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第 24 讲 空间向量及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量
相等向量 大小相等、方向相同的向量
相反向量 大小相等、方向相反的向量
共线向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量
(或平行向量) 平行(或共线)
空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移
共面向量
后，都能在同一平面内，则称这些向量共面
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b不共线，则向量 a，b，c共面的充要条
件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝ x a ＋ y b .
由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共
线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使AP＝
xAB＋yAC.
(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量 a，b，c不共面，那么对空间中
的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ x a ＋ y b ＋ z c .其中，
{a，b，c}称为空间向量的一组基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，
OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，
若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
4.空间向量数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(x ，y ，z )，b＝(x ，y ，z ).
1 1 1 2 2 2
向量表示 坐标表示
数量积 a·b x x ＋y y ＋z z
1 2 1 2 1 2
共线 b＝λa(a≠0，λ∈R) x ＝λx ，y ＝λy ，z ＝λz
2 1 2 1 2 1
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) x x ＋y y ＋z z ＝0
1 2 1 2 1 2
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
6.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，
且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个 方 向向
量.
(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且
表示n的有向线段所在的直线与平面 α垂直，则称n为平面α的一个法向量，
此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.
7.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l ，l 的方向向量分别为 l ∥l v ∥v v ＝λv
1 2 1 2 1 2 1 2
v ，v l ⊥l v ⊥v v · v ＝ 0
1 2 1 2 1 2⇔ 1 2
直线l的方向向量为v，平面 l∥α v⊥n
⇔
v · n ＝ 0
α的法向量为n l⊥α v∥n n＝λv
⇔
平面α，β的法向量分别为 α∥β n ∥n n ＝λn
1 2⇔ 1 2
n ，n α⊥β n ⊥n n · n ＝ 0
1 2 1 2⇔ 1 2
⇔
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，
O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x
＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
二、考点和典型例题
1、空间向量的运算及共线、共面定理
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ＝(2m＋1，3，m－1)， ＝(2，m，－m)，且 ，则实数m的值等于（ ）
A． B．－2
C．0 D． 或－2
【答案】B
【详解】
当m＝0时， =(1，3，－1)， ＝(2，0，0)，
与 不平行，∴m≠0，∵ ，
∴ ，解得m＝－2.
故选：B
【典例1-2】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习） ，
若 三向量共面，则实数 （ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
【答案】D
【详解】
∵ ，∴ 与 不共线，
又∵ 三向量共面，则存在实数m，n使
即 ，解得 ．
故选：D．
【典例1-3】（2020·全国·高三专题练习）设x， ，向量 ， ，
且 ， ，则 （ ）A． B． C．3 D．4
【答案】C
【详解】
因为向量 ， ， 且 ， ，
所以 ， ，
解得 ，
所以向量 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
【典例1-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若 构成空间的一个基底，则下
列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】
选项A，因为 ，所以 共面；
选项B，因为 ，所以 共面；
选项C， 在 构成的平面内， 不在这个平面内，不符合.
选项D，因为 共线，所以 共面.
故选：ABD
【典例1-5】（2022·湖南·高三阶段练习）若直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，且直线 平面 ，则实数 的值是______.
【答案】-1
【详解】
直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，直线 平面 ，
必有 ，即向量 与向量 共线，
，∴ ，解得 ；
故答案为：-1.
2、空间向量的数量积及其应用
【典例2-1】（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））正四面体 的棱长为4，空
间中的动点P满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
分别取BC，AD的中点E，F，则 ，
所以 ，
故点 的轨迹是以 为球心，以 为半径的球面，
，
又 ，
所以 ， ，所以 的取值范围为 ．
故选：D．
【典例2-2】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知正四棱
台 的上、下底面边长分别为 和 ， 是上底面 的边界上一点．
若 的最小值为 ，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意可知，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标
系 ，如图所示
， ，由对称性，点 在 是相同的，故只考虑 在 上时，设正四棱台的高为 ，则
， ，设 ， ，
，因为 在 上，所以 ，则
，
，
，
所以
由二次函数的性质知，当 时， 取得最小值为 ，
又因为 的最小值为 ，所以 ，解得 （负舍），
故正四棱台的体积为：
.
故选：A.
【典例2-3】（2022·山东泰安·模拟预测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体
几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵
中， ，M是 的中点， ，N，G分别在棱 ，AC上，且， ，平面MNG与AB交于点H，则 ___________，
___________.
【答案】 6 -42
【详解】
如图，延长MG，交 的延长线于K，连接KN，显然 平面 ， 平面
，
因此，平面MNG与AB的交点H，即为KN与AB交点，
在堑堵 中， ，则 ，即 ，
又 ，则 ，而 ，于是得 ，所以
，
因 ， ，所以 .
故答案为：6；-42
【典例2-4】（2022·上海徐汇·三模）已知 ､ 是空间相互垂直的单位向量，且 ，
，则 的最小值是___________.
【答案】3
【详解】因为 互相垂直，所以 ，
，
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为9，
则 的最小值为3.
故答案为：3
【典例2-5】（2022·浙江·模拟预测）若 、 、 是棱长为 的正四面体棱上互不相同的
三点，则 的取值范围是_______.
【答案】
【详解】
如下图所示，由任意性，设点 、 、 分别棱长为 的正三棱锥 的棱 、 、
上的动点，
设 ，其中 ，则 ，
所以， ，
所以， ，当且仅当线段 与棱 或 重合时，等号成立，即 的最大值为 ，
，当且仅当 与点 或 重合， 、 重合于点
或点 时，等号成立，
但 、 、 为不同的三点，则 ，
由上可知 的最大值为 ，取线段 的中点 ，
则 ，
当且仅当线段 与棱 重合且 为棱 的中点时，等号成立，则 .
综上所述， .
故答案为： .
3、空间向量的应用
【典例3-1】（2022·全国·模拟预测）下图为正三棱柱 的一个展开图，若A，
， ，D， ， 六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角
的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
六点共圆的示意图如图所示．
设原正三棱柱的底面边长为2a，高为2b，圆的半径为r．
则有方程组 ，解得 ．
从而在原正三棱柱中，高为底面边长的 倍．
设直线AE和直线BF所成角为 ，则 ．
由勾股定理， ；
所以 ．
故选：A
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
【详解】
解：在正方体 中，
且 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
则 ， ，设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
则 ，
所以平面 与平面 不垂直，故B错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故C错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：解：对于选项B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平
面 的交线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，
则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，
底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，
从而有： ，
据此可得 ，即 ，
据此可得平面 平面 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项C错误；对于选项D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项D错误；
故选：A.
【典例3-3】（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱 的所有棱长都相等，
为 的中点，则 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
取线段 的中点 ，则 ，设直三棱柱 的棱长为 ，
以点 为原点， 、 、 的方向分别为 、 、 的正方向建立如下图所示的空间
直角坐标系，则 、 、 、 ，
所以， ， ， .
所以， .
故选：C.
【典例3-4】（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱
的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为 的中点，若
，则异面直线 与 所成角的余弦值为______．
【答案】
【详解】
由题意， , ,
所以 ，
，
，
所以故答案为： .
【典例3-5】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，三棱台 中， ，
， ．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成的角．
【解析】(1)
由题，取 中点 ，连接 ，由 ， ，则 ，
又 面 ，故 面 ，
因为 面 ，故 ，又 ，则 ，得证；
(2)
由题， ，则 ，又 ， ，
故 ，故 .
分别以 为 轴建立如图空间直角坐标系，
易得 ， ， ， ，， ，设平面 法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
故 ，故直线 与平面 所成的角为 .
即直线 与平面 所成的角为 .
