ，
如下图所示：则 ，则 ；
②当 时， ；
③当 时，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ， ，同理可知， ， ，
所以， ，故 ，
如下图所示：
则 ，则 .
综上所述， ，故函数 的图象如C选项中的图象.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键对 分类讨论，求出函数 的解析式，进而辨别出函数 的图象.
2．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 的图象在区间
内恰好有 对关于 轴对称的点，则 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C【分析】令 ， ，根据对称性，问题可以转化为 与 的图象在
内有 个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令 ， ，
因为 与 的图象关于 轴对称，
因为函数 的图象在区间 内恰好有 对关于 轴对称的点，
所以问题转化为 与 的图象在 内有 个不同的交点，
在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象如下所示：
因为 ，当 时 ， ，
结合图象及选项可得 的值可以是 ，其他值均不符合要求,.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为 与 的图象在 内有
个不同的交点.
二、填空题3．（2024高三·北京·专题练习）已知函数 ，则下列说法正确的有 .
①函数 的值域为 ；
②方程 有两个不等的实数解；
③不等式 的解集为 ；
④关于 的方程 的解的个数可能为 .
【答案】①③④
【分析】作出 的函数图象即可判断①②，利用换元法求解③，利用换元法并结合二次函数的图象求解
④.
【详解】画出 的图象，如下图所示：
令 ，解得 或 ，
所以 的图象与 轴交于 ，
对于①，由图象可知，函数 的值域为 则①正确；
对于②，由图象可知，直线 与函数 图象有三个不同的交点，故方程 有三个不等的实数
解，则②错误；
对于③，由图象可知，令 ，则 ，由图象可知 或 ，即 或 ，∴ 或 ，
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴不等式 的解集为 ；则③正确；
对于④，令 ，则 ，则 ，
当 时， ，由图可知 与 的图象有两个交点，即方程 解的
个数为2个，
当 时，即 时， ，
∵ ，∴ ， ，
当 时， ，则 有两解，
当 时，若 ，则 有三解，若 ，则 有两解，
即关于 的方程 的解的个数可能为 或 个解，
综上所述，关于 的方程 的解的个数可能为 .
故答案为：①③④.
【点睛】方法点睛：函数零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
