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专题 24.9 弧长和扇形的面积【十四大题型】
【人教版】
【题型1 求弧长】......................................................................................................................................................1
【题型2 利用弧长及扇形面积公式求半径】.........................................................................................................3
【题型3 利用弧长及扇形面积公式求圆心角】...................................................................................................4
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】..................................................................................................................4
【题型5 直接求扇形面积】......................................................................................................................................5
【题型6 求图形旋转后扫过的面积】......................................................................................................................6
【题型7 求弓形面积】..............................................................................................................................................8
【题型8 求其他不规则图形的面积】........................................................................................................................9
【题型9 求圆锥侧面积】........................................................................................................................................11
【题型10 求圆锥底面半径】....................................................................................................................................12
【题型11 求圆锥的高】............................................................................................................................................13
【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】................................................................................................................15
【题型13 圆锥的实际问题】..................................................................................................................................15
【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】....................................................................................................................17
【知识点 弧长和扇形的面积】
设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，
nπR
弧长公式：l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
180
n 1
扇形面积公式：S = πR2= lR
扇形 360 2
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl（l为母线）
【题型1 求弧长】
【例1】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E
是 延长线上一点，如果 的半径为 ， ，那么 ⏜ 的长为（ ）
DC ⊙O 6 ∠BCE=60°
BCDA．6π B．12π C．2π D．4π
【变式1-1】（2023·四川成都·校考三模）“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列
画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，
从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的
一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形
内形成的曲线ABCDEF的长度是 ．
【变式1-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，以AB为直径的⊙O与
AD相交于点E，与BD相交于点F，DF=BF，已知AB=2，∠C=40°，则F´B的长为（ ）
π 2π π 2π
A． B． C． D．
3 3 9 9
【变式1-3】（2023·河南濮阳·统考一模）如图，在扇形AOB中，圆心角∠AOB=60°，AO=2，分别以
1
OA，OB的中点E，F为圆心 OA的长为半径作半圆，两个半圆相交于点C，则图中阴影部分的周长为
2
．【题型2 利用弧长及扇形面积公式求半径】
【例2】（2023春·山西·九年级专题练习）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，M是“不倒翁”与水
平面的接触点，PA，PB分别与AM´ B所在圆相切于点A，B．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与
水平面接触，如图3.若∠P=60°，水平面上点M与点B之间的距离为4π，则AMB所在圆的半径是
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）若弧长为4πcm的扇形的面积为8πcm2，则该扇形
的半径为 cm.
【变式2-2】（2023春·湖北黄石·九年级统考期末）如图， ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，B´C
△
4π
的长是 ，则⊙O的半径是 ．
3
【变式2-3】（2023·辽宁盘锦·统考一模）如图，在 ▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径的圆恰好与
CD相切于点C，交AD于点E，若C´E的长为2π，则⊙A的半径为 ．【题型3 利用弧长及扇形面积公式求圆心角】
【例3】（2023春·云南红河·九年级校考阶段练习）将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，
则这三个扇形的圆心角的度数为（ ）
A．80°、120°、160° B．60°、120°、180°
C．50°、100°、150° D．30°、60°、90°
【变式3-1】（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB
长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形ABC的圆心角的度数是（ ）
90° 180°
A．45°． B．60°． C． ． D． ．
π π
【变式3-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考二模）如图1，点C是半圆AB上一个动点，点C从点A开始向终
点B运动的整个过程中，AC的弧长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C运动至5秒时，∠AOC
的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
10π
【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）一个扇形的面积为10π，弧长为 ，则该扇形的圆心角的
3度数为 ．
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】
【例4】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，OA⊥OB，C，D分别是射线OA，OB上的动点，CD
的长始终为8，点E为CD的中点，则点E的运动路径长为
【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边
AB重合（AB=6），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每
秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．
【变式4-2】（2023·河南信阳·校考三模）如图，把一个含30°角的直角三角板ABC在桌面上沿着直线l无
滑动的翻滚一周，若BC=1，∠A=30°，则点A运动的路径长是 ．
【变式4-3】（2023春·四川广元·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
点E、F是以斜边AB为直径的半圆的三等分点，点P是E´F上一动点，连接PC，点M为PC的中点．当点
P从点E运动至点F时，点M运动的路径长为 ．【题型5 直接求扇形面积】
【例5】（2023·云南临沧·统考三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交
⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
π 2π 3π 3π
A． B． C． D．
3 5 10 5
【变式5-1】（2023·吉林·九年级校联考学业考试）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
△OAB是等边三角形，AB=4，分别以点B，D为圆心，AO长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中
阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【变式5-2】（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、
C，OC与AB交于点D，∠ADO=85°，∠CAB=20°，则阴影部分的扇形OAC面积是 ．
【变式5-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是长方形，以BC为直径的半圆与AD边只有一个交点，且AB=x，则阴影部分的面积为 ．
【题型6 求图形旋转后扫过的面积】
【例6】（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，已知A、D是⊙O上任意两点，且AD=6，以
AD为边作正方形ABCD，若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 ．
【变式6-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，
将OA绕点O顺时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；将OA 绕点O顺
1 1 1 2 1 2 2
时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交y轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到
3 2 3 4 3 4 4
OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；…；按此规律，则S 的值为 ．
5 3 5 6 5 6 2022
【变式6-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每
个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）(1)画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
1 1 1
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A BC ，并求出此过程中线段BA扫过的区域的
2 2
面积．（结果保留π）
【变式6-3】（2023·江苏南京·统考二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后
的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B' A'，设小棒扫过区域的面积为S (即图中灰色区域的面积，下同)；
1
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到
B' A'，设小棒扫过区域的面积为S ．
2
(1)①S =______，S =______；(结果保留π)
1 2
②比较S 与S 的大小．(参考数据：π≈3.14，√3≈1.73．)
1 2
(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三
次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为S ，求S ．
3 3
(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积S 小于S ，画出示意图并说明理由．
4 3
【题型7 求弓形面积】
【例7】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，若CD=2√3，CB
＝2，则阴影部分的面积是 ．
【变式7-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，将半径为5cm的扇形OAB沿西北方向平移√2cm，得到
扇形O' A'B'，若∠AOB=90°，则阴影部分的面积为 cm2．
【变式7-3】（2023·湖北恩施·统考一模）如图，已知⊙O的半径为1，△ABC内接于⊙O，
∠ACB=150°，则弓形ACB（阴影部分）的面积为 ．（结果保留π或根号）【题型8 求其他不规则图形的面积】
【例8】（2023·山西长治·统考模拟预测）如图，在△ABC中，CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，分
别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，若点E、F是线段
AC的三等分点时，图中阴影部分的面积为（ ）
A．8√2-2π B．16√2-4π C．8√2-4π D．16√2-2π
【变式8-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°,BC=6，将四边
形ABCD绕点A逆时针旋转30°至AB'C'D'处，则旋转过程中，边BC所扫过的区域（图中阴影部分）的
面积为 ．
【变式8-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，扇形OAB的半径OA=2cm，∠AOB=120°，则以
AB为直径的半圆与A´B围成的区域（图中阴影部分）的面积是 cm2．【变式8-3】（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆
O，与斜边AC交于点D，E是边BC的中点，连接DE．若AD，AB的长是方程x2-6x+8=0的两个根，
则图中阴影部分的面积为（ ）
4π 4π 2π 2π
A．8√3- B．4√3- C．4√3- D．8√3-
3 3 3 3
【题型9 求圆锥侧面积】
【例9】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图等边△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为1，以阴
影部分为侧面围成一个圆锥，从剩余部分剪出一个圆作为圆锥底面，则圆锥的全面积为 ．
【变式9-1】（2023·福建南平·校联考模拟预测）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽
略不计），若该圆锥的底面圆周长为10πcm, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为
（结果保留π）．【变式9-2】（2023·河北廊坊·统考一模）如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线
长为12cm，底面圆直径长为8cm．
（1）这个冰激凌外壳的侧面展开图的形状是 ；
（2）当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，其母线长为9cm，则此时冰激凌外
壳的侧面积为 cm2．（结果保留π）
【变式9-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图是一张直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，点
D、E分别在边AB、AC上，AD＝2 cm，DB＝4 cm，DE⊥AB．若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的
几何体的表面积为 cm2．
【题型10 求圆锥底面半径】
【例10】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB为半
径画弧BF，得到扇形BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆
的半径是 ．【变式10-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线OB长为6cm，开口直径为
6cm．
（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 cm；
（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ．
【变式10-2】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB
为半径画弧BF，得到扇形BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底
面圆的半径是 ．
【变式10-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过
网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；(2)连接AD、CD，则⊙D的半径为______；扇形DAC的圆心角度数为______；
(3)若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
【题型11 求圆锥的高】
【例11】（2023春·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为
12，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧CE，得扇形ACE，将扇形ACE围成一个圆锥，则圆锥的
高为（ ）
A．3√5 B．6√3 C．√105 D．2√105
【变式11-1】（2023春·云南·九年级专题练习）如图，矩形纸片ABCD中，AD=12cm，把它分割成正方
形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和
底面，则该圆锥的高为 cm．
【变式11-2】（2023春·九年级课前预习）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的
长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（ ）
A．4 B．3√2 C．4√2 D．2√10
【变式11-3】（2023春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF纸
片中，AB=6，分别以B、E为圆心，以6为半径画A´C、D´F．小欣把扇形BAC与扇形EDF剪下，并把它们粘贴为一个大扇形（B与E重合，F与A重合），她接着用这个大扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆
锥的高为 ．
【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】
【例12】（2023春·全国·九年级专题练习）圆锥的底面半径为40cm，母线长80cm，则它的侧面展开图的
圆心角度数是（ ）
A．180° B．150° C．120° D．90°
1
【变式12-1】（2023春·九年级课时练习）圆锥的底面积是侧面积的 ，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数
8
是 °．
【变式12-2】（2023春·云南昆明·九年级校考期中）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接
缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（
）度．
A．120° B．135° C．150° D．160°
【变式12-3】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）圆锥的高为2√2，母线长为3，沿一条母线将其侧面
展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含π的式子表示）．
【题型13 圆锥的实际问题】
【例13】（2023·安徽·校联考二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为
一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已
知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．【变式13-1】（2023春·全国·九年级专题练习）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），
制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥
时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径ED=6 cm，母线长AD=12 cm．
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
(2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【变式13-2】（2023春·九年级课时练习）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的
上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm），电镀时，如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的锚
标浮筒，需要用多少锌？
【变式13-3】（2023春·江西南昌·九年级期末）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上
下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面
⊙O 的圆面⊙O 裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知⊙O 的直径
2 1 1
， 的直径 ，点O、 、 共线， 与AB、CD都垂直， ，
AB=12cm ⊙O CD=32cm O O OO O O =10√3cm
2 1 2 2 1 2请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，π≈3.14，结果保
留整数）
【题型14 圆锥侧面上最短路径问题】
【例14】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的
中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．√3 B．2√3 C．3√3 D．3
【变式14-1】（2023春·九年级校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后
回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若∠AOA'=120°，OA=2√3，则蚂蚁爬
行的最短距离是 ．
【变式14-2】（2023春·九年级课时练习）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从
点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为 ．【变式14-3】（2023春·辽宁铁岭·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小
确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，
∠A的对边(底边) BC
即T(A)= = ，当∠A=60°时，如T(60°)=1．
∠A的邻边(腰) AC
(1)T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最
短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
