文档内容
专题 26.1 反比例函数中 k 的几何意义
◆ 典例分析
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的一条边AB⊥x轴于点B，经过点A的反比例函
k
数y= （k>0，x>0）的图象交BC于点D，连结OA，OC，若点D是BC中点，△OAC的面积为3，则
x
k的值为 ．
【思路点拨】
利用反比例函数的几何意义，表示出点A的坐标的关系，利用△OAC的面积，求出点A的坐标的积，从而
求出答案．
【解题过程】
解：如下图，过C作CH⊥AB、CF⊥x轴，作DE⊥x轴，
设点A(a,b)，
∴OB=a，AB=b，
∵△ABC为等边三角形且CH⊥AB，1 ❑√3
∴BH= b，CH= b，
2 2
1
∴矩形BFCH中，CF= b，
2
∵D是BC中点，
∴DE=14b，
∵∠CBF=30°，
1 ❑√3
∴BE=❑√3⋅ b= b，
4 4
❑√3
∴OE=a+ b，
4
( ❑√3 ) 1
∴ab= a+ b ⋅ b，
4 4
∴b=4❑√3a，
∵S =S +S −S =3，
△OAC △OAB 梯形ABFC △OCF
1 1( 1 ) ❑√3 1( ❑√3 ) 1
∴ ab+ b+ b ⋅ b− a+ b ⋅ b=3，
2 2 2 2 2 2 2
1 ❑√3
∴ ab+ b2=3，
4 4
1
∴ ab+3ab=3，
4
12
∴ab= ，
13
12
∴k= ，
13
12
故答案为： ．
13
◆ 学霸必刷
k
1．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点A、B是反比例函数 y= 图象上任意两点，且BD⊥x轴
x
于点D，AC⊥y轴于点C，△OAC和 △OBD面积之和为6，则k的值为（ ）A．−6 B．−12 C．6 D．12
【思路点拨】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出△OAC和 △OBD面积之和，即可求解．
【解题过程】
k
解：∵点A、B是反比例函数y= 图象上任意两点，
x
( k) ( k)
∴设A a, ，B b, ，
a b
∵ BD⊥x轴于点D，AC⊥y轴于点C，
k k
∴ BD= ，OD=−b，OC= ，AC=−a，
b a
∵ △OAC和 △OBD面积之和为6，
1 1 1 k 1 k 1 1
∴ OC⋅AC+ BD⋅OD= ⋅ ⋅(−a)+ ⋅ ⋅(−b)=− k− k=−k=6，
2 2 2 a 2 b 2 2
∴ k=−6，
故选A．
k
2．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，A，B两点在反比例函数y= 1的图象上，C，D两点在反比
x
k
例函数y＝ 2的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=4，BD=6，EF=10，则k −k 等
x 2 1
于（ ）14
A．4 B． C．24 D．12
3
【思路点拨】
本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，连接OA、OC、OD、OB，由反比例函数的性
1 1 1
质可知S =S = |k )=− k ，S =S = k ，由S =S +S ，
△AOE △BOF 2 1 2 1 △COE △DOF 2 2 △AOC △AOE △COE
S =S +S 即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
△BOD △DOF △BOF
【解题过程】
解：连接OA、OC、OD、OB，如图，
1 1 1
由反比例函数的性质可知S =S = |k )=− k ，S =S = k ，
△AOE △BOF 2 1 2 1 △COE △DOF 2 2
∵S =S +S ，
△AOC △AOE △COE
1 1 1
∴ AC×OE= ×4OE=2OE= (k −k )①，
2 2 2 2 1
∵S =S +S ，
△BOD △DOF △BOF
1 1 1 1
∴ BD×OF= ×6(EF−OE)= ×6(10−OE)=30−3OE= (k −k )②，
2 2 2 2 2 1
由①②两式解得OE=6，
则k −k =24，
2 1
故选：C．
4 3
3．（2024·安徽安庆·三模）已知反比例y= (x>0)与y=− (x≥0)的图像如图所示，B为x轴正半轴上一
x x
4 3
动点，过点B作AC∥y轴，分别交反比例函数y= (x>0)与y=− (x≥0)的图像于点A，C，点D，E
x x
（点E在点D的上方）在y轴上，且DE=AC，则四边形ACDE的面积为（ ）A．6.5 B．7 C．7.5 D．8
【思路点拨】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
3
利用反比例函数系数k的几何意义可得S =2，S = ，再根据同底等高的三角形面积相等，得到
△AOB △BOC 2
S =S ，由平行四边形的面积公式进而求出答案
△ADC △AOC
【解题过程】
解：连接AD、OA、OC，
∵AC∥y轴，DE=AC，
∴四边形ACDE为平行四边形，
∴S =2S ，
四边形ACDE △ADC
∵AC∥y轴，
∴S =S ，
△ADC △AOC
由反比例函数系数k的几何意义得，
1 1 3
S = |4)=2，S = |−3)= ，
△AOB 2 △BOC 2 27
∴S =S +S = ，
△AOC △AOB △BOC 2
∴S =2S =7，
四边形ACDE △AOC
故选：B．
4．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0,0)，A(0,4)，B(3,0)为顶
k
点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y= 的图象上，
x
则k的值为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
【思路点拨】
过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB=5，根据
角平分线的性质得PE=PC=PD，设P(t,t)，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入
k
y= 中求出k的值．
x
【解题过程】
解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图所示，
∵A(0,4)，B(3,0)
∴OA=4，OB=3，
∴AB=❑√OA2+OB2=5，∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE=PC，PD=PC，
∴PE=PC=PD，
设P(t，t)，则PC＝t，
∵S +S +S +S =S ，
△PAE △PAB △PBD △OAB 矩形PEOD
1 1 1 1
∴ t(t−4)+ ×5t+ t(t−3)+ ×3×4=t2 ，
2 2 2 2
解得t=6，
∴P(6，6)，
k
把P(6，6)代入y= 得k=6×6=36．
x
故选：A．
8 k
5．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，▱ABCO的顶点B在双曲线y= 上，顶点C在双曲线y=
x x
上，BC的中点P恰好落在y轴上，已知S =10，则k的值为（ ）
▱OABC
A．−8 B．−6 C．4 D．−2
【思路点拨】
连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，根据全等三角形的判定可得△BEP≌△CDP(AAS)
1 1
，推得S =S ；根据三角形的面积可得S = ×8=4，S = |k)，推得
△BEP △CDP △BOE 2 △COD 2
1
S =S +S +S =4+ |k)=5，求解k即可，注意k<0．
△BOC △BPO △CPD △DOC 2
【解题过程】
解：连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，如图：∴∠BEP=∠CDP，
又∵∠BPE=∠CPD，BP=CP，
∴△BEP≌△CDP(AAS)；
∴S =S ，
△BEP △CDP
8
∵点B在双曲线y= 上，
x
1
∴S = ×8=4，
△BOE 2
k
∵点C在双曲线y= 上，
x
1
∴S = |k)，
△COD 2
∵四边形ABCO是平行四边形，S =10，
▱OABC
1
∴S =S +S +S =4+ |k)=5，
△BOC △BPO △CPD △DOC 2
解得：k=−2（正数舍去），
故选：D．
6．（24-25九年级上·湖南怀化·开学考试）矩形OABC中，OA=1，OC=2，以O为原点，分别以OA，
k
OC所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线y= (k<2)的图象分别交AB，CB于点
x
E，F，连接OE，OF，EF，S =2S ，则k=（ ）
△OEF △BEF2 4
A． B．1 C． D．❑√2
3 3
【思路点拨】
1
本题考查了矩形的性质，反比例函数中的面积问题，割补法表示面积；由三角形面积得S = FB⋅BE
△BEF 2
1( k)
= 1− (2−k)，割补法表示面积得S =S −S −S −S ，即可求解；能通过两种
2 2 △OEF 矩形OABC △OFC △OAE △EFB
方法表示面积是解题的关键.
【解题过程】
解：∵矩形OABC中，OA=1，OC=2，
∴B(1,2)，C(0,2)，A(1,0)，
k
∵双曲线y= (00)与长方形OABC在第一象限相交
x于D、E两点，OA=4，OC=8，连接OD，OE，DE，记△OAD、△OCE的面积分别为S 、S ．若
1 2
S +S =8，则△ODE的面积为（ ）
1 2
A．12 B．15 C．8❑√3 D．30
【思路点拨】
本题考查反比函数系数k的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得∠BAO=∠BCO=∠B=90°，
BC=4，AB=8，继而得出BA⊥y轴，BC⊥x轴，根据三角形的面积及反比函数系数k的几何意义得
1 1 1 1
S = AD·AO= k，S = CO·EC= k，推出k=8，继而得到BD=AB−AD=6，BE=BC−EC=3
1 2 2 2 2 2
，
1
∴S = BD⋅BE=9，再根据S =S −S −S −S 即可得解．求出BD、BE的
△BDE 2 △ODE 长方形OABC △OAD △OCE △BDE
长是解题的关键．
【解题过程】
解：∵四边形OABC是长方形，OA=4，OC=8，
∴∠BAO=∠BCO=∠B=90°，BC=OA=4，AB=OC=8，
∴BA⊥y轴，BC⊥x轴，
k
∵反比例函数y= (k>0)与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，△OAD、△OCE的面积分别为
x
S 、S ，S +S =8，
1 2 1 2
1 1 1 1
∴S = AD·AO= k，S = CO·EC= k，
1 2 2 2 2 2
1 1
∴ k+ k=8，
2 2
解得：k=8，
1 1 1 1
∴ AD·AO= ×8， CO·EC= ×8，即S =4，S =4，
2 2 2 2 1 21 1 1 1
∴ ×4×AD= ×8， ×8×EC= ×8，
2 2 2 2
∴AD=2，EC=1，
∴BD=AB−AD=8−2=6，BE=BC−EC=4−1=3，
1 1
∴S = BD⋅BE= ×6×3=9
△BDE 2 2
∴S =S −S −S −S ，
△ODE 长方形OABC △OAD △OCE △BDE
=OA⋅OC−S −S −S
1 2 △BDE
=4×8−4−4−9
=32−4−4−9
=15
∴△ODE的面积为15．
故选：B．
8．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分
别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到
右依次记为S ，S ，S ，其中OA:AB:BC=1:2:3，若S =6，则S +S =（ ）
1 2 3 2 1 3
A．15 B．12 C．10 D．18
【思路点拨】
k k
此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数为y= ，设OA=x,AB=2x,BC=3x，得到AR= ，
x x
k k k k k k k
BQ= ，CP= ，求出S ,S ，得到S +S = + = ，求出S +S =k− = ，得到S =S =6，
3x 6x 1 4 1 4 6 3 2 2 5 2 2 2 4
k k k
S =S = ，列得 =6，得到k=18，进而求出S =S = =3，即可得到S +S =18−3=15．
5 1 6 3 5 1 6 1 3
【解题过程】
解：如图，k
设反比例函数为y=
,
x
∴OA×AR=OB×BQ=OC×CP=k，
∵OA:AB:BC=1:2:3，S =6，
2
∴设OA=x,AB=2x,BC=3x，
∴OA=x,OB=3x,OC=6x，
k k k
∴AR= ，BQ= ，CP= ，
x 3x 6x
k k k k
∴S =OA×CP=x⋅ = ，S =CP×AB= ⋅2x= ，
1 6x 6 4 6x 3
k k k
∴S +S = + =
1 4 6 3 2
k k
∴S +S =k− = ，
2 5 2 2
k
∴S =S =6，S =S = ，
2 4 5 1 6
k
∴ =6，
3
得k=18
k
∴S =S = =3
5 1 6
∵S +S +S =k=18
1 5 3
∴S +S =18−3=15．
1 3
故选A．
9．（2024·山东枣庄·二模）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点Ak k
和第二象限的点C分别在双曲线 y= 1和 y= 2的一个分支上，分别过点A、C作x轴的垂线段，垂足分
x x
AM |k ) 1
别为点M和点N，给出如下四个结论： ① = 1 ； ②阴影部分的面积是 (|k )+|k ))；③当
CN k 2 1 2
2
∠AOC=90°时，|k |=)k )； ④若OABC是菱形，则 k +k =0；以上结论正确的是（ ）
1 2 1 2
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④
【思路点拨】
本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作AE⊥y轴于E
1 1
，CF⊥y轴于F，由S =S 得AE=CF，进而得OM=ON，再由S = |k )= OM·AM，
△AOB △COB △AOM 2 1 2
1 1
S = |k )= ON·CN，即可判断① ②；当∠AOC=90°， 四边形OABC是矩形，不能确定OA与
△CON 2 2 2
OC相等，故不能判断△AOM≌△CNO，即不能判断AM=CN，由此不能确定|k |=)k )，即可判断③；
1 2
若四边形OABC是菱形，可证Rt△AOM≌Rt△CNO(HL)，得到AM=CN，即得|k |=)k )，即可判断④
1 2
；正确作出辅助线是解题的关键．
【解题过程】
解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，∵四边形OABC是平行四边形，
∴S =S ，
△AOB △COB
∴AE=CF，
∴OM=ON
1 1 1 1
∵S = |k )= OM·AM，S = |k )= ON·CN，
△AOM 2 1 2 △CON 2 2 2
∴ AM = |k 1 ) = |k 1 ) ，故①正确；
CN |k ) k
2 2
1 1
∵S = |k )，S = |k )，
△AOM 2 1 △CON 2 2
1 1 1
∴S =S +S = |k )+ |k )= (|k )+|k ))，故②正确；
阴影部分 △AOM △CON 2 1 2 2 2 1 2
当∠AOC=90°， 四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM=ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM=CN，
∴不能确定|k |=)k )，故③错误；
1 2
若四边形OABC是菱形，则OA=OC，而OM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CON(HL)，
∴AM=CN，
∴|k |=)k )，
1 2
又由图象可得，k >0，k <0，
1 2
∴k =−k ，
1 2
∴k +k =0，故④正确；
1 2∴结论正确的是①②④，
故选：B．
10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有动点A，连接OA，
k 4
y= (x>0)的图象经过OA的中点B，过点B作BC ∥ x轴交函数y= 的图象于点C，过点C作CE ∥
x x
k
y轴交函数y= 的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①
x
3 3
k=1；②S = ；③S = S ；④若BD=AO，则∠AOC=2∠COE．其中正确的是
ΔBOC 2 ΔCDF 16 ΔAOC
（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【思路点拨】
4 1 2
设A(m, )，则OA的中点B为( m， )，即可求得k=1，即可判断①；表示出C的坐标，即可表示出
m 2 m
1 3m 2 3 9
BC，求得S = × × = ，即可判断②；计算出S = ，S =3，即可求得
ΔBOC 2 2 m 2 ΔCDF 16 ΔAOC
3
S = S ，即可判断③；先证F是BD的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性
ΔCDF 16 ΔAOC
质得出∠BFO=∠CBD+∠BCO=2∠COE，根据等腰三角形的性质得出∠AOC=∠BFO，从而得到
∠AOC=2∠COE，即可判断④．
【解题过程】
4
解：∵动点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
4
∴设A(m, )，
m1 2
∴OA的中点B为( m， )，
2 m
k
∵y= (x>0)的图象经过点B，
x
1 2
∴k= m⋅ =1，故①正确；
2 m
4
∵过点B作BC∥x轴交函数y= 的图象于点C，
x
2
∴C的纵坐标y= ，
m
2 4
把y= 代入y= 得，x=2m，
m x
2
∴C(2m, )，
m
1 3m
∴BC=2m− m= ，
2 2
1 3m 2 3
∴S = × × = ，故②正确；
ΔBOC 2 2 m 2
如图，过点A作AM⊥x轴于M．
4 1 2 2
∵A(m, )，B( m， )，C(2m, )，
m 2 m m
k
∵过点C作CE∥y轴交函数y= 的图象于点D，交x轴点E，
x
1
∴D(2m, )，
2m
1 1 5
∴直线OC的解析式为y= x，直线BD的解析式为y=− x+
，
m2 m2 2m{ y= 1 x ) { x= 5 m)
m2 4
由 ，解得 ，
1 5 5
y=− x+ y=
m2 2m 4m
5 5
∴F( m， )，
4 4m
1 2 1 5 9
∴S = ( − )(2m− m)= ，
ΔCDF 2 m 2m 4 16
∵S =S +S −S =S ，
ΔAOC ΔAOM 梯形AMEC ΔCOE 梯形AMEC
1 4 2
∴S = ( + )(2m−m)=3，
ΔAOC 2 m m
3
∴S = S ，故③正确；
ΔCDF 16 ΔAOC
1 2 1 5 5
∵B( m， )，D(2m, )，F( m， )，
2 m 2m 4 4m
∴F是BD的中点，
∴CF=BF，
∴∠CBD=∠OCB，
∵BC∥x轴，
∴∠COE=∠BCO，
∴∠BFO=∠CBD+∠BCO=2∠COE，
若BD=AO，则OB=BF，
∴∠AOC=∠BFO，
∴∠AOC=2∠COE．故④正确；
故选：D．
k
11．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，点A在反比例函数y= (x>0)上，AB垂直x轴于B，C是x
x
AD 1
轴负半轴上一个动点，D是斜边AC上一点， = ，若△BCE的面积为9，则k= ．
AC 5【思路点拨】
此题重点考查反比例函数中比例系数的几何意义，解题的关键是正确地作出辅助线．
过点A作y轴的垂线，得到矩形，连接AE，则矩形的面积是△ABE面积的2倍，所以只要根据△BCE的面
积求出△ABE的面积即可．
【解题过程】
解：如图，连接AE，作AF⊥y轴于点F，
∵AB垂直x轴，∠BOF=90°，
∴四边形ABOF为矩形，
AD 1
∵ = ，
AC 5
AD 1
∴ = ，
CD 4
1
∴AD= CD，
4
1 1
∴S = S ，S = S ，
△ADE 4 △CDE △ADB 4 △CDB
1 1
∴S +S = S + S ，
△ADE △ADB 4 △CDE 4 △CDB
1 1 9
∴S = S = ×9= ，
△BAE 4 △BCE 4 4
9
∵S =2S = ，
矩形ABOF △BAE 2
9
∴k=xy= ．
2
9
故答案为： ．
2
12．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴
k
的正半轴上，反比例函数y= (k>0,x>0)的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，
x连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为 ．
【思路点拨】
本题主要考查了反比例函数的综合应用，设D点坐标根据中点坐标公式表示线段CF和AB的长是解决本题
k 2k
的关键．设D(m, )，根据已知条件表示出点E，点F坐标，易得CF= ，AB=2m，由△AEF的面积
m 3m
2k
⋅2m
为2，得△ACF的面积为4，所以 3m ，即可求出k的值．
S = =4
△ACF 2
【解题过程】
k
解：设D(m, )，
m
∵ABCD是矩形，且点E为AC的中点，
k
∴E点纵坐标为 ，
2m
代入反比例函数解析式得x=2m，
k
∴E(2m, )，
2m
∴B点横坐标为3m，
∴F点横坐标为3m，代入反比例函数解析式，
k
得y= ，
3m
k
∴F(3m, )，
3m
k k 2k
∴CF= − = ，
m 3m 3m
∵△AEF的面积为2，
∴△ACF的面积为4，∵AB=3m−m=2m，
2k
⋅2m
∴ 3m ，
S = =4
△ACF 2
解得k=6．
故答案为：6．
13．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x ,y )、B(x ,y )在双曲线
1 1 2 2
3 9
y= 上，且00)的图象经过点C，则k的值为 ．
x
【思路点拨】
过点C作CE⊥x轴于点E,作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE(AAS)
，从而得出S =S =S +S ，勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合
矩形OECF 四边形OBCA △AOB △ABC
反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值．
【解题过程】
解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E,作CF⊥y轴于点F，
∵ CE⊥x轴，CF⊥y轴，∠EOF=90°
∴四边形OECF是矩形，
∴∠ECF=90°
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF+∠FCB=∠FCB+∠BCE=90°,AC=BC,
∴∠ACF=∠BCE
在△ACF和△BCE中
{∠AFC=∠BEC=90°
)
∠ACF=∠BCE
AC=BC
∴△ACF≌△BCE(AAS),
∴S =S
△ACF △BCE∴S =S =S +S
矩形OECF 四边形OBCA △AOB △ABC
∵点A(0,3)，B(1,0)，
∴AB=❑√OA2+OB2=❑√10,
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC=❑√5,
1 1
∴S =S +S = ×1×3+ ×❑√5×❑√5=4,
矩形OECF △AOB △ABC 2 2
k
∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过点C，
x
∴k=4．
k
15．（2024·山东日照·模拟预测）如图，点A、B是反比例函数y= (k≠0)图象上的两点，延长线段AB
x
交y轴于点C，且点B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且
OE0
1 x 2 x
1
∴S = k，S =1
△OBD 2 △OAD
∵S =3
△AOB1
S =S −S = k−1=3
△AOB △OBD △OAD 2
解得，k=8
故k的值为8；
（2）如图，过点C作CE⊥BA，
2
∵点A的横坐标为4，点A是反比例函数y = 图象上一点，
1 x
( 1)
∴A 4, ，
2
∵BA平行于y轴，
8
∴点B的横坐标为4，y =
2 x
∴B(4,2)
1
∴y = x
OB 2
2
∵y =
1 x
2 1
∴ = x(x>0)
x 2
解得，x=2
2
∴正比例函数y 的图象与反比例函数y = 图象的交点C的坐标为(2,1)
OB 1 x
∴CE=2，
1 3
∴BA=2− =
2 2
1 3 3
∴S = × ×2=
△ABC 2 2 23 3
∴S =S −S =3− =
△AOC △AOB △ABC 2 2
3
故△AOC的面积为 ．
2
k
19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，A为反比例函数y= (k<0)的图像上一点，AP⊥y轴，垂
x
足为P．
（1）连接AO，当S =2时，求反比例函数的解析式；
△APO
（2）若点C(−2，n)在函数的图像上，点C先向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得点D，点D恰
好落在函数的图像上，求n的值．
（3）点B在直线AP上，且PB=4PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图像于点C，若△PAC
的面积为4，求k的值．
【思路点拨】
本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比
例函数k的几何意义，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据反比例函数k的几何意义求解作答即可；
（2）由题意知，平移后的点坐标为D(2，n−2)，由点C(−2，n)，点D在函数的图像上，可得
k=−2n=2(n−2)，计算求解即可；
( k)
（3）如图2， 设A a， ，则AP=−a，PB=−4a，分当B在A点左侧时，当B在A点右侧时两种情
a
况，根据△PAC的面积为4列等式，计算求解即可．
【解题过程】
（1）解：如图1，|k)
由题意知，S = =2，
△APO 2
解得，k=−4或k=4（舍去），
4
∴反比例函数的解析式为y=− ；
x
（2）解：由题意知，平移后的点坐标为D(2，n−2)，
∵点C(−2，n)在函数的图像上，点D恰好落在函数的图像上，
∴k=−2n=2(n−2)，
解得，n=1，
∴n的值为1．
（3）解：如图2，
( k)
设A a， ，则AP=−a，PB=−4a，
a
当B在A点左侧时，x =4a，则x =4a，
B C
1 1
k k
将x =4a代入y= 得，y = ，
C 1 x C 1 4a
1 [k k )
∴S = ×(−a)× − =4，
△PAC 2 a 4a32
解得，k=− ；
3
k
当B在A点右侧时，同理可得，x =−4a，x =−4a，y = ，
B 1 C 1 C 1 −4a
1 [k ( k ))
∴S = ×(−a)× − =4，
△PAC 2 a −4a
32
解得，k=− ；
5
32 32
综上所述，k的值为− 或− ．
3 5
k k
20．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，点A、B分别在反比例函数y = 1 (x>0)和y = 2 (x>0)的
1 x 2 x
图象上，线段AB与x轴相交于点P．
（1）如图①，若AB⊥x轴，且|AP|=2|PB|，k +k =1．求k 、k 的值；
1 2 1 2
（2）如图②，若点P是线段AB的中点，且△OAB的面积为2．求k −k 的值．
1 2
【思路点拨】
（1）连接OA、OB，根据反比例函数系数k的几何意义以及|AP|=2|PB|得到S =2S ，即
ΔAOP ΔBOP
k +2k =0①，由k +k =1②．①−②得，k =−1，进而求得k =2；
1 2 1 2 2 1
1 1
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则S = k ，S =− k ，根据题意得到
ΔAOM 2 1 ΔBON 2 21 1
S =S =1，S =S ，即可得到 k −1=1−(− k )，整理得k −k =4．
ΔAOP ΔBOP ΔAPM ΔBPN 2 1 2 2 1 2
【解题过程】
（1）解：如图①，连接OA、OB，
∵AB⊥x轴，
1 1
∴S = k ，S =− k ，
ΔAOP 2 1 ΔBOP 2 2
∵|AP|=2|PB|，
1 1
∴S =2S ，即 k =2×(− k )，
ΔAOP ΔBOP 2 1 2 2
∴k +2k =0①，
1 2
∵k +k =1②．
1 2
①−②得，k =−1，
2
∴k =2；
1
1 1
（2）如图②，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则S = k ，S =− k ，
ΔAOM 2 1 ΔBON 2 2∵点P是线段AB的中点，且ΔOAB的面积为2，
∴S =S =1，
ΔAOP ΔBOP
在ΔAPM和ΔBPN中，
{
∠APM=∠BPN
)
∠AMP=∠BNP=90° ，
AP=BP
∴ΔAPM≅ΔBPN(AAS)，
∴S =S ，
ΔAPM ΔBPN
1 1
∴ k −1=1−(− k )，
2 1 2 2
整理得k −k =4．
1 2
