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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 13 练 函数与方程及函数模型的应用（精练）
1理解函数的零点与方程的解的关系.
2.了解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
4.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
5.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增
长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
一、多选题
1．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题2．（2023·天津·高考真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则 的取值范
围为 ．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值
范围是 ．
4．（2022·天津·高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若 至少
有3个零点，则实数 的取值范围为 .
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·北京东城·期末）把长为 的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正
方形面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·北京·期中）函数 在区间 上的零点个数为（ ）
A．无穷多个 B．4个 C．2个 D．0个
4．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024·江西·模拟预测）酒驾最新标准规定： 血液中酒精含量达到 的驾驶员即为酒后驾车，
达到 及以上认定为醉酒驾车．如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为 ，从此刻起停止饮酒，
血液中酒精含量会以每小时 的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（22-23高一下·江苏宿迁·期中）函数 有且只有一个零点，则实数m的值为（ ）
A．9 B．12 C．0或9 D．0或12
7．（2024·广东湛江·二模）已知函数 ， ，则（ ）
A．当 有2个零点时， 只有1个零点
B．当 有3个零点时， 有2个零点
C．当 有2个零点时， 有2个零点
D．当 有2个零点时， 有4个零点
8．（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）已知函数 ， ，若函数
有2个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数 零点的近似值时，若第一次所取区间为
，则第二次所取区间可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一下·广东茂名·开学考试）已知函数 在定义域 上单调递增， ，
， ，则函数 的一个误差不超过0.05的零点可以为（ ）A．0.6 B．0.68 C．0.7 D．0.72
11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记
忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量 f（x）与时间x
（天）之间的函数关系f（x）＝ 则下列说法正确的是（ ）
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
12．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质
数量随时间 的衰变公式 ， 表示物质的初始数量， 是一个具有时间量纲的数，研究放射
性物质常用到半衰期，半衰期 指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知
，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为 ， ， ，
则（ ）
τ的量纲单 τ的
物质
位 值
铀234 万年 35.58
铀235 亿年 10.2
铀238 亿年 64.75
A． B． 与 成正比例关系
C． D．三、填空题
13．（23-24高一下·江苏连云港·期中）函数 的零点为 ．
14．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 所有零点之和为
15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝ 则使得方程x＋f（x）＝m有解的实数m的取
值范围是 ．
16．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数 在区间 上存在零点，则常数a的取值范围
为 ．
17．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数 的零点有且只有一个，
则实数 的取值集合为 ．
18．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 在 内恰有3个零点，则
的取值范围是 ．
四、解答题
19．（23-24高三下·上海·阶段练习）某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个
圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是
半圆形，中间区域是矩形 ，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积
之和．假设 的长为 毫米．
(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米） 关于 的函数关系式；(2)如何设计 与 的长度，使得 最大？
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在
室温 下，某种绿茶用 的水泡制，经过 后茶水的温度为 ，且 .
当茶水温度降至 时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据： ）
A． B． C．8min D．
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
3．（2024·浙江温州·三模）已知函数 ，则关于 方程 的根个数不可
能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程 的不
同实数根的个数为6，则a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数 的零点为 ， 的零点为 ，则（ ）A． B．
C． D．
6．（2024·贵州毕节·三模）函数 ，下列关于函数 的叙述正确
的是（ ）
A． ，使得 的图象关于原点对称
B．若 ，则方程 有大于2的实根
C．若 ，则方程 至少有两个实根
D．若 ，则方程 有三个实根
三、填空题
7．（2024·天津·模拟预测）已知函数 有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
8．（2024·上海青浦·二模）对于函数 ，其中 ，若关于 的方程
有两个不同的根，则实数 的取值范围是 ．
9．（2024·安徽黄山·二模）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是
.
【C级 拓广探索练】
一、单选题1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 ， ，若关于x的方程
有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ， ，若关于 的方程
有两个不等实根 ，且 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（23-24高三下·天津·阶段练习）若方程 在区间 上有解，其中 ，则实
数 的取值范围为 ．（结果用 表示）
