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专题 27.1 由平行截线求相关线段的长或比值
【典例1】矩形ABCD中，AF、CE分别平分∠BAD，∠BCD，并交线段BC，AD于点F，E．当动点P从
点A匀速运动到点F时，动点Q恰好从点C匀速运动到点B．记AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y
5❑√2
＝﹣ x＋10．
4
（1）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．
（2）求AF，CF的长度．
（3）①当PQ平行于△ECD的一边时，求所有满足条件的x的值．
②连接DB，对角线DB交PQ于点O，若点O恰好为PQ的三等分点，请直接写出x的值．
【思路点拨】
（1）直接利用角平分线的性质再结合矩形的性质进而可得出AF//CE；
5❑√2
（2）由AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣ x＋10.可得BC＝10，AF＝4❑√2，根据角平分线
4
❑√2
的性质再结合矩形的性质求出∠BAF＝45°，可得出BF＝ AF＝4，即可得CF＝6；
2
（3）①分三种情况：PQ//EC；PQ//CD；PQ//ED，根据点P、点Q的位置结合y与x的关系式即可求
解；
②过点P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，OT⊥BC于T，OG⊥AB于G，OG与PM交于点H，分两种情况根
据平行线分线段成比例定理求解即可．
【解题过程】
解：（1）AF//CE，
理由：∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，1 1
∴∠FAE＝ ∠BAE，∠FCE＝ ∠FCD，
2 2
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝∠FCD＝90°，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED，
∴∠FAE＝∠CED，
∴AF//EC；
5❑√2
（2）∵AP＝x，BQ＝y，且y与x满足关系式：y＝﹣ x＋10．
4
当x＝0时，y＝10，即BC＝10，
当y＝0时，x＝4❑√2，此时AP＝4❑√2＝AF，
∵四边形ABCD是矩形，AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝45°，
❑√2
∴BF＝AF•sin45°＝ AF＝4，
2
∴CF＝BC﹣BF＝6；
（3）①分三种情况：
PQ//EC时，
由（1）可知AF//EC，
∵点P在线段AF上，点Q在线段BC上，
∴此时点Q与点F重合，y＝BQ＝BF＝4，
5❑√2 12❑√2
∴4＝﹣ x＋10．解得：x＝ ；
4 5
PQ//CD时，如图：
∵四边形ABCD是矩形，AF平分∠BAD，∠B＝90°，
∴∠AFB＝45°，AB//PQ//CD，PF AP
∴ ＝ ＝❑√2，
QF BQ
x
x =❑√2
∴ ＝❑√2，即 5❑√2 ，
y − x+10
4
20❑√2
解得：x＝ ；
7
PQ//ED时，
∵点P在线段AF上，点Q在线段BC上，
∴此时点P与点F重合，x＝AF＝4❑√2，
12❑√2 20❑√2
综上，所有满足条件的x的值为 ， ，4❑√2；
5 7
②过点P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，OT⊥BC于T，OG⊥AB于G，OG与PM交于点H，
∵△ANP是等腰直角三角形，
❑√2 ❑√2
∴AN＝PN＝GH＝BM＝ x，MQ＝y﹣ x，
2 2
∵点O恰好为PQ的三等分点，
∴分两种情况：
1
情况一：PO＝ PQ时，
3
∵OG//BC，OT//PM，
HO PO 1 OT OQ 2
∴ = = ， = = ，
MQ PQ 3 PM QP 3
1 y ❑√2 2 2 8 ❑√2
∴HO＝ MQ＝ − x，OT＝ PM＝ BN＝ − x，
3 3 6 3 3 3 3
y ❑√2 ❑√2 y ❑√2 ❑√2 10
∴OG＝HO＋HG＝ − x＋ x＝ + x=﹣ x+ ，
3 6 2 3 3 12 3
∵点O在BD上，OT AB 10 5
∴ = = = ，
OG BC 4 2
8 ❑√2
− x
3 3 5
∴ =
❑√2 10 2
− x+
12 3
68
解得x=- ❑√2（舍去）
3
1
情况二：QO＝ PQ时，
3
2 2y−❑√2x 1 1 4 ❑√2
∴HO＝ MQ＝ ，OT＝ PM＝ BN＝ − x，
3 3 3 3 3 6
2y−❑√2x ❑√2 2❑√2 20
∴OG＝HO＋HG＝ ＋ x＝﹣ x＋ ，
3 2 3 3
∵点O在BD上，
OT AB 10 5
∴ = = = ，
OG BC 4 2
4 ❑√2
− x
3 6 5
∴ =
2❑√2 20 2
− x+
3 3
46❑√2
解得x＝ ，
9
46❑√2
∴x的值为 ．
9
1．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在CB，AC的延长线上，且
BD=CE，EB的延长线交AD于点F．
（1）求∠AFE的度数；（2）延长EF至点G，使FG=AF，连接CG交AD于点H，依题意补全图形，猜想线段CH与GH的数量
关系，并证明．
2．（2023·安徽淮北·校考模拟预测）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，点F在DE上，
连接BF，CD，CF，已知EC=ED，FB=FC，∠CED=∠CFB．
（1）求证：∠ECF=∠BFD；
（2）连接AF，若AB=CD，AF=DF，求证：AF=AE；
AD
（3）在（2）的条件下，若DF=kEF，求 的值（用含k的代数式来表示）．
AB
3．（2023·北京·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D
为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE=AD．
（2）当AC=BC，且D为中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由．
（3）求AD∶DB=3∶2，CE=CA=3时，求EF的长．
4．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，点F在DE上，
连接BF，CD，CF，已知EC=ED，FB=FC，∠CED=∠CFB．
（1）求证：∠ECF=∠BFD；
（2）连接AF，若AB=CD，AF=DF，求证：AF=AE；
AD
（3）在（2）的条件下，若DF=kEF，求 的值（用含k的代数式来表示）．
AB
5．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=BC，
先将边BC沿过点B的直线l对折得到BD，连接CD，然后以CD为边在左侧作△CDE，其中∠CDE=90°
，CD=DE，BD与CE交于点F，连接BE，AD．（1）求证：△ACD≌△BDE；
（2）如图2，当点D在△ABC的斜边AB上时，请直接写出用BC,BE表示AB的关系式；
（3）如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为BD的中点，且△ACD的面积为10，求△CDF的面
积．
6．（2022春·北京·九年级校联考期中）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点(不与点B，C重合)
，连接DE，点C关于直线DE的对称点为C'，连接AC'并延长交直线DE于点P，过点D作DF⊥AP于F
．
（1）①依题意补全图形；②求∠FDP的度数．
（2）连接BP，请用等式表示线段BP与线段AF之间的数量关系，并证明．
7．（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第三十三中学校考期中）已知正方形ABCD，在边DC所在的直线上
有一动点E，连接AE，一条与射线AE垂直的直线l沿射线AE方向，从点A开始向上平移，垂足为点P，
交边AD所在直线于点F．（1）如图1所示，当直线l经过正方形ABCD的顶点B时．求证：AF=DE；
（2）如图2所示，当直线l经过AE的中点时，与对角线BD交于点G，连接EG，CG．求证：¿=GC；
（3）直线l继续向上平移，当点P恰好落在对角线BD所在的直线上时，交边CB所在的直线于点H，当
AB=3，DE=1，请直接写出BH的长．
8．（2023春·安徽·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、AD、BC边上的一
点，FG垂直平分DE，垂足为H．
（1）如图1，求证：DE=FG；
（2）如图2，连接AC，交FG于点M，连接DM，EM．
①求证：△DME是等腰直角三角形；
CM
②当FM=DM时，求 值．
AM9．（2023·浙江绍兴·统考三模）小明在学习角平分线知识的过程中，做了进一步探究：如图1，在△ ABC
AB BD
中，∠BAC的平分线交BC于点D，发现 = ．小明想通过证明来验证这个结论．
AC CD
证明：延长BA至E，使得AC=AE，……请你完成上述证明过程：
结论应用：
已知在△ ABC中，∠C=30°，∠B=α，BC边上有一动点D，连接AD，点B关于AD的对称点为点B′，
连接AB′交BC于点E．
BD
（1）如图2，当α=30°，AB′⊥BC，求 的值．
DE
BD
（2）如图3，当α=45°，AB′与△ ABC的边垂直时，求 的值．
DE10．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于
点D，点E在AC边上，∠ADE＝45°．过E作ED的垂线交BC延长线于点F，交AD于点G，交AB于点
H．
（1）求证∠FDE＝∠AEH；
（2）求证EF＝GH；
DF
（3）若EG＝kGH，求 的值（用含k的式子表示）．
DB11．（2023·内蒙古·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2❑√2，D是BC边上一点，连接
AD，CD=1，AD=BD，点E，F分别在AD、BD上，EF∥AB，连接CE．
（1）求AB的长；
（2）如图1，若5DE-5AE=3，过点F作FG∥DA，交AB于点G，求S
四边形
AEFG：S
△
DEF的值；
4❑√6
（3）如图2，若EF= 时，过点F作FH⊥CE，垂足为H，求HF的长．
312．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝
AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF．
（1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明；
（2）求证：∠BDF＝∠EFC；
DG
（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求 的值（用含k的代数式表
DF
示）．13．（2023秋·北京海淀·九年级校考开学考试）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，
∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点
（1）如图1，点A、B、D在同一条直线上，直接写出DP与BC的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C、D、P恰好在同一条直
线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；
②连接BD，交AE于点F，判断线段BF与DF的数量关系14．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，在△ABC中，角平分线AD,BE
相交于点M．
（1）如图1，若∠C=60°，
①求∠AMB的度数；
②试探究线段AB与AE、BD之间的关系．请写出你的结论，并证明．
4
（2）如图2，若∠C=90°,AM=3MD，证明：AB= AE+BD．
315．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市南渝中学校校考阶段练习）在△ABC中，AB=AC，D是边AC
上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且AE⊥CF．
（1）如图1，若∠BAC=90°，AF=1，AC=❑√3，求AE的长度；
（2）如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分∠AFC，G为CF上一点，且∠GDC=∠GCD，求
证：DG+AF=FC；
（3）如图3，若∠BAC=120°，BC=12，将△ABD沿着AB翻折得△ABD′，点E为BD′的中点，连接
EA，ED，当EA取得最小值时，求△AED的面积．16．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=a(a>4)，点E在边BC
上，在AB同侧以AE为边作正方形AEFG，直线FG交直线AD于点H．
（1）如图①，若点F是CD的中点，求a的值；
（2）如图②，若点F在矩形ABCD内，且GH:FH=3:1，求BE的长；
（3）连接DF，若a=8,DF=2，直接写出GH:FH的值．17．（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）问题背景：如图，已知四边形ABCD是正方形，点P是射线
DC上一点，连接AP，在AP右侧以AP为边作正方形AEFP，连接BE，探究PC，CB，BE之间的数量
关系．
（1）问题发现：如图1，当点P在线段DC上时，PC，CB，BE之间的数量关系是______；
（2）问题探究：如图2，当点P在DC的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请你写出正确结论，再给予证明；
（3）问题拓展：如图3，当点P在DC的延长线上时，设AP与BC交于点Q，若AD=2，BQ=QC，求
BF的长．18．（2023春·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，OA⊥OB
，且OA=OB，点A坐标为(a,b)．
（1）若a、b满足❑√a−1+❑√b−3=0，请直接写出a、b的值及点B坐标；
（2）如图2，点E为线段OB上一点，C在EO延长线上且OC=OE，线段AB交x轴于点D，连CD，若
CD⊥AE．
①求证：CD=AE；
AD
②若OB=3OE，则 ＝ ．
DB
（3）如图3，线段AB交x轴于点D，将△AOD沿AB翻折得△APD，过点D作DE⊥OD交AP于点E，
以DA、DE为边作如图所示的 ▱ADEF，试探究线段OD、EF、PE之间的数量关系，并证明你的结
论．
