专题27.1平行线分线段成比例、三角形相似的判定之六大考点(学生版)_初中数学_九年级数学下册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题 27.1 平行线分线段成比例、三角形相似的判定之六大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【考点一 由平行判断成比例的线段】............................................................................................................1 【考点二 由平行截线求相关线段的常或比值】............................................................................................3 【考点三 两角对应相等，两个三角形相似】................................................................................................6 【考点四 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】..............................................................................10 【考点五 三边对应成比例，两个三角形相似】..........................................................................................13 【考点六 补充条件使两个三角形相似】......................................................................................................16 【过关检测】...........................................................................................................................................18 【典型例题】 【考点一 由平行判断成比例的线段】 例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在 中， ， ，则下列比例 式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形 中，E是 上一点，连接 并延长交 的延长线于点F，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线 ，分别交直线m、n于点A、C、E、B、 D、F，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点二 由平行截线求相关线段的常或比值】 例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图， 、 相交于点 ，点 、 分别在 、 上， ，如果 ， ， ， ，那么 ． 【变式训练】 1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线 ，如果 ， ，那么线段 的长是 ．2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点 分别在 的边 上，且 ，过 点 作 ，分别交 、 的平分线于点 ．若 ， 平分线段 ，则 ． 【考点三 两角对应相等，两个三角形相似】 例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上， DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC． 【变式训练】 1．如图，在 中， ，E是边AC上一点，且 ，过点A作BE的垂线，交BE的 延长线于点D，求证： ．2．如图，在 ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于 点F，求证：△ AEF∽△ABC． △ 3．如图，在 中， ， 于点 ． （1）求证： ； （2）若点 是 边上一点，连接 交 于 ， 交 边于点 ，求证： ．【考点四 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】 例题：如图，AB•AF＝AE•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△AEF． 【变式训练】 1．如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝2，AC＝ ．求证：△ACD∽△ABC． 2．如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4． (1)求AC的长； (2)若 ，求证： ADE∽ ABC． △ △3．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC＝ °，BC＝ ； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论． 【考点五 三边对应成比例，两个三角形相似】 例题：如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断 △ABC和△DEF是否相似，并说明理由． 【变式训练】 1．根据下列条件，判断 与 是否相似，并说明理由： (1) ， ， ， ， ， ； (2) ， ， ， ， ， ． 2．如图，在 和 中， 、 分别是 、 上一点， ，当时，求证： ． 3．如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点 、 、 和 、 、 都在正方形的顶点上．求证： ． 【考点六 补充条件使两个三角形相似】 例题：如图，在 中， ，点 在 上（点 与 ， 不重合），若再增加一个条件就能使 ，则这个条件是________（写出一个条件即可）．【变式训练】 1．如图，在 中，点 在 边上，点 在 边上，请添加一个条件_________，使 ． 2．如图，已知 相交于点O，若补充一个条件后，便可得到 ，则要补充的条件可以 是________． 3．如图所示，在四边形 中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________． （只要求写出一个条件即可）【过关检测】 一、单选题 1．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在 中，点D在边 上， ，若 ，则 的值是( ) A． B． C． D． 2．（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，不能判定 的是（ ） A． B． C． D． 3．（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）如图， 是平行四边形 对角线 上的点，若 ， ，则 的长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，下列条件：① ；② ；③ ；④ ；其中单独能够判定 的条件有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，要使 和 相似，已具备条件 ，还 需补充的条件是 ，或 ，或 ． 6．（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O， .若 ， ， .则 的值为 ． 7．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在 中，D为 边的中点，点E在线段 上， 的延长线交 边于点F，若 ， ，则线段 的长为 ． 8．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，点 为 中点，点 在 上，当 为 时， 与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 三、解答题 9．（2023·上海·九年级假期作业）如图， ， ， ， ，求 、 的长． 10．（2023·浙江杭州·校联考三模）如图所示，延长平行四边形 一边 至点F，连接 交 于点 E，若 ．(1)求证： ； (2)若 ，求 的长． 11．（2023秋·安徽·九年级阶段练习）如图，在正方形 中，E是 的中点，点F在 上，且 ． (1)求证： ； (2) 与 相似吗？为什么？ 12．（2023秋·九年级课时练习）如图，在ABC中，AD平分BAC，点E在AC上，且EADADE． (1)求证：△DCE∽△BCA；BD (2)若 ， ，求 的值． AB6 AC8 CD 13．如图， 是 的中线， 是线段 上的一点，且 ，连接 并延长交 于点 ． (1)求 的值； (2)若 ，求 的长． 14．【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行践相交时，所截得的线段存在一定的比例关系： ．这就是 如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所傅的对应线段成比例，（简称“平行钱分线段成比例“ 【问题原型】如图①， 中，点 为边 上的点，过点 作 交为边 于点 ，点 在 边 上，直线 交 于点 ，交 于点 ．若 ， ， ，则 ． 【结论应用】（1）如图②， 中，点 在 的延长线上，直线 交 于点 交 于点 ．求证： ； （2）如图③， 中， ， ， ，若 、 分别是边 、 的中点，连接 ，点 是边 上任意一点，连接 、 分别交 于点 、 ，则 周长的最小值是 ．