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专题 27.1 比例线段（四大题型总结）
【题型一：比例的性质】
a c
1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段a、b、c、d、m，如果 = ，m≠0，那么下列各式中成
b d
立的是（ ）
❑√a ❑√c a−m c−m a+m c a2 c2
A． = B． = C． = D． =
❑√b ❑√d b d b+m d b d
【解题过程】
a c
解：A.∵ =
b d
∴b≠0,d≠0，
∵a,b,c,d是线段，
∴a>0,b>0,c>0,d>0，
a c
∴ >0, >0，
b d
√a ❑√a √c ❑√c
∴❑ = =❑ = ,故A选项正确；
b ❑√b d ❑√d
a c a−m 2c−m c m c−m c m
B.若a=2c,b=2d,满足 = .此时 = = − = −
b d b 2d d 2d d d d
∵m≠0，
m m
∴ ≠ ，
2d d
a−m c−m
∴ ≠ ，故B选项错误；
b d
a+m c
C.已知线段m，且 m≠0,所以 m>0;当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 > ,故C选项
b+m d
错误；
a c
D.若a=2c≠0,b=2d,满足 = .
b d
a2 (2c) 2 4c2 2c2 c2
此时 = = = ≠ ，故D选项错误.
b 2d 2d d d
故选: A.2a 2b 2c
2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知 = = =k，则k=（ ）
b+c a+c a+b
A．1 B．±1 C．1或−2 D．2
【思路点拨】
本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0时，根据等
2c
比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=−c，代入k= 计算得出结果．
a+b
【解题过程】
解：分两种情况：
2a+2b+2c
①当a+b+c≠0时，得k= =1；
b+c+a+c+a+b
②当a+b+c=0时，
2c
则a+b=−c，k= =−2；
a+b
综上所述，k的值为1或−2．
故选：C．
a c e
3．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知 = = =5，且b+d+f ≠0，若a+c+e=30，则
b d f
b+d+f = ．
【思路点拨】
a c e
本题考查了比例的性质，代数式求值，由 = = =5可得a=5b，c=5d，e=5f，再根据a+c+e=30可
b d f
得5(b+d+f)=30，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．
【解题过程】
a c e
解：∵ = = =5，
b d f
∴a=5b，c=5d，e=5f，
∵a+c+e=30，
∴5b+5d+5f =30，
∴5(b+d+f)=30，
∴b+d+f =6，
故答案为：6．1 2 3
4．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a、b、c满足 = = ，则a−2b+c的值为 ．
a+1 b+2 c−3
【思路点拨】
本题考查了比例的性质，由已知代数式可以用设比值为一个参数的方法求解．
1 2 3 1
设 = = = ，可得a=k−1，b=2k−2，c=3k+3，代入a−2b+c求解即可．
a+1 b+2 c−3 k
【解题过程】
1 2 3 1 a+1 b+2 c−3
解：设 = = = ，则 = = =k，
a+1 b+2 c−3 k 1 2 3
{
a+1=k
)
∴ b+2=2k ,
c−3=3k
{
a=k−1
)
∴ b=2k−2,
c=3k+3
∴a−2b+c=(k−1)−2(2k−2)+(3k+3)=6．
故答案为：6
5．（24-25九年级上·全国·单元测试）根据下列条件求x:y:z的值．
（1）x:y=3:7，y:z=4:7；
1 1
（2）x:y= : ，x:z=0.3:0.2．
3 2
【思路点拨】
此题考查了比例的性质．要把含有同一个字母所占的份数变成相同的，即可表示出来．用同一个字母表
示，然后再进一步求得三个字母的比值．
【解题过程】
（1）解：因为x:y=3:7，y:z=4:7，
3 7
x= y，z= y；
7 4
所以x:y:z
(3 ) (7 )
= y :y: y
7 4
=12y:(28 y):(49 y)
=12:28:49；1 1
（2）解：∵x:y= : ，x:z=0.3:0.2，
3 2
3 2
∴y= x，z= x，
2 3
x:y:z
(3 ) (2 )
=x: x : x
2 3
3 2
=1: :
2 3
=6:9:4．
【题型二：比例线段】
6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（
）
A．a=1，b=1，c=1，d=5 B．a=1，b=❑√2，c=2❑√2，d=8
C．a=2，b=❑√5，c=2❑√3，d=❑√15 D．a=❑√2，b=3，c=2，d=8
【思路点拨】
根据成比例线段的定义进行计算，逐一判断即可解答．
【解题过程】
a 1 c 1
解：∵ = =1， = ，
b 1 d 5
a c
∴ ≠ ，故A不符合题意；
b d
a 1 ❑√2 c 2❑√2 ❑√2
∵ = = ， = = ，
b ❑√2 2 d 8 4
a c
∴ ≠ ，故B不符合题意；
b d
a 2 2❑√5 c 2❑√3 2❑√5
∵ = = ， = = ，
b ❑√5 5 d ❑√15 5
a c
∴ = ，故C符合题意；
b d
a ❑√2 c 2 1
∵ = ， = = ，
b 3 d 8 4
a c
∴ ≠ ，故D不符合题意；
b d
故选：C．7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，则
a= cm．
【思路点拨】
本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义．由四条线段a、b、c、d成比例，根据
比例线段的定义，即可求得a的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两
条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
【解题过程】
解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
a c a c a b
∴ = 或 = 或 = ，
b d d b d c
∴ad=bc或ab=cd或ac=bd，
∵b=3cm，c=2cm，d=6cm，
∴3×2=6a或3a=2×6或2a=3×6，
解得：a=1cm或a=4cm或a=9cm；
故答案为：1或4或9．
8．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．
（1）求线段a与线段b的比和线段b与线段c的比；
（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
（3）在比例式a:b=b:c或b2=ac中，我们把b称为a、c的比例中项，那么本题中b是a和c的比例中项
吗？为什么？
【思路点拨】
本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键．
（1）根据a=0.3m=30cm；b=60cm，c=12dm=120cm，即可求得a:b的值，b:c的值；
a c
（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得 = ，再根据c=12dm=120cm，即可得出线段d的长；
b d
（3）根据b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项．
【解题过程】
（1）解：∵a=0.3m=30cm，b=60cm，
∴a:b=30:60=1:2；
∵b=60cm，c=12dm=120cm，
∴b:c=60:120=1:2；
（2）解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴a:b=c:d，
∴1:2=120:d，
∴d=240cm；
（3）解：∵b2=602=3600，ac=30×120=3600，
∴b2=ac，
∴b是a和c的比例中项．
9．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=2m，按照图中所示
的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即
AE AD
= ，那么a的值应当是多少？
AD AB
【思路点拨】
1 1
根据题意，得到AE= AB= am，代入比例式计算即可．
3 3
【解题过程】
1 1
解：根据题意可知，AB=am，宽AD=2m，AE= AB= am，
3 3
AE AD
由 = ，
AD AB
1
a
得3 2
=
2 a
1
即 a2=4
3
∴a2=12
开平方，得a=2❑√3， a=−2❑√3（舍去）．
10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知点D，E分别在边AB，AC上，BE，CD交于点O
AD DE DO
， = = ，AB=7，DB=4，BC=9，CD=10．
AB BC CO（1）求DE，CO的长；
（2）若△ABC的面积为70，求△BOC的面积．
【思路点拨】
DE AD 3 27 DO AD 3
（1）先求得AD=AB−DB=3，再根据 = = 求得DE= ；由 = = 求得
BC AB 7 7 CO AB 7
7
CO= CD=7；
3+7
（2）先由“高相等的两个三角形的面积的比等于底的比”求得S DB 4，则 4
ΔDBC = = S = ×70=40
S AB 7 ΔDBC 7
ΔABC
，再由S CO 7 ，求得 的面积．
ΔBOC = = △BOC
S CD 10
ΔDBC
【解题过程】
（1）∵AB=7，DB=4，BC=9，CD=10，
∴AD=AB−DB=7−4=3，
DE AD 3
∵ = = ，
BC AB 7
3 3 27
∴DE= BC= ×9= ；
7 7 7
DO AD 3
∵ = = ，
CO AB 7
7 7
∴CO= CD= ×10=7，
3+7 10
27
∴ DE= ，CO=7；
7
（2）设点C到AB的距离为
ℎ
，点B到CD的距离为m，1
S 2
DB⋅ℎ
DB 4
∵ ΔDBC = = = ，
S 1 AB 7
ΔABC AB⋅ℎ
2
4 4
∴S = S = ×70=40，
ΔDBC 7 ΔABC 7
1
CO⋅m
S 2 CO 7
∵ ΔBOC = = = ，
S 1 CD 10
ΔDBC CD⋅m
2
7 7
∴S = ×S = ×40=28，
ΔBOC 10 ΔDBC 10
∴ΔBOC的面积是28．
【题型三：黄金分割】
11．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2，则AC=
（ ）
❑√5−1
A．❑√5−1 B．3−❑√5 C． D．❑√5−1或3−❑√5
2
【思路点拨】
本题主要考查了黄金分割点的定义等知识点，根据黄金分割点的定义，AC可能是较长线段，也可能是较
❑√5−1 ❑√5−1
短线段；则AC= AB或AC=2− AB，代入数据计算即可，理解黄金分割点的概念是解题的
2 2
关键，特别注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段．
【解题过程】
解：根据题意得：
AC ❑√5−1
当AC是较长线段时， = ，
AB 2
∵AB=2，
❑√5−1
∴AC= ×2=❑√5−1，
2
AC AB−BC ❑√5−1 3−❑√5
当AC是较短线段时， = =1− = ，
AB AB 2 2
∵AB=2，
3−❑√5
∴AC= ×2=3−❑√5，
2故选：D．
12．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点C在线段AB上，且满足AC2=BC⋅AB，那么下列式子成
立的是（ ）
AC ❑√5−1 AC ❑√5−1 BC ❑√5−1 BC 3−❑√5
A． = B． = C． = D． =
BC 2 AB 2 AB 2 AC 2
【思路点拨】
本题考查黄金分割、解一元二次方程，把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据
结果判断即可．
【解题过程】
解：令AC=x，AB=a(a>0)，则BC=a−x，
AC2=BC⋅AB可变形为x2=(a−x)⋅a，
整理，得x2+ax−a2=0，
，
Δ=a2−4×1×(−a2)=5a2>0
−a±❑√5a2 −a±❑√5a
解得x= = ，
2 2
∵边长为正数，
−a+❑√5a (❑√5−1)a (❑√5−1)a (3−❑√5)a
∴ x= = ，a−x=a− = ，
2 2 2 2
❑√5−1 3−❑√5
即AC= ⋅AB，BC= ⋅AB，
2 2
❑√5−1
⋅AB
AC 2 ❑√5−1 1+❑√5
∴ = = = ，故A选项错误；
BC 3−❑√5 3−❑√5 2
⋅AB
2
❑√5−1
⋅AB
AC 2 ❑√5−1，故B选项正确；
= =
AB AB 2
3−❑√5
⋅AB
BC 2 3−❑√5，故C选项错误；
= =
AB AB 2
3−❑√5
⋅AB
BC 2 3−❑√5 ❑√5−1
= = = ，故D选项错误；
AC ❑√5−1 ❑√5−1 2
⋅AB
2
故选B．13．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的
方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得
EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若AD=20，记正方形AFGH
的面积为S ，矩形BCIH的面积为S ，则S 与S 的和为 ．
1 2 1 2
【思路点拨】
根据H是 的黄金分割点求出 ，求出 ， ，得到
AB AH2=BH⋅AB S =AH2 S =BH⋅BC=BH⋅AB S =S
1 2 1 2
，再求出小正方形的边长，求出正方形的面积，再得出答案即可．
【解题过程】
解：∵H是AB的黄金分割点，
∴AH2=BH⋅AB，
∵ ， ，
S =AH2 S =BH⋅BC=BH⋅AB
1 2
∴S =S ，
1 2
∵AD=20，点E是线段AD的中点
1
∴AE= AD=10
2
∴
BE=❑√AB2+AE2=❑√202+102=10❑√5
∴EF=BE=10❑√5
∴AF=EF−AE=10❑√5−10
∴
S =S =AF2=600−200❑√5
1 2
∴S 与S 的和为1200−400❑√5
1 2
故填1200−400❑√5．
14．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末
比”问题：点G将线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GNMG GN ❑√5−1 ❑√5−1
的比例中项，即满足 = = ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段
MN MG 2 2
MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金
分割”点，则△ADE的面积为 ．
【思路点拨】
本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定
义是解题关键．
1
过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质得到BH=CH= BC=2，根据勾股定理求出AH，根
2
据线段“黄金分割”点的定义得到CD，BE的长，求出DE的长，最后由三角形面积公式解答即可．
【解题过程】
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=3，BC=4，
1
∴BH=CH= BC=2，
2
在 中， ，
Rt△ABH AH=❑√AB2−BH2=❑√32−22=❑√5
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
❑√5−1 ❑√5−1
∴CD=BE= BC= ×4=2❑√5−2，
2 2
∴DE=BE+CD−BC=2❑√5−2+2❑√5−2−4=4❑√5−8，
1 1
∴S = DE⋅AH= ×(4❑√5−8)×❑√5=10−4❑√5．
△ADE 2 2
故答案为：10−4❑√5．❑√5−1
15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）背景知识：宽与长的比等于 （约为0.618）的矩形称为黄金
2
矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了
黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．
（1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数）
实验操作：折一个黄金矩形
第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形MNCB，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图3所示的AD处；
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DF，矩形BCDF就是黄金矩形（如图4）．
问题思考：
（2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由；
（3）以图3中的折痕AQ为边，构造黄金矩形，若MN=2，则这个矩形的面积是______（直接写出结
果）．
【思路点拨】
本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键：
（1）直接根据黄金矩形的定义，列式计算即可；
MN
（2）设MN=2a，根据题意，易得：ME=BE=a，根据黄金分割求出BF，进而求出MF，求出 的
MF
值，即可得出结论；
（3）分AQ为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可．
【解题过程】解：（1）由题意，得：帕特农神庙的高度与面宽的比约为0.618，
∴帕特农神庙的高度≈31×0.618≈19；
故答案为：19；
（2）存在，理由如下：
设MN=2a，则：BC=MB=MN=2a，
由折叠可知
ME=BE=a，
∵矩形BCDF就是黄金矩形，
BF ❑√5−1
∴ = ，
BC 2
∴ ，
BF=(❑√5−1)a
∴ ，
MF=MB+BF=(❑√5+1)a
∴MN 2a ❑√5−1，
= =
MF (❑√5+1)a 2
∴矩形MNDF为黄金矩形；
（3）∵MN=2，则：MB=MN=AE=2，
1
∴BE= MB=1，
2
∴ ，
AB=❑√AE2+BE2=❑√5
∵折叠，
∴∠BAQ=∠QAD，
∵矩形纸片，
∴MQ∥DN，
∴∠BQA=∠QAD=∠BAQ，
∴BQ=AB=❑√5，
∴EQ=BE+BQ=❑√5+1，
∴ ，
AQ=❑√EQ2+AE2=❑√10+2❑√5
❑√5−1
当AQ为黄金矩形的长时，则宽为 AQ，
2❑√5−1 ❑√5−1
则矩形的面积为： AQ2= ×(10+2❑√5)=4❑√5；
2 2
2 ❑√5+1
当AQ为黄金矩形的宽时，则长为 AQ= AQ，
❑√5−1 2
❑√5+1 ❑√5+1
则矩形的面积为： AQ2= ×(10+2❑√5)=6❑√5+10；
2 2
综上：矩形的面积为10+6❑√5或4❑√5．
【题型四：平行线分线段成比例】
16．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确
的是（ ）
BD DF DE AE BF CE AD AB
A． = B． = C． = D． =
AD FC FB AC FC AE FC AC
【思路点拨】
根据平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质逐项验证即可得到答案．
【解题过程】
解：A、∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DF=EC，
∵ DE∥BC，
BD EC DF
∴ = = ，
AD AE AE
∵AE与FC的关系不确定，
BD DF
∴ = 不正确，不符合题意；
AD FC
B、∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，∵ DF∥AC，
AD FC DE
∴ = = ，
BD BF FB
∵ DE∥BC，
AD AE AE
∴ = ≠
BD EC AC
DE AE
∴ = 不正确，不符合题意；
FB AC
C、∵ DF∥AC，
BF BD
∴ = ，
FC AD
∵ DE∥BC，
BD CE
∴ = ，
AD AE
BF BD CE
∴ = = ，
FC AD AE
BF CE
∴ = 正确，符合题意；
FC AE
D、∵ DE∥BC
AD AE
∴ = ，
AB AC
AD AB AD FC
∵由 = 可得 = ，
FC AC AB AC
∵AE与FC的关系不确定，
AD AB
∴ = 不正确，不符合题意；
FC AC
故选：C．
17．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC
中点，试判断BA、NM、CD延长线是否交于一点，并证明．
【思路点拨】此题考查了平行线分线段成比例定理的应用，延长BA、CD交于点P，连接PN，PN交AD于点M′，由
AM′ PM′ DM′ PM′ AM′ DM′
AD∥BC得到 = ， = ，则 = ，由N为BC中点得到BN=CN，则
BN PN CN PN BN CN
AM′=DM′，即M′为AD中点，由已知M为AD中点，即可得到结论．
【解题过程】
解：三线延长线交于一点，
证明如下：延长BA、CD交于点P，连接PN，PN交AD于点M′，
∵AD∥BC，
AM′ PM′ DM′ PM′
∴ = ， = ，
BN PN CN PN
AM′ DM′
∴ = ；
BN CN
∵N为BC中点，
∴BN=CN，
∴AM′=DM′，即M′为AD中点，
又∵M为AD中点，
∴M与M′重合，即P、M、N三点共线，
∴BA、CD、NM延长线交于一点P．
18．（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点D是ΔABC边BC上一点，且BD:DC=2:3，过点C
AE 5AF
任作一条直线与AB、AD分别交于点F和E，求证： = ．
ED 3BF【思路点拨】
过点D作DG∥AB，DH∥FC构造平行四边形DGFH，得到DG=HF，再根据平行线分线段成比例定
DG DC AE AF
理，得到 = 和 = ，结合DG=HF即可得证．
BF BC ED DG
【解题过程】
证明：过D点分别作DG∥AB，DH∥FC，
得到四边形DGFH是平行四边形，
∴DG=HF，
∵DG∥BF，
DG DC
∴ = ，
BF BC
BD 2
∵ = ，
CD 3
CD 3
∴ = ，
BC 5
DG 3
∴ = ，
BF 5
设DG=3a，则FH=DG=3a，BF=5a，
∴BH=2a，3
∴FH= BF，
5
∵DG∥AF，
AE AF
∴ = ，
ED DG
∵DG=FH，
AE AF
∴ = ，
ED FH
3
∵FH= BF，
5
AE AF 5AF
= =
∴ ED 3 3BF，
BF
5
AE 5AF
即 = ．
ED 3BF
19．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，将正方形ABCD沿着BE，BF将BC，AB翻折，使A，
1 FQ
C两点恰好落在点P，过点P作MN∥BC，交BF于点Q．若QP= BC，则 = ．
2 QB
【思路点拨】
1
设正方形ABCD的边长为2，则BC=CD=AD=AB=2，QP= BC=1，由折叠的性质可得PE=CE，
2
AF=PF，∠AFB=∠PFB，结合MN∥AD证明△PFQ为等腰三角形，进而可得AF=PF=PQ=1；
设CE=a，则PE=CE=a，DE=2−a，EF=a+1，在Rt△≝¿中，由勾股定理可得DE2+DF2=EF2，
2 2 4 5 NE PE
代入数值解得a= ，则有PE= ，DE= ，EF= ；由平行线分线段成比例定理可得 = ，代入
3 3 3 3 DE FE
8 FQ AM
数值可解得NE= ，进而确定BM，AM的值，结合MN∥AD，由 = 即可获得答案．
15 BQ BM【解题过程】
解：设正方形ABCD的边长为2，则BC=CD=AD=AB=2，
1
∴QP= BC=1，
2
由折叠的性质可得PE=CE，AF=PF，∠AFB=∠PFB，
∵MN∥BC，AD∥BC，
∴MN∥AD，
∴∠AFB=∠PQF，
∴∠PFB=∠PQF，
∴AF=PF=PQ=1，
∴DF=AD−AF=1，
设CE=a，则PE=CE=a，DE=2−a，EF=a+1，
在Rt△≝¿中，由勾股定理可得DE2+DF2=EF2，
，
12+(2−a) 2=(a+1) 2
2
解得a= ，
3
2 4 5
∴PE= ，DE= ，EF= ，
3 3 3
∵MN∥AD，
2
NE PE NE 3
∴ = ，即 = ，
DE FE 4 5
3 3
8
解得NE= ，
15
2 8 6
∴BM=CN=CE+NE= + = ，
3 15 5
4
∴AM=AB−BM= ，
5
∵MN∥AD，
4
FQ AM 5 2
∴ = = = ．
BQ BM 6 3
52
故答案为： ．
3
20．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形
ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正
方形与小正方形的面积之比为5，GH=2❑√5，则大正方形的边长为 ．
【思路点拨】
设小正方形在线段DE上的一个顶点为M，CD与GH相交于点P，由大正方形与小正方形的面积之比为
5，可推出AD=❑√5EM，设EM=a，AE=b，则AD=❑√5a，利用勾股定理和多项式的因式分解推出
FN PN FP 1
a=b；延长BF交CD于点N，利用平行线分线段成比例定理可证N是CD的中点以及 = = =
BF BG GF 4
，设PN=x，则BG=4x，证△BFG≌△DEP得PD=BG=4x，同理得EG=FP，由此可推出PC=2x
CP PH
；由CP∥BG，得 = ，可求得PH与PG的长，最后由EF=PG−2EG=❑√2a求出a的值即可．
BG GH
【解题过程】
解：设小正方形在线段DE上的一个顶点为M，CD与GH相交于点P，
∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
AD
∴ =❑√5，
EM
∴AD=❑√5EM，
设EM=a，AE=b，则AD=❑√5a，
由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，
∴ ，
b2+(a+b) 2=(❑√5a) 2
∴2b2+2ab−4a2=0，
∴b2+ab−2a2=0，
∴(b−a)(b+2a)=0，∵b+2a≠0，
∴b−a=0，
∴b=a，
∴AE=EM=DM=CF=a，
延长BF交CD于点N，
∵BN∥DE，CF=FM，
∴DN=CN，
1 1
∴FN= DM= a，
2 2
∵PN∥BG，
1
a
∴FN PN FP 2 1，
= = = =
BF BG GF 2a 4
设PN=x，则BG=4x，
∵BN∥DE，AB∥CD，
∴∠BFG=∠≝¿，∠BGF=∠DPE，
∵DE=BF，
∴△BFG≌△DEP(AAS)，
∴PD=BG=4x，
同理可得：EG=FP，
∴DN=3x=CN，
∴PC=2x，
∵CP∥BG，
CP PH 2x PH
∴ = ，即 = ，
BG GH 4x 2❑√5
∴PH=PG=❑√5，
FP 1
∵ = ，即FG=4FP，
FG 4❑√5
∴EG=FP= ，
5
2❑√5 3❑√5
∴EF=PG−2EG=❑√5− = =❑√2a，
5 5
3❑√10
∴a= ，
10
3❑√2
∴AD=❑√5a= ，
2
3❑√2
故答案为： ．
2
