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专题 27.4 相似三角形中的动点问题
◆ 典例分析
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2
个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度向
点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）AB=__________；
（2）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；
（3）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理直接求解；
（2）根据题意列出代数式，分当∠PQA=90°和∠QPA=90°时两种情况，根据相似三角形的性质列出
比例式，解方程即可求解；
（3）根据题意分当OQ⊥AB，OQ⊥AC，OQ⊥BC时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例
式，解方程即可求解．
【解题过程】
（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2,
∴ ，
AB=❑√62+82=10
故答案为：10．
（2）解：由题意，得AP=10−2t，AQ=2t，
①当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
AP AQ
∴ = ，
AB AC
10−2t 2t
∴ = ，
10 820
解得t= ，
9
②当∠QPA=90°时，△AQP∽△ABC，
AP AQ
∴ = ，
AC AB
10−2t 2t
∴ = ，
8 10
25
解得t= ，
9
20 25
综上所述，当t= 或 时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
9 9
（3）解：当OQ⊥AB时，如图所示，
∵点O是PA的中点，
1 1
∴OA= AP= (10−2t)=5−t，
2 2
∵∠A=∠A，∠C=∠AOQ=90°，
∴△AOQ∽△ACB，
AO AQ
∴ = ，
AC AB
5−t 2t
∴ = ，
8 10
25
解得t= ，
13
当OQ⊥AC时，如图所示，
∵点O是PA的中点，1 1
∴OA= AP= (10−2t)=5−t，
2 2
∵∠A=∠A，∠C=∠OQA=90°，
∴△AOQ∽△ABC，
AO AQ
∴ = ，
AB AC
5−t 2t
∴ = ，
10 8
10
解得t= ，
7
当OQ⊥BC时，如图所示，
∵点O是PA的中点，
1 1
∴OA= AP= (10−2t)=5−t，
2 2
∵∠B=∠B，∠C=∠OQB=90°，
∴△BOQ∽△BAC，
BO BQ
∴ = ，
BA BC
2t+5−t 6+8−2t
∴ = ，
10 6
55
解得t= ，
13
25 10 55
综上所述，t的值为 或 或 ．
13 7 13
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开
始沿AB边运动，速度为2cm/s，动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s．如果P、Q两动点同
时运动，那么经过（ ）秒时△QBP与△ABC相似．A．0.8 B．0.8或2 C．1.25或2 D．1.25
2．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=15,P,Q分别是BC,CD上
的点，CQ=4，若△ABP与△PCQ相似，则BP的长为（ ）
60 60 135
A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或
13 13 13
3．（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E
分别在边BC，AC上，且CD=5，若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则CE的长度为
（ ）
25 15 25
A．3 B． C． 或4 D．4或
4 2 4
4．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个
单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点
的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
24 9 24 9
A． s B． s C． s或 s D．以上均不对
11 5 11 5
5．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果
点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t(s)(00．
（1）F点的运动速度为每秒________个单位；
（2）当AE=1时，求△BFM的面积；
（3）如图2，过点M作MN⊥EF，交直线AD于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使
∠MEN=∠ABD？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
