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专题 27.4 相似三角形的判定与性质（二）【九大题型】
【人教版】
【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】.........................................................................................................1
【题型2 三角板与相似三角形综合运用】..............................................................................................................2
【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】..................................................................................................................3
【题型4 折叠与相似三角形综合运用】..................................................................................................................6
【题型5 判断与相似有关结论的正误】..................................................................................................................7
【题型6 用相似三角形的判定与性质证明】.........................................................................................................8
【题型7 用相似三角形的判定与性质求线段比值】.............................................................................................9
【题型8 利用相似三角形的判定与性质求最值】................................................................................................11
【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决几何动点问题】...........................................................................12
【题型1 尺规作图与相似三角形综合运用】
【例1】（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）已知菱形ABCD中，E是BC边上一点．
1
(1)在BC的右侧求作△AEF，使得EF∥BD，且EF= BD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
2
迹）
1
(2)在（1）的条件下，若∠EAF= ∠ABC，求证：AE=√2EF．
2
【变式1-1】（2023·陕西·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你利用尺规在
BC边上求一点P，使△PAB∽△ABC（不写画法，保留作图痕迹）【变式1-2】（2023·陕西西安·西安行知中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，AM∥BC．请用尺规作
图法，在射线AM上求作一点D，使得△DCA∼△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式1-3】（2023春·河北保定·九年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在边AB上
确定一点D，使△ACD∽△ABC，根据下列作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 三角板与相似三角形综合运用】
【例2】（2023春·上海·九年级专题练习）等边 ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角
板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋△转．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断 EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如△图2，求 EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，△求PE的长．
【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2√3，AD=10，直角三角
板的直角顶点P在AD上滑动，(点P与A，D不重合)，一直角边经过点C，另一直角边与射线AB交于点E．(1)求证：△AEP∽△DPC；
(2)当∠CPD=30°时，求PE的长；
(3)是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出BE的长；若不存在，请说
明理由．
【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方
形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP
DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为 ．
【变式2-3】（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB
中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M
为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= ．【题型3 裁剪与相似三角形综合运用】
【例3】（2023春·全国·九年级期中）如图1所示，一个木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2
的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等积的正方形木板．
甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2．
3
乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝
2
下列说法正确的是（ ）
A．甲的分割方式不正确
B．甲的分割方式正确，AM的值求解不正确
C．乙的分割方式与所求AM的值都正确
D．乙的分割方式正确，AM的值求解不正确
【变式3-1】（2023·河北保定·统考二模）如图为三角形纸片ABC，其中D点和E点将AB三等分，F点为
DE中点．若小慕从AB上的一点P，沿着与直线BC平行的方向将纸片剪开后，剪下的小三角形纸片面积
1
为 ABC的 ，则下列关于P点位置的叙述正确的是（ ）
3
△A．在FE上，但不与F点也不与E点重合B．在DF上，但不与D点也不与F点重合
C．与E点重合 D．与D点重合
【变式3-2】（2023·福建泉州·中考真题）（1）如图1是某个多面体的表面展开图．
①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；
②如果沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么△BMC应满足什么条件？（不必说理）
（2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与
表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）
【变式3-3】（2023·吉林长春·一模）综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着
丰富的数学知识．
折一折：把边长为2的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF.如图①；点M为
CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，
AN，如图②．(1)图②中，∠CMD=______；线段NF=______．
(2)图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A'处，分别得到图③、
图④．
(3)图③中，阴影部分的周长为______．
(4)图③中，若∠A'GN=80°，则∠A'HD=______°.
(5)图③中，相似三角形(包括全等三角形)共有______对．
AG
(6)如图④，点A'落在边ND上，若A'N=2A'D，则 =______．
AH
【题型4 折叠与相似三角形综合运用】
【例4】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE，将△DCE
沿DE所在直线翻折得到△DC'E，C'E与AD交于F，点N为DE中点，射线AN交CD边于点G，连接AE，
若∠FAE=∠FEC，AB=√15，BC=6，则DG长为______
【变式4-1】2023·上海·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E在边AB上，AE=2，连接1
DE，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点为P，连接EP、DP，分别交边BC于点F、G，如果BF= BC，
4
那么CG的长是 ．
【变式4-2】（2023·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，
过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
1
（2）求证EG2＝ GF•AF；
2
（3）若AG＝3，EG＝√5，求BE的长．
【变式4-3】（2023·安徽·模拟预测）如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再
次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（ ）
20
A．5√2 B．√29 C． D．4
3
【题型5 判断与相似有关结论的正误】
【例5】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图所示，边长为4的正方形．ABCD．中，对角线，BD
交于点O，E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：3
①EF=EC；②CF2=CG⋅CA；③BE⋅DH=16；④若BF=1，则DE= √2，正确的是（ ）
2
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【变式5-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，
使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB
15
于点M，AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP= ，④BD∥FQ．正确的是（ ）
8
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【变式5-2】（2023·山东泰安·统考二模）如图，正△ABC的边长为2，沿△ABC的边AC翻折得△ADC，
连接BD交AC于点O，点M为BC上一动点，连接AM，射线AM绕点A逆时针旋转60°交BC于点N，连
接MN、OM．以下四个结论：①△AMN是等边三角形：②MN的最小值是√3；③当MN最小时
1
S = S ；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB．正确的是（ ）
△CMN 8 菱形ABCD
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式5-3】（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是∠ABC，
∠ACB的平分线的交点，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连4
接DE．有下列四个结论：①OD=OE；②S =S ；③四边形ODBE的面积始终等于 √3；④
△ODE △BDE 3
△BDE周长的最小值为6，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型6 用相似三角形的判定与性质证明】
【例6】（2023春·安徽·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD上的点，连接
EF，EF⊥FG且EF=FG．
(1)如图1，当点G在CD上时，求证：DG=BE；
(2)如图2，当点B与点E重合时，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2=MN⋅MD．
【变式6-1】（2023春·山东泰安·九年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在
CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．(1)求证：AD2=AE⋅AC；
(2)求证：△ABD∽△DCE．
【变式6-2】（2023春·湖南益阳·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点E是DC
边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE=a．
(1)求BF的长（用含a的代数式表示）；
(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：EA=EC．
【变式6-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，
1
且AE= AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D．求证：BC＝2CD．
4
【题型7 用相似三角形的判定与性质求线段比值】
【例7】（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考一模）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，
AF
点E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若CD＝2，则 = ．
AC
【变式7-1】（2023春·安徽宿州·九年级校考期中）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，AD=8，点E，F分AG
别是AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则 的值是 ．
GF
【变式7-2】（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F
在BC边上，且EF=EC，垂足为点H，连接FG．
(1)若∠GCB=20°，求∠BEC的度数；
(2)求证：BG=√2DE；
GH
(3)若F为BC的中点，求 的值．
HF
【变式7-3】（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且AE⊥DF于点G，若
DF
AB=6，BC=8，求 的值．
AE
(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．【初步运用】
AB 3
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°， = ，点D为AC的中点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点
AC 4
AF
E，交BC于点F，求 的值．
BD
【灵活运用】
AB 3
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， = ，AB=BC，AD=CD，点E，F分别在边AB，
AD 4
CF
AD上，且DE⊥CF，垂足为G，则 =__________________．
DE
【题型8 利用相似三角形的判定与性质求最值】
【例8】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=1，
AC=2√2 点D，E分别是边BC,AC上的动点，则DA+DE的最小值为（ ）
8 16 √2 16√2
A． B． C． D．
9 9 9 9
【变式8-1】（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F
分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、PD，若
1
AC=12,BD=16，则PC+ PD的最小值为 ．
4
【变式8-2】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，E，F分别为AB，
CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点
A的过程中，线段DH长度的最小值为 ．
【变式8-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，E是
HF
AB上一点，BE=2．F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且 =k（k为常数，k≠0），分别过
CF
点F，H作EF，BC的垂线，交点为G．设BF的长为x，GH的长为y．
(1)若x=4，y=6，则k的值是
(2)若k=1时，求y的最大值．
(3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值．
【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决几何动点问题】
【例9】（2023春·江苏宿迁·九年级南师附中宿迁分校校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，
AB=2√3，∠CAB=60°，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得
∠DEF=60°，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是 ．【变式9-1】（2023春·山东青岛·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=10，
AB和CD之间的距离是8，动点P在线段AB上从点A出发沿AB方向以每秒2个单位的速度匀速运动；动
点Q在线段BC上从点B出发沿BC的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，过点P作PE⊥AB，交线段
AD于点E，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒(0
