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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 12 练 函数的图像（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（河北省张家口市2023届高三练习）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D，再根据f(1)排除C得解.
【详解】由题得 ，所以函数是奇函数，排除选项B,D.
由题得 ，所以排除选项C.
故选A
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平，属于基础题.
2．（黑龙江省大庆市大庆铁人中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）函数
的部分图像大致为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】化简函数解析式，令 ，可得到 为奇函数，关于原点对称，即可 图象关于
对称，再根据 时， 即可判断.
【详解】可得 ，
令 ，定义域为 ，且 ，
则 为奇函数，图象关于原点对称，
是由 向右平移2个单位所得， 的图象关于 对称，故BC错误；
当 时， ， ，故D错误.
故选：A.
3．（贵州省普通高等学校招生2023届高三适应性测试数学（理）试题）已知函数 ，下列
结论正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象与 轴围成的三角形面积为2
【答案】C
【分析】去掉绝对值，得到 ，画出其图象，进而判断出四个选项.
【详解】A选项， ，
画出其函数图象，如下：故 不是偶函数，A错误；
B选项， 在 上单调递减，故B错误；
C选项， 的图象关于直线 对称，C正确；
D选项， 的图象与 轴围成的三角形面积为 ，D错误.
故选：C
4．（广东省江门市部分学校2023届高三下学期开学联考数学试题）函数 的图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D
的正误.
【详解】解:由题知 ,定义域为 ,解得 ,
所以 ,
故 为奇函数,
排除A,B;
令
可得 ,即 ,
解得 ,
当 时, ,
,此时 ,
故选项D错误,选项C正确.
故选:C
5．（河北省唐山市2023届高三上学期期末数学试题）已知函数 ，则其图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性及部分图像最值判断即可.
【详解】由函数的定义域为 ，关于原点对称，又 ，
故函数为奇函数，因此A,B错误，
当 时， ，
当且仅当 时取等号，即当 时，函数有最大值1，
所以C错误，
故选：D.
6．（安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考文科数学试题）已知函数 则方程
的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个数，结合图像分析．
【详解】令 ，得 ，则函数 零点的个数即函数 与函数 的交点个
数．
作出函数 与函数 的图像，可知两个函数图像的交点的个数为2，故方程 的解的个
数为2个．
故选：C．
7．（浙江省十校联盟2023届高三下学期2月第三次联考数学试题）函数 的图像是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的零点和区间内的值域，利用排除法选择图像.
【详解】图像过点 ， ，排除AD；当 时， ，排除C.
故选：B.
8．（广东省惠州市2022届高三下学期第二次模拟数学试题）函数 的图像与函数
的图像的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
【答案】C
【分析】作出两个函数的图像，由图像可得交点个数．
【详解】 在 上是增函数， 在 和 上是减函数，在 和 上是
增函数， ， ， ，
作出函数 的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故选：C．9．（吉林省长春市第二中学、东北师大附中高三下学期期末考试数学试题）已知函数
无最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意作出函数 的图象，根据二次函数的性质，数形结合判断临界点即可求解.
【详解】解：由题可知，当 时， ，其对称轴为 ，
当 时，函数 有最大值为 ，
当 时，函数 有最大值为 ，
当 时， ，在 单调递减，故 ，
因为函数 无最大值，故当 时，需满足 ，解得 ，不符合题意，
当 时，需满足 ，解得 ， （舍去）.
综上，实数a的取值范围是 .
故选：D.10．（广东省广州市黄广中学高中部2022-2023高三上学期期末数学试题）设 ，若
有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 的根的个数，转化为两函数的交点个数问题，利用数形结合即得.
【详解】因为 有三个不同的实数根，等价于 与 有3个不同的交点，
画出 与 的图象，
所以 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：B.
11．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（二））函数 的大致图象是
（ ）．A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性公式运算发现函数 为非奇非偶函数，排除A；易知当 时， ，
故排除C；观察B，D选项，发现它们的主要区别是当 时， 的图象在y轴两侧的变化
趋势不同，故联想到利用特殊值进行检验，即可得出结果.
【详解】解：易知函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为非奇非偶函数，排除A；
易知当 时， ，故排除C；
因为 ， ，所以 ，所以排除D．
故选：B．
12．（湘豫名校联考2023届高三下学期2月入学摸底考试数学（文科）试题）如图所对应的函数的解析式
可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合图象，利用函数的定义域，奇偶性等性质排除BCD选项，即可求解.
【详解】由题图可知，函数的定义域是 ，而C选项中函数的定义域为 ，故排除C；
对于B，由 ， ，所以 ，即函数为奇函数，排除B；
对于D，当 时， ， ，所以 ，排除D．
对于A， ，
当 时， ， ，所以 ，且函数单调递减；
当 时， ；
当 时， ， ，所以 ，且函数单调递增；
当 时， ， ，所以 ，且函数单调递增；
当 时， ；
当 时， ， ，所以 ，且函数单调递增，故A正确.
故选：A．
13．（广东省惠州市2023届高三一模数学试题）“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图
1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，
这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可知，“心形”关于 轴对称，所以上部分的函数为偶函数，可排除B、D；再结合基本不
等式和二次函数的性质求得A、C的函数最大值，看是否为1，进而判断.
【详解】由图可知，“心形”关于 轴对称，所以上部分的函数为偶函数，
则函数 和 都不满足，故排除B、D；
而 的图象过点 ， ， ，
且 时， ，当且仅当 时，等号成立，
即函数 的最大值为2，
又“心形”函数的最大值为1，故排除A；
由 的图象过点 ， ， ，
且 时， ，当且仅当 时，等号成立，
即函数 的最大值为1，满足题意，故C满足.
故选：C．
14．（重庆市高考康德卷2023届高三模拟调研卷数学试题（三））匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出圆锥底面圆半径r，高H，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h与注水时
间t的函数关系式即可判断得解.
【详解】设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点 ，水面半径 ，此
时水面高度 ，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知， ，即 ，则注入水的体积为
，
令水匀速注入的速度为 ，则注水时间为t时的水的体积为 ，
于是得 ，而 都是常数，即 是常数，
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是 ， ， ，函
数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
15．（河南省安阳市重点高中高三模拟考试文科数学试题）已知函数 ，则关于 的方程
有 个不同实数解，则实数 满足（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】令 ，利用换元法可得 ，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根 、
，作出函数 的图象，结合题意和图象可得 、 ，进而得出结果.
【详解】令 ，作出函数 的图象如下图所示：
由于方程 至多两个实根，设为 和 ，
由图象可知，直线 与函数 图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x的方程 有7个不同实数解，
则关于u的二次方程 的一根为 ，则 ，
则方程 的另一根为 ，
直线 与函数 图象的交点个数必为4，则 ，解得 .
所以 且 .
故选：C.
二、填空题
16．（安徽省合肥市第八中学2022届高三下学期高考最后一卷文科数学试题）已知定义在（0，+ ）上
的函数f（x）满足： ，若方程 在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取
值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意知直线 与函数 的图像有三个交点，利用导数研究函数 的性质，结合
数形结合的数学思想即可求出k的取值范围.
【详解】方程 在（0，2]上恰有三个根，
即直线 与函数 的图像有三个交点，
当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以f（x）在（0， ）上单调递减，f（x）在（ ，1]上单调递增.
结合函数的“周期现象”得f（x）在（0，2]上的图像如下：由于直线l； 过定点A（0， ）.如图连接A，B（1，0）两点作直线 ，过点A作
的切线l2，
设切点P（ ， ），其中 ，则斜率
切线 过点A（0， ）.
则 ，即 ，则 ，
当直线 绕点A（0， ）在 与 之间旋转时.
直线 与函数 在[-1，2]上的图像有三个交点，故
故答案为：
17．（新疆维吾尔自治区喀什第二中学2022届高三10月月考数学（理）试题）方程 有不同的
四个解，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题可得函数 与 有四个交点，利用数形结合即得.
【详解】∵方程 有不同的四个解，
∴函数 与 有四个交点，作出函数 与 的图象，
由图可得 ，
∴实数 的取值范围是 .
故答案为： .
18．（内蒙古包头市第四中学2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数
， ，若方程 恰有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是
________
【答案】
【分析】作出函数 和 的图象，利用数形结合的数学思想和分类讨论的思想方法依次对a
的取值讨论，进而得出结果.
【详解】由题意，作出如下函数图象，由图象可知：
当 过点 即 时，方程 有一个实数根；
当 与 在 上相切时， 有一个实数根，
即 ， ，有切点为 ，所以 ，得 ；
当 与 平行即 时，
方程 恰有两个不同的实数根；
当 时， 有一个实数根；
综上，当 或 或 时，方程 有一个实数根；
当 时，方程 恰有三个不同的实数根；
当 时，方程 恰有两个不同的实数根；
当 时，方程 无实数根.
故答案为：
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题1．（2023届山东省滨州市高三二模数学试题）函数 的图象如图所示，则（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【分析】由图象分析函数奇偶性，特殊位置，及函数定义域即可.
【详解】由图象观察可得函数图象关于 轴对称，即函数为偶函数，
所以 得： ，故C错误；
由图象可知 ，故D错误；
因为定义域不连续，所以 有两个根可得 ，即 异号， ，即B错误，A
正确.
故选：A
2．（四川省乐山市2023届高三三模理科数学试题）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性和单调性进行辨析即可.
【详解】由已知， 定义域为 ， ，都有 ，，
∴函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，排除选项B和选项C.
又∵ ，
令 ，
则 ，
当 时， ，∴ 在区间 上单调递减，
又∵ ，
∴当 时， ，∴当 时， ，
∴ 在区间 单调递减，故排除选项D.
故选：A.
3．（河南省郑州市2023届高三第二次质量预测文科数学试题）若函数 的部分图象如图
所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.【详解】由图象知， 的两根为2，4，且过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，故选：A
4．（广西部分学校2022-2023学年高三下学期3月二轮复习阶段性测试文科数学试题）已知函数 的
部分图象如图所示，则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由图可知， ，函数 图象的对称轴为直线 ，且该函数的定义域为
，分析各选项中函数的定义域、对称性，结合特殊值以及排除法可得出合适的选
项.【详解】由图可知， ，函数 图象的对称轴为直线 ，且该函数的定义域为
.
对于A选项，函数 的定义域为 ，
，A不满足，排除A选项；
对于B选项， 的定义域为 ，
，
，
所以，函数 的图象关于直线 对称，B满足；
对于C选项，函数 的定义域为 ，
，
又因为 ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于直线 对称，C不满足，排除C选项；
对于D选项，函数 的定义域为 ，
，
又因为 ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于直线 对称，D不满足，排除D选项.
故选：B.
5．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）若函数 的部分图象如图，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对于A，根据 可知A不正确；对于C，利用导数可得 在 上单调递减，可知C
不正确；对于D，根据 为奇函数，可知D不正确.
【详解】对于A，因为 ，由图可知，A不正确；
对于C， ，令 ，
则 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 在 上恒成立，
所以当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减，所以排除C.
对于D， 的定义域为 ，关于原点对称，
， 为奇函数，其图象关于原点对称，由图可知，D不正确.
故选：B.
6．（广东省广州市2023届高三综合测试（一）数学试题）函数 在 上的图像大致为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.
【详解】函数 定义域为 ，
而 ，且 ，
即函数 既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；
而当 时， ，排除选项A，选项B符合要求.
故选：B
二、多选题
7．（2023·广东·高三专题练习）已知函数 的定义域是 （ ， ），值域为 ，
则满足条件的整数对 可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【分析】由 是偶函数及图像可得出结论.
【详解】显然 是偶函数，其图像如下图所示：
要使值域为 ，且 ， ,
则 ， ； ， ； ， .
故选：ACD.
8．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知函数 是定义在 上的偶函数，当
时， ，若方程 有四个不相等的实数根，则满足条件的 可以为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由条件求 的函数的解析式，结合偶函数的性质作函数 的图象，根据图象逐项确定
满足条件的函数 即可.
【详解】由已知当 时， ，
又 时， ，
所以当 时， ，
又 为偶函数，所以函数 的图象关于 轴对称，根据以上信息作出函数 的图象如下，
对于A，再作函数 的图象可得，
观察图象可得函数 的图象与函数 的图象有四个交点，
所以方程 有四个不相等的实数根，A正确；
对于B，再作函数 的图象可得，
观察图象可得函数 的图象与函数 的图象有三个交点，
所以方程 有三个不相等的实数根，B错误；
对于C，再作函数 的图象可得，观察图象可得函数 的图象与函数 的图象有四个交点，
所以方程 有四个不相等的实数根，C正确；
对于D，再作函数 的图象可得，
观察图象可得函数 的图象与函数 的图象有一个交点，
所以方程 有一个不相等的实数根，D错误；
故选：AC.
三、填空题
9．（安徽省十校联盟2023届高三下学期4月期中联考理科数学试题）已知函数 ，
若函数 有4个零点，则实数k的取值范围为_______________.
【答案】【分析】转化求 的图像与 图像交点，求出直线与 相切时的
，进而得到有4个交点时 的范围即可
【详解】
因为 有4个零点，
所以方程 有4个实数根，
画出 的图像，以及 ，
则两函数的图象有4个公共点．其中直线 经过定点 ，斜率为
当直线与 相切时，联立 ， ，可求出 ，由图可知，当 时，
方程 有4个交点，故 的取值范围为
故答案为 .
【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：
（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理；
（2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线 经过定
点 等．
10．（天津市第二十一中学2023学年高三上学期期中数学试题）已知 ，若函数
有三个零点，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】求导得到函数在 的单调区间和极大值，画出函数图像，将零点转化为交点，根据图像得到答
案.
【详解】当 时， ， ，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减.
在 时的极大值为 ，当 时，
画出函数图像，如图所示：
函数 有三个零点，即 有三个交点，故
故答案为： .11．（上海市嘉定区第二中学2023学年高一上学期第二次月考数学试题）已知函数 的图象与函
数 的图象恰好有两个交点，则实数k的取值范围是__________.
【答案】 或 .
【分析】先化简函数 ，在同一坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】 ，
在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示：
因为函数 的图象与函数 的图象恰有两个交点，所以 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】关键点睛：本题的解题关键是在同一平面直角坐标系中，作出两个函数的图象，然后利用数形结
合思想求解．
12．（【校级联考】山东省淄博市部分学校2023届高三5月阶段性检测（三模）数学（理）试题）已知函
数 且 在 上单调递增，且关于 的方程 恰有两个不相
等的实数解，则 的取值范围是___________．
【答案】【分析】由题意可知 在两段上均为增函数，且 在 上的最小值大于或等于 ，作出
和 的图象，根据交点个数判断 与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组
解出．
【详解】 是 上的单调递增函数，
在 ， 上单调递增，
可得 ，
且 ，即 ，
作出 和 的函数草图如图所示：
由图象可知 在 上有且只有一解，
可得 ，或 ，即有△ ，
即有 或 ；
由 ，解得 ，即 时，有且只有一解．
则 的范围是 ， ．
故答案为 ， ．
【点睛】本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属
于中档题．
四、解答题
13．（2023年数学预测卷）已知函数 .(1)求 的最小值；
(2)若f (x)≥k|x|+1对任意 恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）由题意分别画出三个函数的图象，即可分析出 的图象，通过图象可得最小值；
（2）设 ，可知 恒过点 ，作图并分类讨论 ，结合条件根据图象，求出k的取
值范围.
【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数 ， ， 的图象，如图1
所示，
由 ，解得 或 ；
由 ，解得 或 .
由图象易得 ，
结合图象可知，当 时， 取得最小值，
即 .（2）设 ，则 恒过点 ，
因为 ，所以记 ，
由（1）知， 的图象如图2所示，
当 时， ，即 ，
所以 ，不等式恒成立.
当 时，易知直线AM的斜率 ，
由图象可知，根据 恒成立，
可得 ，解得 ，所以 ，
综上所述，k的取值范围是 .
14．已知函数 ．
(1)证明：当 且 时， ；
(2)若存在实数 ，使得函数 在 上的值域为 ，求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）作出函数 的大致图象，结合 且 ，及函数的单调性知，
，再结合函数的解析式化简及基本不等式可证明 ；
（2）分 ， 或 三种情况分别讨论求解m的取值范围，最后综合讨
论结果可得答案.
【详解】（1）证明：函数 的图象可由 的图象向上平移1个单位，
然后保留x轴上交点以及其上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，
其图象如图示：
由 且 知， ，
， ，
则由 得 ，
由于 ，（因为 ，故等号不成立），
故 ，即 .
（2）由题意存在实数 ，使得函数 在 上的值域为 ，
可知 ；
由 可知当 或 ，则必有 ，不合题意；
当 时， ，而 ，与 矛盾；
∴ 或 ，当 时，由 是减函数知， ，
即 ， ，得 ，不合题意，舍去；
当 时，由 是增函数知， ，
即 ， ，即 ， ，
∴ 是方程 的两个不相等实根，且这两根均大于1，
∴ 且 ， ，解得 ，
∴实数m的取值范围是 .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ,则下列命题中正确命题的个数是（ ）
①函数 在 上为周期函数
②函数 在区间 , 上单调递增
③函数 在 （ ）取到最大值 ,且无最小值
④若方程 （ ）有且仅有两个不同的实根,则
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】作出 的图像,由图像对各选项进行判断即可. 时, ,可由 的图
像作关于 轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当 时, 故是周期为 的周期函数,图像可由 时, 向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到 图
像.
【详解】 的图像如图所示:
对于①,因为 , ,可得 所以函数 在 上不是周期函数,故①不正确;
对于②,当 , 结合函数图像可知,函数 在区间 , 上单调递增,故②正确;
对于③,因为 时, ,不是最大值, 故③不正确;
对于④,如图所示,
图中两条曲线对应的 分别为 和 ,故方程为 ,有且只有两个实根,则 ,
故④正确.
故选:B.
【点睛】本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像,结合
函数图像对其单调性,最值进行求解,考查了计算能力和理解能力,属于中档题.2．（2023·天津·高三专题练习）已知函数 ，函数 ，其中 ，
若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 恰有4个零点，即方程 ，
即 有4个不同的实数根，
即直线 与函数 的图象有四个不同的交点．
又
做出该函数的图象如图所示，
由图得，当 时，直线 与函数 的图象有4个不同的交点，
故函数 恰有4个零点时，b的取值范围是 故选D．
考点：1、分段函数；2、函数的零点．
【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形
结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令 、 、 ，结合导数研究 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.
【详解】当 时， 且 ，则 ，
所以 上 ， 递增； 上 ， 递减，且 ，
所以A图象可能；
当 时， 且 ，则 ，
所以 上 ， 递减， 上 ， 递增， 上 ， 递减，
所以B图象可能；当 时， 且 ，则 ，
所以 上 ， 递增， 上 ， 递减， 上 ， 递减，
又 时 ，而 时 ，
所以D图象可能；
综上，排除A、B、D.
故选：C
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的奇函数 ，当 时， 下
列说法中正确的是（ ）
A．当 时，恒有
B．若当 时， 的最小值为 ，则m的取值范围为
C．不存在实数k，使函数 有5个不相等的零点
D．若关于x的方程 所有实数根之和为0，则
【答案】BC
【解析】根据函数的奇偶性及 时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立 与
可判断相切时切点横坐标为1，当 ， 时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性
与对称性判断D．
【详解】当 时， 且 为R上的奇函数，
作函数f（x）的图象如图：对于A，当 时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正确；
对于B，令 ，解得 ，由图象可知，当 时， 的最小值为 ，则 ，故
B正确；
对于C，联立 ，得 ，
△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在 ，使得△=0，此时 ,可知最多有3个不同的交点，
∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确；
对于D，由 可得 或 ，
∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程 与 所有根的和为0，
∴函数 的根与 根关于原点对称，则 ，
但x＞0时，方程 有2个根，分别为 ，两根之和为 ，
若关于x的两个方程 与 所有根的和为0，
则 的根为 ，此时 ，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.
三、填空题
5．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知定义域为R的奇函数 满足：
，若方程 在 上恰有三个根，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【分析】由题可知直线 与函数 的图像有三个交点，利用导数研究函数的性质，利用数
形结合思想能求出实数 的取值范围．
【详解】定义为 的奇函数 满足： ，
方程 在 上恰有三个根，
即直线 与函数 的图像有三个交点，
由 是 上的奇函数，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上递减， 在 上递增，
结合奇函数的对称性和“周期现象”得 在 ， 上的图像如下：
由于直线 过定点 ，如图，连接 ， 两点作直线 ，
过点 作 的切线 ，
设切点 ， ，其中 ， ，则斜率 ，
切线 过点 ，
则 ，即 ，
则 ，
当直线 绕点 在 与 之间旋转时，
直线 与函数 在 ， 上的图像有三个交点，故 ．
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于x的方程
有5个不同的实数根，则a的取值范围为_______.
【答案】
【分析】根据分段函数解析式可画出函数图象，将方程分解可得 ，利用函数图
象可知， 和 与函数 共有5个不同的交点，对实数a进行分类讨论即可求得a的取值范围.
【详解】由函数 可知，其函数图象如下图所示：若关于x的方程 有5个不同的实数根，
即方程 有5个不同的实数根，
即 和 共有5个不同的实数根，
所以 和 与函数 共有5个不同的交点；
由图可知， 与函数 最多有三个交点，且 ；
所以，当 ， 与函数 有2个不同的交点，
需满足 与函数 有3个不同的交点，所以 ，
解得 ；
当 时， 与函数 有3个不同的交点，
需满足 与函数 有2个不同的交点，所以 ，解得 ；
综上可知， ，所以，a的取值范围为 .故答案为：
【点睛】方法点睛：将方程根的个数问题转化成函数图象交点个数的问题时解决此类问题的常用方法，画
出函数图象并利用数形结合对参数进行分类讨论即可得出结果.
