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专题 27.4 相似三角形中的动点问题
◆ 典例分析
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2
个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度向
点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）AB=__________；
（2）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；
（3）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理直接求解；
（2）根据题意列出代数式，分当∠PQA=90°和∠QPA=90°时两种情况，根据相似三角形的性质列出
比例式，解方程即可求解；
（3）根据题意分当OQ⊥AB，OQ⊥AC，OQ⊥BC时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例
式，解方程即可求解．
【解题过程】
（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2,
∴ ，
AB=❑√62+82=10
故答案为：10．
（2）解：由题意，得AP=10−2t，AQ=2t，
①当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
AP AQ
∴ = ，
AB AC
10−2t 2t
∴ = ，
10 820
解得t= ，
9
②当∠QPA=90°时，△AQP∽△ABC，
AP AQ
∴ = ，
AC AB
10−2t 2t
∴ = ，
8 10
25
解得t= ，
9
20 25
综上所述，当t= 或 时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
9 9
（3）解：当OQ⊥AB时，如图所示，
∵点O是PA的中点，
1 1
∴OA= AP= (10−2t)=5−t，
2 2
∵∠A=∠A，∠C=∠AOQ=90°，
∴△AOQ∽△ACB，
AO AQ
∴ = ，
AC AB
5−t 2t
∴ = ，
8 10
25
解得t= ，
13
当OQ⊥AC时，如图所示，
∵点O是PA的中点，1 1
∴OA= AP= (10−2t)=5−t，
2 2
∵∠A=∠A，∠C=∠OQA=90°，
∴△AOQ∽△ABC，
AO AQ
∴ = ，
AB AC
5−t 2t
∴ = ，
10 8
10
解得t= ，
7
当OQ⊥BC时，如图所示，
∵点O是PA的中点，
1 1
∴OA= AP= (10−2t)=5−t，
2 2
∵∠B=∠B，∠C=∠OQB=90°，
∴△BOQ∽△BAC，
BO BQ
∴ = ，
BA BC
2t+5−t 6+8−2t
∴ = ，
10 6
55
解得t= ，
13
25 10 55
综上所述，t的值为 或 或 ．
13 7 13
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开
始沿AB边运动，速度为2cm/s，动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s．如果P、Q两动点同
时运动，那么经过（ ）秒时△QBP与△ABC相似．A．0.8 B．0.8或2 C．1.25或2 D．1.25
2．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=15,P,Q分别是BC,CD上
的点，CQ=4，若△ABP与△PCQ相似，则BP的长为（ ）
60 60 135
A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或
13 13 13
3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E
分别在边BC，AC上，且CD=5，若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则CE的长度为
（ ）
25 15 25
A．3 B． C． 或4 D．4或
4 2 4
4．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个
单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点
的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
24 9 24 9
A． s B． s C． s或 s D．以上均不对
11 5 11 5
5．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果
点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0<t<4)，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形
PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，t的值为（ ）
20 23 40 5
A． B． C． D．
13 20 23 2
6．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC=20cm,BC=30cm
，点P从点B出发沿BA以4cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿CB以3cm/s的速度向点B
运动，在运动过程中，当△BPQ与△AQC相似时，BP= cm．
7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=5，CD=4，BD=12．
点P在BD上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 ．
8．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点M是对角线BD的中
点，点P从点A出发沿着边按由A→D→C的路径运动，到达终点C停止，当以点P、M、D为顶点的三
角形与△ABD相似时，则线段AP的长为 ．
9．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10cm,AC=8cm．如果
点P由B出发治BA方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为
2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）(0<t<4)解答下列问题：（1）当t为何值时PQ平行于BC；
（2）是否存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明
理由．
（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
10．（23-24九年级上·河北邢台·期中）图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D为BC边上的动点（点
D不与点B、C重合），以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交边AC于点E．
（1）当DE∥AB时，求BD的长．
（2）当BD=2时，求AE的长．
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某一时刻，使得CE=4？若存在，请求出此时BD的长；若
不存在，请说明理由．
11．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．点P
从A点出发沿AC向C点运动，速度为每秒2cm，同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒1cm，
当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，△PQC是以∠C为顶角的等腰三角形？
（2）当t为何值时，△PQC的面积为5cm2？
（3）当t为何值时，△PQC与△ABC相似？
12．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，BC=12，有两动
点P、Q分别在边AB、BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按A→B方向向终点B运动，点Q沿线段BC按B→C方
向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列
问题：
（1）如图1，当t为何值时，PQ∥AC；
（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PCQ的面积等于4？若存在，请求出t的值；若不
存在，请说明理由．13．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
其中A(2，0)，C(0，3)，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作
BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）若AB平分∠EBP，求t的值；
（2）当t=1时，求点E的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．14．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，点D是
BC上一定点．动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s
的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停
止．图2是当 时 的面积 与点P的运动时间 的函数图象．
0≤t≤5 △BPQ S(cm2) t(s)
（1）CD=_______，a=________；
（2）当点P在边AB上时，t为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？15．（2024·山东青岛·一模）在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm．动点P从点D出发，沿DB方向匀
速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从A点出发，沿射线DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作
PE⊥BD，垂足为点P，交射线DC于点E，连接EQ，交AB于点G，交DB于点F．设运动时间为
t(s)(0<t≤5)．
（1）当点E与点C重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，点Q，B，E在一条直线上；
（3）是否存在某一时刻t，使得△AQG∼△PEF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．16．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，动点M，N
从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每
秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终
点即停止运动．
（1）若以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；
（2）当△PAM是等腰三角形时，求t的值；
（3）在运动过程中，是否存在以MN为直角边Rt△PMN的，存在则直接写出t的值．17．（23-24九年级上·山东青岛·期末）在△ABC中，AC=BC=10cm，CD⊥AB，CD=8cm，动点P
以1cm/s的速度从点B向点A运动；同时，动点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，动点R从点
A出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为
t(s)(0<t<5)．连接RQ，PR，PQ．
（1）t为何值时，PR∥BC？
（2）当S :S =1:4时，求t值；
△BQP 四边形CDPQ
（3）如图1，沿CQ折叠△RCQ得到△MCQ，是否存在某一时刻t，使四边形RQMC为菱形？若存在求出
t值；若不存在，请说明理由．18．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同
时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接
PQ，设运动时间为t(0<t<4)s，解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？
（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）；
（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比
为S :S =1:29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在．请说明理
△PQE 五边形PQBCD
由．19．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）已知矩形ABCD，边长AD=4,AB=2，动点P以每秒1个单
位的速度从点B出发沿线段BC方向向终点C运动，动点Q同时以每秒3个单位的速度从A点出发，沿矩
形的边AD−DC−CB−BA方向运动，当点Q回到A点时P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为
t（s）．
（1）当P、Q相遇时，t=_______．
（2）当AP∥CQ时，求t的值；
（3）当BQ或DQ与AP垂直时，求t的值；
（4）当PQ中点到矩形相邻两边距离相等时，直接写出t的值．20．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图1，一动点E从矩形ABCD的顶点D出发，以每秒3个单位长
度的速度沿路线DA−AB向终点B运动，另一动点F从B出发，沿边BC向终点C运动，两点同时出发同
时到达终点，连接EF交BD于点M，已知BC=4，CD=2．设运动时间为t秒，且t>0．
（1）F点的运动速度为每秒________个单位；
（2）当AE=1时，求△BFM的面积；
（3）如图2，过点M作MN⊥EF，交直线AD于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使
∠MEN=∠ABD？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
