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专题 3-1 平行四边形（考题猜想，构造平行四边形解题的六种应用类型）
类型1：证两线段相等
【例题1】（2023春•滨海县期中）如图，在平行四边形 中， ， 是对角线 上两个点，且
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【变式1】（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平行四边形 中， 分别是边
上的点，且 ，直线 分别与 的延长线交于点 ，连接 .(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证： ．
【变式2】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，在 中，O为 的中点，连接 并延长，交
的延长线于点E．求证： ．
【变式3】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，在 中， 平分 ，交 于点E，交
的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
类型2：证两线段互相平分
【例题2】（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图， ， 分别是四边形 的边 ， 的中点，
， 是 ， 的中点．求证： 和 互相平分．【变式1】（20-21八年级下·上海长宁·期末）如图，BD、AC是四边形ABCD的对角线，点E、F、G、H
分别是线段AD、DB、BC、AC上的中点．
(1)求证：线段EG、FH互相平分；
(2)四边形ABCD满足什么条件时，EG⊥FH？证明你得到的结论．
【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中，对角线 ， 交于点O，
，E，F，H分别是 ， ， 的中点， 交 于点G．(1)求证：线段 与线段 互相平分；
(2)若 ，求 的长度；
(3)求 的值．
【变式3】（23-24八年级下·江西赣州·期中）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形
的中位线．
下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，
在 中，点 分别是 边的中点．求证： ，且 ．
方法二：
方法一：
证明：如图3，取 中点 ，连接 并延长到点
证明：如图2，延长 到点 ，使 ，
，使 ，连接 ．
连接 ．【回顾证法】
（1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程．
【实践应用】
（2）如图4，B、C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了 间的距
离：先在池塘外选一点 ，连接 ，然后测出 的中点 、 ，并测出 的长度为12米，则
两点间的距离______米．
【深入探究】
（3）如图5， 是 的中位线， 是 边上的中线． 与 是否互相平分？请证明你的结论．
类型3：证两线段平行
【例题3】（2023·四川南充·中考真题）如图，在 中，点 ， 在对角线 上， ．
求证：
(1) ；
(2) ．【变式1】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形，点E，F
是对角线 上的点， ．求证：
(1) ；
(2) ．
【变式2】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，点P为边 上的一点，
，且 ，点C关于直线 的对称点为D，连接 ，又 的 边上的高为 ：
(1)求 的大小；
(2)判断直线 是否平行？并说明理由；
(3)证明： ．
【变式3】（22-23八年级下·山西忻州·期中）如图，正方形 中，E，F，G分别是 上的
中点，连结 ，连结CG分别交 于点M，N， 交 于点H．(1)求证： ；
(2)当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点N处，若 ，设 ．
①求 的长；
②当 时，用含代数式表示四边形 的面积；
③在P，Q整个运动过程中，当P，Q与四边形 的两个顶点构成平行四边形时，求t的值．
类型4：证线段的和差关系
【例题4】（20-21八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角
线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
【变式1】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形 中， 于点 ，
点 在 上， 交 于点 ，连接 ．(1)若 ，求 的长度；
(2)求证： ；
(3)求证： ．
【变式2】（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知 为平行四边形．
(1)如图1，若 于M， 于N，求证： ；
(2)如图2，若 为两条对角线，求证： ．
【变式3】（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在 中， ， D，E分别为
上两动点， ．
(1)如图1，若 于H交 于K，求证： ；
(2)如图2，若 交 于F， ， ，求证： ；
(3)如图3，若 ，将 绕点E顺时针旋转 得 ，N为 中点，当 取得最小值时，请直接写出 的面积．
类型5：求线段的取值范围
【例题5】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）在 中， ， ， ，点N是
边上一点．点M为 边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为 ， 的中点，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中， ， 为 轴上一动点，
连接 并延长至点 ，使 ，取 轴负半轴上一点 ，使得 ，以 ， 为边作
．
（ ）点 的坐标为 ．
（ ）设点 坐标为 ，则点 的坐标为 （用含 的代数式表示），连接 ，则 长度的取
值范围为 ．
【变式2】（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图，在等边三角形 中， ，P为 上一点（与
点A、C不重合），连接 ，以 、 为邻边作平行四边形 ，则 的取值范围是 ．【变式3】（21-22八年级下·广东佛山·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O，
点E，F在 上，点G，H在 上，且 ， ．
(1)若 ，则 的取值范围为_____________；
(2)若 ，求 的度数；
(3)试判断 与 的位置关系与数量关系，并说明理由．
类型6：解决面积问题
【例题6】（21-22八年级下·陕西西安·阶段练习）如图， 是 的边 上的点， 是 中点，连
接 并延长交 于点 ，连接 与 相交于点 ，若 ，则阴影部分的面积
为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【变式1】（22-23八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在矩形 中，点 分别是 的中
点，连接 和 ，分别取 、 的中点 ，连接 ，若 ， ，则
图中阴影部分图形的面积和为 ．【变式2】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形 中， ， ，E
是 的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作： 连接 ； 连接 ，交 于点F； 连接 ，
交 于点P； 作射线 ，交 于点H．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求四边形 的面积．
【变式3】（22-23八年级下·北京密云·期中）已知：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，
的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段 且使 ，连接 ；
(2)线段 的长为__________， 的长为 __________，点A到线段 的距离为__________；
