文档内容
专题 24.9 弧长和扇形的面积【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用弧长公式弧长】..................................................................................................................................1
【题型2 利用扇形面积公式求扇形面积】..............................................................................................................2
【题型3 求弓形面积】..............................................................................................................................................4
【题型4 由面积的和差求不规则图形的面积】.....................................................................................................5
【题型5 由弧长或扇形面积公式求半径或圆心角】.............................................................................................6
【题型6 求动点运动的运动路径长度】..................................................................................................................7
【题型7 求图形旋转后扫过的面积】......................................................................................................................8
【题型8 与圆锥有关的计算】..................................................................................................................................9
【题型9 圆锥中的实际应用】................................................................................................................................10
【题型10 求圆锥侧面中最短距离】........................................................................................................................11
知识点：弧长及扇形的面积
设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l.
nπR
弧长公式：l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
180
n 1
扇形面积公式：S = πR2= lR
扇形 360 2
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl（l为母线）
【题型1 利用弧长公式弧长】
【例1】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图1，在⊙O中，AC=BD，且AC⊥BD，垂足为点E．(1)求∠ABD的度数．
(2)如图2，连接OA，当OA=2，∠OAB=20°，求C´D的长．
【变式1-1】（23-24九年级·山东济南·期末）如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连结AD，已知
AC=BD．
(1)求证：∠A=∠D；
(2)连结OC、OD，若AC⊥BD，⊙O的半径为2，求C´D的长．
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在扇形OAB中，OA=6，∠AOB=110°，将扇形
OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的长为 ．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足
为D，A´B=A´E，BE分别交AD，AC于点F，G．
(1)求证： FA=FG；(2)若BD=DO=3，求弧EC的长度．
【题型2 利用扇形面积公式求扇形面积】
【例2】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画
一弧，交AC于点E，若∠A=60°，∠ABC=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为 ．
【变式2-1】（2024·福建福州·一模）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，∠ABC=40°，D为B´C
的中点，连接BD，CD，AD，OE∥BC，交⊙O于点E．
(1)求∠ABD的度数；
(2)若AB=6，求扇形EOB的面积．
【变式2-2】（23-24九年级·江苏·专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，
国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的
部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若
OA=3m，OB=1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
9π 17π 2❑√5π
A． m2 B．3πm2 C． m2 D． m2
4 4 3
【变式2-3】（23-24九年级·宁夏吴忠·期末）如图，直角坐标系中，有一条圆心角为90°的圆弧，且该圆弧经过网格点A(0,4)，B(−4,4)，C(−6,2)．
(1)该圆弧所在圆的圆心M坐标为__________．
(2)求扇形AMC的面积．
【题型3 求弓形面积】
【例3】（2024·山西临汾·二模）如图，两个半径均为4的圆形纸片完全重合叠放在一起，让其中的一张圆
形纸片绕着直径AB的一端A按逆时针方向旋转30°后得到直径为AC的圆，则图中阴影部分的面积为
（ ）
8π 16π 16π 8π
A． −2❑√3 B． −2❑√3 C． −4❑√3 D． −4❑√3
3 3 3 3
【变式3-1】（23-24·山东泰安·二模）如图C、D在直径AB=4的半圆上，D为半圆弧的中点，
∠BAC=15°，则阴影部分的面积是
【变式3-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为点E，连
接OC并延长交⊙O于点F，∠CDB=30°，CD=2❑√3，则图中阴影部分的面积为（ ）π ❑√3 2π 4π
A． − B． −❑√3 C． −❑√3 D．2π−2❑√3
3 2 3 3
【变式3-3】（23-24·河南周口·三模）如图，在△ABC中，BC=BA=4，∠C=30°，以AB中点D为圆
心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型4 由面积的和差求不规则图形的面积】
【例4】（23-24·云南昭通·一模）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋
转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为（ ）
2 4 3
A． π+2❑√3 B． π+4❑√3 C．❑√3+π D． π−❑√3
3 3 2
【变式4-1】（23-24九年级·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半
径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A．2π−4 B．2π−2 C．4π−4 D．4π−2
【变式4-2】（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，将△ABC绕
点B逆时针旋转 得到 ，则 ， ， ， 围成的面积（图中阴影部分面积）为
30° △A'BC' AC A ´ A′ A'C' C ´ C′．
【变式4-3】（23-24·山东青岛·一模）如图所示，∠AOB=90°，OA=OB=4，将扇形OAB绕边OB的中
点D顺时针旋转90°得到扇形O′ A′B′，弧A′B′交OA于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型5 由弧长或扇形面积公式求半径或圆心角】
【例5】（23-24·河南新乡·二模）如图，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到矩形A'BC'D'，点C的
❑√5π
对应点C'恰好落在边AD上，若D ´ D′的长为 ，则AB的长为 ．
3
【变式5-1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，将边长为2的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以
点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为 ，
该扇形所对的圆心角是 度．（结果用含π的式子表示）【变式5-2】（2024·广东广州·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是8cm，当重物上升2π cm
时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
【变式5-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，点E是AD中
点，在AB上取一点F，以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，连接BE，若
图中阴影部分面积为4π，则AD= ．
【题型6 求动点运动的运动路径长度】
【例6】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为2，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P，
从点P作PH⊥OA于点H，设△OPH的三个内角平分线交于点M，当点P在弧AB上从点A运动到点B
时，点M所经过的路径长是（ ）
❑√2
A．π B． π C．❑√2π D．2π
2
【变式6-1】（23-24·四川巴中·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD
、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同
时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点
时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是 ．
【变式6-2】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，OB=2，C是弧AB
上一动点，过点C作CD⊥OB，交OB于点D，连接OC，OI，CI分别平分∠COD、∠OCD，当点C从
A运动到B的过程中，点I的运动路径长为 ．
【变式6-3】（2024·海南三亚·一模）在平行四边形ABCD中，AB=BC，∠ADC=60°，AB=3，分别
连接AC、BD，
（1）线段AC与BD的位置关系是 ；
（2）点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动
路径长为 ．
【题型7 求图形旋转后扫过的面积】
【例7】（23-24·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕
点O顺时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转
1 1 1 2 1 2 2
45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交y轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到OA 扫
3 2 3 4 3 4 4 5
过的面积记为S ；…；按此规律，则S 为（ ）
3 2023A．22019π B．22020π C．22021π D．22022π
【变式7-1】（23-24九年级·河南洛阳·期末）如图，在矩形ABCD中，AC=4，将△ADC绕点A按逆时针
方向旋转到△AEF（点A、B、E在同一直线上），则AC在运动过程中所扫过的面积为 ．
【变式7-2】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在△ABC中，已知AB=4，将△ABC绕点A逆时针旋转
40°得到△ADE，点B经过的路径为B´D，则图中阴影部分的面积为（ ）
14 16
A． π−6 B． π
3 9
33
C． π−3 D．条件不足，无法计算
8
【变式7-3】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，已知A´B所在圆的半径为5，弦AB的长8，点P是
中点， 绕点A逆时针旋转 后得到 ，两位同学提出了相关结论：
A´B A´B 90° A ´ B′
嘉嘉：AP的长为2❑√5；琪琪：AP扫过的面积为❑√5π
下列论正确的是（ ）A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对
【题型8 与圆锥有关的计算】
【例8】（23-24九年级·四川绵阳·期末）如图所示，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸
片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为
❑√15，则AD的长为（ ）
A．8 B．8❑√2 C．6❑√3 D．6
【变式8-1】（23-24九年级·四川自贡·期末）若一个圆锥的底面半径为2cm，高为4❑√2cm，则圆锥的侧面
展开图中圆心角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．150°
【变式8-2】（23-24九年级·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的
扇形圆心角等于（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【变式8-3】（23-24·云南·模拟预测）如图，菱形ABCD的周长为48，以点B为圆心，AB为半径画圆弧
AC得到扇形BAC（阴影部分）．若扇形BAC正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形
BAC（阴影部分）的面积为（ ）A．48π B．48❑√5π C．12❑√35π D．12❑√74π
【题型9 圆锥中的实际应用】
【例9】（23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这
种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，
AE,AF恰好重合．已知这种加工材料的顶角∠BAC=90°，圆锥底面圆的直径DE为5cm．
(1)求图2中圆锥的母线AE的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【变式9-1】（23-24·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一
个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知
1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．
【变式9-2】（23-24九年级·贵州铜仁·阶段练习）如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径
为3m、圆心角为120°的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留π）【变式9-3】（23-24·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1
所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸
1
片重叠部分三层，且每层为 圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗
4
管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部
分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
【题型10 求圆锥侧面中最短距离】
【例10】（23-24·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，
SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B．3❑√3 C．3❑√2 D．6❑√3
【变式10-1】（23-24九年级·广西河池·期末）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径
EF长为5cm，母线OE(OF)长为5cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁
从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm．【变式10-2】（2015·山东青岛·二模）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为
6 cm，母线OE（OF）长为9cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA = 3cm．在母线OE上的
点B处有一只蚂蚁，且EB = 1cm．这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点，则爬行的最短距离为
cm．
【变式10-3】（23-24九年级·山东泰安·期末）如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展
开图．
（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
