文档内容
专题 4.10 一元一次方程的应用题必考十二大类型（84 题）
【人教版2024】
【类型1 商品销售问题·7题】..................................................................................................................................1
【类型2 配套问题·7题】..........................................................................................................................................6
【类型3 行程问题·7题】........................................................................................................................................10
【类型4 工程问题·7题】........................................................................................................................................15
【类型5 古代问题·7题】........................................................................................................................................19
【类型6 数字问题·7题】........................................................................................................................................21
【类型7 年龄问题·7题】........................................................................................................................................24
【类型8 日历问题·7题】........................................................................................................................................27
【类型9 积分问题·7题】........................................................................................................................................35
【类型10 几何问题·7题】......................................................................................................................................40
【类型11 方案决策问题·7题】..............................................................................................................................44
【类型12 分段计费问题·7题】..............................................................................................................................52
【类型1 商品销售问题·7题】
【方法点拨】
在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基
本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：
利润=售价－进价
利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率
【经典习题】
1．（2024•江西模拟）一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可
获利15元，则这种服装每件的成本价是 元．
【分析】首先设这种服装每件的成本价是 x元，根据题意可得等量关系：进价×（1+40%）×8折＝进价
+利润15元，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设这种服装每件的成本价是x元，由题意得：
（1+40%）x×80%＝x+15，
解得：x＝125．故答案为：125．
2．（2022秋•深圳期末）某款羽绒服成本价为400元，商场按成本价提高50%后标价，由于换季滞销，商
场计划推出“换季大清仓”优惠活动，将此款羽绒服打折出售，若要使得打折后该商场仍可获利 20%，
则该款羽绒服应该打 折出售．
【分析】设商场应打x折，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设该款羽绒服应该打x折出售，
由题意可得：400（1+50%）×0.1x﹣400＝400×20%，
解得：x＝8，
故答案为：8．
3．（2023秋•叙永县月考）某商场购进一批服装，又恰巧碰到双十一的促销活动，商场决定将这批服装按
标价的五折销售，若打折后每件服装可获利润 60元，其利润率为10%；若双十一过后，该商场按这批
服装的标价打八折出售，那么获得的利润是 元．
【分析】设这批服装的标价为x元，根据进价＝标价×折扣﹣利润＝利润÷利润率列出方程求解即可．
【解答】解：设这批服装的标价为x元，
由题意得，0.5x﹣60＝60÷10%，
解得x＝1320，
∴这批服装的标价为1320元，
∴这批服装的进价为1320×0.5﹣60＝600（元），
∴这批服装的标价打八折出售，那么获得的利润是1320×0.8﹣600＝456（元），
故答案为：456．
4．（2023秋•成安县期末）某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏
10元，而按标价的七五折出售将赚50元，问：
（1）每件服装的标价是多少元？
（2）每件服装的成本是多少元？
（3）为保证不亏本，最多能打几折？
【分析】（1）设每件服装的标价是x元，若每件服装如果按标价的六折出售将亏 10元，此时成本价为
60%x+10元；若按标价的七五折出售将赚50元，此时成本价为：75%x﹣50元，由于对于同一件衣服成
本价是一样的，以此为等量关系，列出方程求解；
（2）由（1）可得出每件衣服的成本价为：60%x+10元，将（1）求出的x的值代入其中求出成本价；
y
（3）设最多可以打y折，则令400× =成本价，求出y的值即可．
100【解答】解：（1）设每件服装的标价是x元，
由题意得：60%x+10＝75%x﹣50
解得：x＝400
所以，每件衣服的标价为400元．
（2）每件服装的成本是：60%×400+10＝250（元）．
（3）为保证不亏本，设最多能打y折，由题意得：
y
400× =250
10
解得：y＝6.25
所以，为了保证不亏本，最多可以打6.25折．
答：每件服装的标价为400元，每件衣服的成本价是250元，为保证不亏本，最多能打6.25折．
5．（2023秋•桐乡市期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件
数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 40 60
售价（元/件） 50 80
（1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其
中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两
种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少600元，求第二次乙商品是按原价打几折销
售？
【分析】（1）设第一次购进乙种商品x件，则购进甲种商品2x件，根据第一次用10500元购进甲、乙
两种商品，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次
获得的总利润少600元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设第一次购进乙商品x件，则购进甲商品2x件，
由题意，得40×2x+60x＝10500，
解得x＝75，
则甲商品件数为75×2＝150（件），
答：第一次购进甲商品150件，乙商品75件；
（2）设第二次乙商品按原价打y折销售，由题意，得（50﹣40）×150+（80×0.1y﹣60）×75×3＝（50﹣40）×150+（80﹣60）×75﹣600，
解得：y＝8，
答：第二次乙商品是按原价打8折销售．
6．（2023秋•信宜市期末）综合应用
春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高 20
元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，
若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种
商品打了几折出售？
（3）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共60件，所用资金恰好为5600元，在销售时，甲种商品的
每件售价为100元，要使得这60件商品全部售出所获利润率为25%，求每件乙种商品售价为多少元？
【分析】（1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价（x+20）元，根据“购进甲种商品10件，乙
种商品2件，需要1000元”可列出方程，求解即可；
（2）设甲种商品打了y折，根据“按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出
售12件所获得利润一样”，可列出方程，求解即可；
（3）设购进甲种商品a件，乙种商品的售价为b元，根据“从厂家购进了甲、乙两种商品共60件，所
用资金恰好为5600元”及“这60件商品全部售出所获利润率为25%”，分别列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价（x+20）元，
由题意可得，10x+2（x+20）＝1000，
解得x＝80，
∴x+20＝100（元），
∴甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元；
（2）设甲种商品打了y折，
y
由题意可知，6×(120× −80)=12×(40−35)，
10
解得y＝7.5，
∴甲种商品打了七五折出售．
（3）设购进甲种商品a件，乙种商品的售价为m元，
由题意可知，80a+100（60﹣a）＝5600，
解得a＝20，∴60﹣20＝40（元），
∴（100﹣80）×20+（m﹣100）×40＝5600×25%，
解得m＝125，
∴乙种商品的售价为125元．
7．（2024秋•南岗区校级期中）某家电商场在双十一活动前共投入 68000元，购进A、B两种品牌的微波
炉共100台，其中A品牌微波炉每台进价是500元，B品牌微波炉每台进价是800元．
（1）求购进A、B两种品牌微波炉各多少台？
（2）在销售过程中，A品牌微波炉每台售价800元，B品牌微波炉每台按进价加价25%销售，求全部售
磬后，该家电商场共获利多少元？
（3）在（2）的条件下，根据市场调研情况，该家电商场决定第二次购进一批A、B两种品牌的微波炉
进行销售，其中A品牌微波炉购进数量不变，进价每台提高了50元，售价不变，并且全部售出；B品
牌微波炉购进数量增加10%，进价不变，售价提高10%，按标价售出一部分后，出现滞销，商场决定打
九折出售剩余的B品牌微波炉，第二次购进的两种品牌微波炉全部售磬后共获27600元，有多少台B品
牌微波炉打九折出售？
【分析】（1）设购进x台A品牌微波炉，则购进（100﹣x）台B品牌微波炉，利用进货总价＝进货单
价×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即购进A品牌微波炉的数量），再
将其代入（100﹣x）中，即可求出购进B品牌微波炉的数量；
（2）利用总利润＝每台的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
（3）设有y台B品牌微波炉打九折出售，利用总利润＝每台的销售利润×销售数量，可列出关于y的一
元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进x台A品牌微波炉，则购进（100﹣x）台B品牌微波炉，
根据题意得：500x+800（100﹣x）＝68000，
解得：x＝40，
∴100﹣x＝100﹣40＝60．
答：购进40台A品牌微波炉，60台B品牌微波炉；
（2）根据题意得：（800﹣500）×40+800×25%×60
＝300×40+800×25%×60
＝12000+12000
＝24000（元）．
答：全部售磬后，该家电商场共获利24000元；
（3）设有y台B品牌微波炉打九折出售，根据题意得：（800﹣500﹣50）×40+[800×（1+25%）×（1+10%）﹣800]×[60×（1+10%）﹣y]+[800×
（1+25%）×（1+10%）×90%﹣800]y＝27600，
解得：y＝20．
答：有20台B品牌微波炉打九折出售．
【类型2 配套问题·7题】
【方法点拨】
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件
数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程）
一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如
何确定车间工人人数，使问题有整数解．
【经典习题】
1．（2023秋•工业园区校级期中）服装厂生产一批学生校服，已知生产 1件上衣需要布料1.5米，生产1
条裤子需要布料1米．因为裤子旧得快，要求1件上衣和2条裤子配一套．生产这批校服共用了2016米
布料，共生产了 57 6 套校服．
【分析】根据要求1件上衣和2条裤子配一套，生产这批校服共用了2016米布料，可以列出相应的方
程，然后求解即可．
【解答】解：设生产了x套校服，
由题意可得：（1.5+1×2）x＝2016，
解得x＝576，
答：共生产了576套校服，
故答案为：576．
2．（2023秋•南岗区校级期中）某车间有22名工人，每人每天可以生产12个螺钉或20个螺母，1个螺钉
需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 1 0 人生产螺钉．
【分析】设安排x人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，根据题意列方程求解，即可得到答案．
【解答】解：设安排x人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，
由题意得：20x＝2（22﹣x）×12，
解得：x＝12，
22﹣12＝10，则应安排10人生产螺钉，
故答案为：10．
3．（2024秋•绥棱县校级期中）某车间有90名工人，每人平均每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知
2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产多少套这样成套的产品？设最多可生产套成x2x 3x
套产品，则可列方程为 + =90 ．
20 15
【分析】根据某车间有90名工人可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
2x 3x
【解答】解：由题意得， + =90，
20 15
2x 3x
故答案为： + =90．
20 15
4．（2023秋•和田地区期末）机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10
个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能
使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
【分析】首先设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排（68﹣x）名工人加工小齿轮，再利用2个
大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套得出方程求出答案．
【解答】解：设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排（68﹣x）名工人加工小齿轮，依题意有
3×16x＝2×10（68﹣x），
解得x＝20，
68﹣x＝68﹣20＝48．
故需要安排20名工人加工大齿轮，需要安排48名工人加工小齿轮．
5．（2023秋•江海区期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工
人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．
（1）该工厂有男工、女工各多少人？
（2）该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名
女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？
【分析】（1）设该工厂有男工x人，则女工（2x﹣20）人，根据“男工人数+女工人数＝88”列出方程
并解答；
（2）首先设调y名女工帮男工制作盒身，根据题意可得等量关系：盒身数量×2＝盒底数量，根据等量
关系列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设该工厂有男工x人，则女工有（2x﹣20）人，
由题意得：x+2x﹣20＝88，
解得：x＝36，
女工：2×36﹣20＝52（人），
答：该工厂有男工36人，有女工52人．
（2）设调y名女工帮男工制作盒身，由题意得：50（36+y）×2＝（52﹣y）×120，
解得：y＝12．
答：调12名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套．
6．（2023秋•岚山区期末）某工厂车间有38名工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件12个或
B零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个A零件和2个B零件配成一套，每天生产的A零件和
B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利18元，每个B零件可获利13元．
（1）工厂每天应分别安排多少名工人生产A，B两种零件？
（2）因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量
的A零件供商场单独销售，现从每天生产B零件的工人中调出部分工人生产A零件，工厂每日生产零件
的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件？
【分析】（1）设工厂分别安排x名工人生产A零件，（38﹣x）名工人生产B零件，根据“1个A零件
和2个B零件配成一套”，列方程求解即可得到结果；
（2）先求出调动前每天总获利，设工厂从每天生产 B零件的工人中调出y名工人生产A零件，可得调
动后安排（14+y）名工人生产A零件，（24﹣y）名工人生产B零件，根据“工厂每日生产零件的总获
利比调动前增加了170元”，列方程求解即可得到结果．
【解答】解：（1）设工厂分别安排x名工人生产A零件，（38﹣x）名工人生产B零件，
依题意得，2•12x＝14（38﹣x），
解得x＝14，
得38﹣14＝24（名），
答：工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件；
（2）调动前每天总获利为：14×12×18+24×14×13＝7392（元），
设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，
则调动后安排（14+y）名工人生产A零件，（24﹣y）名工人生产B零件，
依题意得，（14+y）•12×18+（24﹣y）•14×13＝7392+170，
解得y＝5，
答：工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件．
7．（2023秋•凉州区期末）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）
第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”
“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的
盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．
（1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由 2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每
个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安
排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
【分析】（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，根据该工
厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个
盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为（2x﹣200）人，
由题意得：（2x﹣200）+x＝1000，
解得：x＝400，
∴2x﹣200＝2×400﹣200＝600，
答：生产盲盒A的工人人数为600人；
（2）设安排m人生产盲盒A，则安排（1000﹣m）人生产盲盒B，
由题意得：3×20m＝2×10（1000﹣m），
解得：m＝250，
∴1000﹣m＝1000﹣250＝750，
答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套．
【类型3 行程问题·7题】
【方法点拨】
基本关系：路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间
（1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程
（2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程
（3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相
遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈.
（4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及
所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈.
【经典习题】
1．（2023秋•巴彦县校级月考）已知一条笔直的公路旁依次有A，B，C三地，A、B两地相距30千米，小
明乘车从A地出发，以每小时30千米的速度驶向C地，同时小丽乘车从B地出发，以每小时20千米的
速度驶向C地，当两人相距10千米时，两人乘车的时间为 小时．
【分析】设两人相距10千米时，两人乘车的时间为x小时，分两种情况：两人相遇之前相距10千米，
两人相遇之后相距10千米，解答即可．
【解答】解：设两人相距10千米时，两人乘车的时间为x小时，
分两种情况：
两人相遇之前相距10千米，
根据题意，得30x+20x+10＝30，
解得x＝2；
两人相遇之后相距10千米，
根据题意，得30+20x+10＝30x，
解得x＝4．
综上所述，当两人相距10千米时，两人乘车的时间为2小时或4小时；
故答案为：2或4．
2．（2024秋•金华月考）如图，甲乙两只蚂蚁分别从数轴上的 A，B两点处同时出发，相向而行．甲蚂蚁
的速度为每分钟6个单位长度，乙蚂蚁的速度为每分钟4个单位长度．一只蝴蝶精灵与甲同时从A地出发，当蝴蝶精灵碰到乙后，马上返回遇上甲，再返回遇上乙，依次反复，直至甲和乙两只蚂蚁相遇为
止．已知蝴蝶精灵的速度为每分钟 20 个单位长度，那么，在这一过程中，蝴蝶精灵一共飞行了
（ ）个单位长度．
A．2020 B．4420
C．5400 D．缺少条件，无法计算
【分析】设甲乙两只蚂蚁经过x分钟相遇，然后列方程求解即可．
【解答】解：设甲乙两只蚂蚁经过x分钟相遇，则蝴蝶精灵一共飞行了20x个单位，
根据题意可得，
（6+4）x＝2023﹣（﹣187），
解得x＝221，
∴20x＝20×221＝4420．
∴蝴蝶精灵一共飞行了4420个单位长度．
故选：B．
3．（2023秋•光山县校级期末）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每
小时4千米，702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后
队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时 12千米（队伍长度
忽略不计）．
（1）后队出发后多长时间可以追上前队？
（2）后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？
（3）联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？
【分析】（1）根据后队追上前队所走路程一样可列方程；
（2）当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间为后队刚好追上前队的时间，根据（1）追及时间可
知，联络员共骑行的距离也即可求出；
（3）用前面队伍所走的路程减去联络员所骑行的距离等于联络员骑行的距离减去后面队伍所走的路
程，列式求解即可．
【解答】解：（1）设后队追上前队所用时间为t小时，则前队被追上时所走时间为（t+1）小时，
根据“路程＝时间×速度”，两队伍追上时路程一样，可列方程为：
6t＝4（t+1）
解得，t＝2．∴后队出发后两小时可以追上前队．
（2）∵当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间等于后队刚好追上前队的时间，
t＝2，
∴联络员骑行距离为：
s＝vt＝12×2＝24（km）．
∴联络员共骑行了24km．
（3）设联络员出发后t小时与前队和后队的距离相等为skm，
联络员出发后t小时，前队所走的路程为：4（t+1）km；
后队所走的路程为：6tkm；
联络员所走的路程为：12tkm，
联络员与前队距离为：4（t+1）﹣12t；
联络员与后队距离为：12t﹣6t，
根据联络员与前后队距离相等得到，
s＝12t﹣6t＝4（t+1）﹣12t，
2
解得：t= ，
7
2
∴联络员骑行 小时后离前队的距离与他离后队的距离相等．
7
4．（2023秋•阳新县期末）两船从B港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度
都是50千米/时，水流速度是a千米/时．
（1）4小时后两船相距多远？
（2）若甲船由B港到A港用了4小时36分钟，再立即由A港返回B港时，共花10小时，试求水流速
度a．
【分析】（1）根据两船在静水中的速度及水流的速度，可得出甲船顺水的速度为（50+a）千米/时，乙
船逆水的速度为（50﹣a）千米/时，利用4小时后两船之间的距离＝甲船顺水的速度×时间+乙船逆水的
速度×时间，即可求出结论；
（2）根据A，B两港之间的路程不变，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时，
∴甲船顺水的速度为（50+a）千米/时，乙船逆水的速度为（50﹣a）千米/时，
∴4小时后两船相距4（50+a）+4（50﹣a）＝400（千米）．
答：4小时后两船相距400千米．
（2）4小时36分钟＝4.6小时．根据题意得：4.6（50+a）＝（10﹣4.6）（50﹣a），
解得：a＝4．
答：水流速度是4千米/时．
5．（2023秋•铁东区期末）甲、乙两人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后
经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60千米，相遇后再经1小时乙到达A地．
（1）甲，乙两人的速度分别是多少？
（2）两人从A，B两地同时出发后，经过多少时间后两人相距20千米？
【分析】（1）根据题意可知乙比甲每小时快20千米，从而可以可以列出相应的方程，求出甲乙的速
度；
（2）根据（1）中的答案可以求得总的路程，由题意可知相遇前和相遇后相离 20千米，从而可以解答
本题．
【解答】解：（1）设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+20）千米/时，
4（x+20）＝3（x+x+20）
解得，x＝10，
∴x+20＝30
即甲的速度为10千米/时，乙的速度为30千米/时；
（2）设经过y小时后两人相距20千米，
4×30﹣20＝y（10+30）或4×30+20＝y（10+30）
解得，y＝2.5或y＝3.5，
即经过2.5小时或3.5小时后两人相距20千米．
6．（2024秋•浙江校级月考）上午八时，张、王两同学分别从 A、B两地同时骑摩托车出发，相向而行．
已知张同学每小时比王多行2千米，到上午十时，两人仍相距36千米的路程．相遇后，两人停车闲谈
了15分钟，再同时按各自的方向和原来的速度继续前进，到中午十二时十五分，两人又相距 36千米的
路程．A、B两地间的路程有多少千米？
【分析】由题意可知，从上午10时到中午12时15分共用了2小时15分钟，减去两人闲谈用去的15
分，即两人共行（36+36）千米用了2小时，则两人速度和是（36+36）÷2＝36（千米/时），得两人共
行36千米需要1小时，到上午十时，两人已共行了2小时，共行的路程是36×2＝72（千米），此时两
人相距36千米，所以两地相距72+36＝108（千米）．
【解答】解：12时（15分）﹣10时﹣（15分）＝2小时，10时﹣8时＝2小时，
设两个人的速度和为x千米/时，根据题意得2x＝36+36，
∴x＝（36+36）÷2＝72÷2＝36（千米/时），∴36×2+36
＝72+36
＝108（千米），
答：A、B两地相距108千米．
7．（2024秋•鼓楼区校级月考）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，会在C地相遇．若两
车交换出发点，速度不变，同时出发相向而行，会在 D地相遇，且C、D两地距离占A、B两地距离的
1
．
11
（1）若甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行60分钟后，甲车再提速60%，则两车会在
A、B两地的中点相遇．那么甲车以原速从A地到B地需要多少分钟？
（2）若两车以原速走到另一地后都立即掉头返回，那么两车第6次迎面相遇共需要多少分钟？
【分析】（1）由题意得：AB＝11CD，AC＝BD，令CD＝a千米，甲的速度为5b千米/时，则AB＝11a
千米，AC＝BD＝5a千米，乙的速度为6b千米/时，
再根据“甲车再提速60%，则两车会在A、B两地的中点相遇”列方程求解；
（2）分别求出第1次，第2次，第3次相遇的时间，找出规律再求解．
【解答】解：由题意得：AB＝11CD，AC＝BD，
令CD＝a千米，甲的速度为 5b千米/时，则AB＝11a千米，AC＝BD＝5a千米，乙的速度为 6b千
米/时，
（1）设甲车提速后用x小时，辆车再AB的中点相遇，
则：5b+5b•1.6x＝6b（1+x）＝5.5a，
解得：x＝0.5，a：b＝18：11，
11 18 18
∴11a÷5b= × = （小时）＝216（分钟），
5 11 5
答：甲车以原速从A地到B地需要216分钟；
18
（2）两车第一次相遇用的时间为：11a÷（5b+6b）= （小时），
11
54
两车第二次相遇用的时间为：3×11a÷11b= （小时），
11
90
两车第三次相遇用的时间为：5×11a÷11b= （小时），
11
126
两车第四次相遇用的时间为：7×11a÷11b= （小时），
11……，
两车第6次相遇用的时间为：11×11a÷11b＝18（小时）＝1080（分钟），
答：两车第6次迎面相遇共需要1080分钟．
【类型4 工程问题·7题】
【方法点拨】
（1）基本相等关系：工作量=工作效率×工作时间；
（2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1;
（3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和.
【经典习题】
1．（2023秋•玉环市期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先做9
天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为
x天，则下列方程正确的是（ ）
x x−9 x−9 x
A． + =1 B． + =1
16 24 16 24
x−9 x+9 x x+9
C． + =1 D． + =1
16 24 16 24
1 1
【分析】由题意得甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，甲一共工作了（x﹣9）天，乙一共工作了
16 24
x天，据此即可求解．
1 1
【解答】解：由题意得：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，
16 24
甲一共工作了（x﹣9）天，乙一共工作了x天，
x−9 x
故可列方程 + =1，
16 24
故选：B．
2．（2023秋•滕州市校级月考）修筑一条公路，甲工程队单独承包要90天完成，乙工程队单独承包要120
天完成．如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则
修好这条公路一共需要 8 0 天．
【分析】设乙队单独做还需要x天完成，根据甲乙完成的工作量之和为1建立方程求出其解即可．
【解答】解：设乙单独做还需要x天完成，由题意得，
1 1 x
30×( + )+ =1，
90 120 120
解得x＝50，30+50＝80（天），
∴修好这条公路一共需要80天．
故答案为：80．
3．（2023秋•潍坊期末）某中学需要制作宣传栏，请来三名工人，已知甲单独做12天可完成，乙单独做
20天可完成，丙单独做15天可完成．现在甲和乙合做了4天，余下的工作乙和丙两人合作完成．完成
后，支付酬金4000元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么乙应得 160 0 元．
【分析】设完成这项任务共需要 x天，由题意可知，乙恰好工作了 x天，把整个任务看作“1”，则
4 x x−4 4 x x−4
甲、乙、丙分别完成 、 、 ，可列方程 + + = 1，解方程求得x的值为8，则乙完成
12 20 15 12 20 15
2 2 2
整个任务的 ，应得酬金也占整个酬金的 ，即4000× 元．
5 5 5
【解答】解：设完成这项任务共需要x天，
4 x x−4
根据题意得 + + = 1，
12 20 15
解得x＝8，
8 2
∴乙工作8天，完成这项任务的 ，即 ，
20 5
2
∴4000× =1600（元），
5
∴乙应得1600元，
故答案为：1600．
4．（2023秋•埇桥区期末）整理一批图书，由一个人做要30h完成．现计划由一部分人先做1h，然后增加
6人与他们一起做3h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排 3 人工作．
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设应先安排x人工作，根据题意得：
x x+6
+ ×3=1，
30 30
解得：x＝3，
答：应先安排3人工作．
故答案为：3．
5．（2024•陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，
若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了 3h，求这次小峰打扫了多
长时间．
【分析】设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3﹣x）h，利用小峰完成的工作量+爸爸完成的工作量
＝总工作量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3﹣x）h，
x 3−x
根据题意得： + = 1，
4 2
解得：x＝2．
答：这次小峰打扫了2h．
6．（2023秋•大化县月考）修一条公路，甲工程队单独承包要40天完成，乙工程队单独承包要60天完
成．
（1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？
（2）如果甲、乙两工程队合作12天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这
条路共需要几天？
【分析】（1）可设由两个工程队合作承包，x天可以完成，根据工作总量是单位“1”，列出方程即可
求解；
（2）可设修好这条公路共需要y天，根据工作总量是单位“1”，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）可设由两个工程队合作承包，x天可以完成，依题意有
1 1
（ + ）x＝1，
40 60
解得x＝24（天）．
答：现在由两个工程队合作承包，24天可以完成；
y−12 12
（2）可设修好这条公路共需要y天，依题意有 =1− ，
60 24
解得y＝42（天）．
答：修好这条公路共需要42天．
7．（2023秋•岳阳期末）（列方程解应用题）为了打赢蓝天保卫战，共筑魅力和谐长沙，长沙市环保局对
湘江河流中一段长2400米的河道进行整治，整治任务由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天
完成30米，乙工程队每天完成50米．
（1）若该任务由甲、乙两个工程队合作完成，请问整治这段河道任务用了多少天？
（2）若甲工程队先单独整治一段时间后离开，剩下的由乙工程队来完成，两队共用时60天，求甲、乙
工程队分别整治了多长的河道？【分析】（1）整治这段河道任务用了x天，根据“甲的工作量+乙的工作量＝2400”列出方程并解答．
（2）设甲工程队整治的河道长a米，则乙工程队整治的河道长（2400﹣a）米，根据“根据工作时间＝
总工作量÷工作效率结合两队共用时60天”列出方程并解答．
【解答】解：（1）整治这段河道任务用了x天，
根据题意得：30x+50x＝2400，
解得 x＝30．
答：甲、乙两个工程队合作完成，整治这段河道任务用了30天．
（2）设甲工程队整治的河道长a米，则乙工程队整治的河道长（2400﹣a）米，根据题意得
a 2400−a
+ =60．
30 50
解得a＝900，
因此2400﹣a＝2400﹣900＝1500（米）
答：甲工程队整治的河道长900米，则乙工程队整治的河道长1500米．
【类型5 古代问题·7题】
1．（2024•花溪区一模）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不
足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；
若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列
方程为（ ）
A．5x﹣45＝7x+3 B．5x+45＝7x﹣3
C．5x﹣45＝7x﹣3 D．5x+45＝7x+3
【分析】设买羊的人数为x人，则这头羊的价格是（7x+3）文或（5x+45）文，根据羊的价格不变，即
可得出关于x的一元一次方程．
【解答】解：设买羊的人数为x人，
根据题意，可列方程为5x+45＝7x+3，
故选：D．
2．（2024春•雁峰区期末）我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日
行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每
天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为
（ ）
A．120+10x＝200x B．120x+200x＝120×10
C．200x＝120x+200×10 D．200x＝120x+120×10【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得：200x＝120x+120×10．
故选：D．
3．（2023秋•梁溪区期末）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳
多一尺，井深几何？译文：“用一根绳子去量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井
外余绳一尺，井深几尺？设井深x尺，可列方程为 3 （ x + 4 ）＝ 4 （ x + 1 ） ．
【分析】根据绳子的长度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，
∴绳子的长度为3（x+4）尺，绳子的长度为4（x+1）尺．
∴根据题意可列出方程3（x+4）＝4（x+1）
故答案为：3（x+4）＝4（x+1）．
4．（2023秋•左权县期末）我国古代数学著作“算经十书”之首《九章算术》中记载了一个问题：“今有
人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”其意思为：有若干人一起买
鸡，若每人出9文钱，则多出11文钱；若每人出6文钱，则还差16文钱求人数和鸡的价格．鸡的价格
为 7 0 文钱．
【分析】设鸡的价格为x文钱，根据人数相等，列方程即可解答．
【解答】解：设鸡的价格为x文钱，
x+11 x−16
根据题意得， = ，
9 6
解得x＝70，
∴鸡的价格为70文钱，
故答案为：70．
5．（2023秋•醴陵市期末）在我国的数学史上，有不少数学趣题是用诗词来表述的．民间广为流传至今的
李白买酒数学诗就是其中一例．其诗为：李白无事街上走，提着酒壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一
斗，三遇店和花，喝光壶中酒．试问壶中原有多少酒？意思就是：李白闲着没事提起酒，酒壶中原来是
有酒的，每次遇到酒店便将壶中的酒增加一倍，看到了花，就开始饮酒作诗，每饮一次，喝去一斗酒
（斗，古代酒器）．这样经过酒店遇到花，总共反复三次．在最后一次遇到花时，正好喝光了壶中的
酒．试问李白的酒壶中原有多少酒？设原来酒壶中有酒 x斗，则由题意得方程： 2[ 2 （ 2 x ﹣ 1 ）﹣ 1 ] ﹣ 1
＝ 0 ．
【分析】原来酒壶中有酒x斗，分别计算第一次，第二次，第三次经过酒店遇到花后酒的数量，进而求解即可．
【解答】解：原来酒壶中有酒x斗，，
由题意：第一次经过酒店遇到花后，酒有：2x﹣1，
第二次经过酒店遇到花后，酒有：2（2x﹣1）﹣1，
第三次经过酒店遇到花后，酒有：2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0，
故答案为：2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0．
6．（2023秋•宝鸡期末）列方程解应用题：
鸡兔同笼是我国古代三大算术题目之一，最早记载于《孙子算经》中，距今已经超过 1500年的历史，
原文如下：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？翻译成现代汉语就是：有若
干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，鸡和兔子各有多少只？
【分析】设鸡有x只，根据题意列出方程并解答即可．
【解答】解：设鸡有x只，则兔有（35﹣x）只，
根据题意得 2x+4（35﹣x）＝94，
解得x＝23，
35﹣x＝12，
答：鸡有23只，兔有12只．
7．（2023•迎江区校级四模）《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事，诗云：“今携一壶酒，游
春郊外走．逢朋加一倍入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．”（注：古
代一斗是10升）译文：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增
加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友时，李白正好喝光了壶中的
酒，请问各位，壶中原有多少升酒？
【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方
程．
【解答】解：设壶中原有x升酒，
根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]＝5，
35
解得x= ．
8
35
答：壶中原有 升酒．
8
【类型6 数字问题·7题】
【方法点拨】
（1）多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数， ， ）则这个
两位数可以表示为 ．
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且 ，
， ）则这个三位数表示为： ．
（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为 （其中k表示整数）．
（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为 ．
【经典习题】
1．（2023秋•武功县期末）一个两位数个位上的数是x，十位上的数是1．把x与1对调，新两位数比原两
位数大9．根据题意列出的方程为（ ）
A．10x+1﹣（10+x）＝9 B．10+x﹣10x+1＝9
C．10x+1﹣10+x＝9 D．10+x﹣（10x+1）＝9
【分析】首先表示出这个两位数，然后表示出新的两位数，再根据新两位数比原两位数大9列出方程即
可．
【解答】解：由题意，可得原数为10+x，新数为10x+1，
根据题意，得10x+1﹣（10+x）＝9．
故选：A．
2．（2023秋•新宁县期末）一个五位数，个位数为5，这个五位数加上6120后所得的新的五位数的万位、
千位、百位、十位、个位的数恰巧分别为原来五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，则原来
的五位数为（ ）
A．48755 B．47585 C．37645 D．36475
【分析】设这个数的万位、千位、百位、十位分别为a、b、c、d．都小于等于9．那么这个数可写为
abcd5，根据题意列出方程并解答．
【解答】解：设这个数的万位、千位、百位、十位分别为a、b、c、d．都小于等于9．那么这个数可写
为10000a+1000b+100c+10d+5+6120＝50000+1000a+100b+10c+d．
∴1000a+100b+10c+d＝4875，
∴a＝4，b＝8，c＝7，d＝5，
∴这个数为4875．
故选：A．
3．（2024秋•江北区校级月考）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，把十位上的数字与个位
上的数字对调后，得到的新数与原数的比是6：5，则原来的两位数是 4 5 ．
【分析】设原来的两位数十位数字是x，则个位数字是9﹣x，而新两位数十位数是9﹣x，个位数是x，6
于是列方程得10（9﹣x）+x= （10x+9﹣x），解方程求出x的值，再求出代数式9﹣x的值，即可得到
5
问题的答案．
【解答】解：设原来的两位数个位数字是x，则十位数字是9﹣x，
6
根据题意得10（9﹣x）+x= （10x+9﹣x），
5
解得x＝4，
∴9﹣x＝5，
∴原两位数为45，
故答案为：45．
4．（2024秋•道里区校级月考）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数减去36后，结
果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是 6 2 ．
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（8﹣x），这个两位数为10（8﹣x）+x，对调后
的两位数为10x+（8﹣x），依题意得，10（8﹣x）+x﹣36＝10x+（8﹣x），计算求解，然后作答即可．
【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（8﹣x），这个两位数为10（8﹣x）+x，对
调后的两位数为10x+（8﹣x），
依题意得，10（8﹣x）+x﹣36＝10x+（8﹣x），
解得，x＝2，
∴8﹣x＝6，
∴这个两位数为62．
故答案为：62．
5．（2023秋•东港区校级月考）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，且比百位上的数字小
1，三个数字的和的50倍比这个三位数小2，求这个三位数是 65 2 ．
【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为x﹣3，百位上的数字为x+1，根据三个数字的和的50
倍比这个三位数小2列方程求出x的值，再求出个位上的数字和百位上的数字即可．
【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x﹣3，百位上的数字为x+1，
根据题意得50（x+x﹣3+x+1）+2＝100（x+1）+10x+x﹣3，
解得x＝5，
∴x﹣3＝2，x+1＝6，
∴这个三位数是652，
故答案为：652．6．（2024•王益区开学）把数字5写到一个三位数的左边，再把得到的四位数加上400，它们的和是这个
三位数的55倍，这个三位数是 10 0 ．
【分析】设这个三位数是x，则把数字5写到这个三位数的左边，再把得到的四位数加上400，可表示
为5×1000+x+400，于是列方程得5×1000+x+400＝55x，解方程求出x的值即得到问题的答案．
【解答】解：设这个三位数是x，
根据题意得5×1000+x+400＝55x，
解得x＝100，
∴这个三位数是100，
故答案为：100．
7．（2023秋•蚌山区月考）一个三位数，十位数比个位数字大2，百位数是十位数字的2倍，如果把百位
数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小495．求原来的三位数．
【分析】首先用x表示出各位数，进而表示出这个三位数，以及新的三位数，进而得出等式求出即可．
【解答】解：由题意可得：设个位数为x，则十位数是x+2，百位数是2（x+2），
则这个三位数是：100×2（x+2）+10（x+2）+x，
新的三位数为：[100x+10（x+2）+2（x+2）]，
故100×2（x+2）+10（x+2）+x﹣[100x+10（x+2）+2（x+2）]＝495，
解得：x＝1，
故2×（1+2）＝6，1+2＝3，
答：原来的三位数是：631．
【类型7 年龄问题·7题】
【方法点拨】
“年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问
题的关键.
【经典习题】
1．（2024秋•南岗区校级期中）爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今
年各是多少岁？（ ）
A．爸爸36岁，儿子9岁 B．爸爸35岁，儿子8岁
C．爸爸35岁，儿子9岁 D．爸爸36岁，儿子8岁
【分析】依题意设儿子年龄是x岁，则爸爸的年龄为（x+27）岁．可得x+27＝4x，再解方程即可．
【解答】解：爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，设儿子年龄是x岁，则爸爸的
年龄为（x+27）岁，∴x+27＝4x，
解得：x＝9，
∴爸爸的年龄为36岁．
故选：A．
2．（2023秋•营口期末）今年小明妈妈和小明的年龄之和是36岁，再过5年，妈妈的年龄是小明年龄的4
倍还大1岁，则小明的年龄为几岁．若设今年小明的年龄为x岁，则可列出方程（ ）
A．36﹣x+5＝4（x+5）+1 B．36﹣x﹣5＝4（x+5）+1
C．36﹣x+5＝4（x+5）﹣1 D．36﹣x﹣5＝4（x+5）﹣1
【分析】设小明今年的年龄为x岁，则妈妈今年的年龄为（36﹣x）岁，根据5年后的年龄关系列方程
求解即可．
【解答】解：设小明今年的年龄为x岁，则妈妈今年的年龄为（36﹣x）岁，
根据题意列方程得：36﹣x+5＝4（x+5）+1．
故选：A．
3．（2023秋•湖北期末）哥哥今年的年龄是弟弟的 2倍，弟弟说：“六年前，我们俩的年龄和为 15
岁”，若用x表示哥哥今年的年龄，则可列方程（ ）
x x
A．x+ =15 B．(x−6)+( −6)=15
2 2
x x−6
C．(x−6)+ =15 D．(x−6)+ =15
2 2
x
【分析】由于用x表示哥哥今年的年龄，那么根据题意得到弟弟的年龄是 ，又六年前，他们俩的年龄
2
和为15岁，由此可以列出方程解决问题．
【解答】解：∵用x表示哥哥今年的年龄，
x
∴弟弟的年龄是 ，
2
又六年前，他们俩的年龄和为15岁，
x
∴x﹣6+ −6＝15．
2
故选：B．
4．（2023秋•安州区期末）姐姐比弟弟大3岁，若5年前姐姐的年龄是弟弟的2倍，则姐姐现在的年龄是
11 岁．
【分析】设姐姐现在的年龄是x岁，则弟弟现在的年龄是（x﹣3）岁，根据5年前姐姐的年龄是弟弟的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设姐姐现在的年龄是x岁，则弟弟现在的年龄是（x﹣3）岁，
依题意得：x﹣5＝2（x﹣3﹣5），
解得：x＝11．
故答案为：11．
5．（2023秋•宁河区期中）已知明明的年龄是m岁，红红的年龄比明明的年龄的2倍少4岁，元元的年龄
1
比红红的年龄的 还多1岁．
2
（1）用含m的式子分别表示红红的年龄、元元的年龄以及这三人的年龄和；
（2）若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄．
【分析】（1）根据题意分别列出红红、元元的年龄，再合并同类项，即可求出这三名同学的年龄的
和；
（2）根据题意可得关于m的方程，解方程求出m的值，再分别求出各自的年龄即可．
【解答】解：（1）∵明明的年龄是m岁，根据题意得，
红红的年龄为（2m﹣4）岁，
1
元元的年龄为 (2m−4)+1=m−2+1=(m−1)岁；
2
这三人的年龄和为m+2m﹣4+m﹣1＝（4m﹣5）岁；
（2）根据题意得4m﹣5＝35，
解得 m＝10，
此时2m﹣4＝16，m﹣1＝9，
答：明明的年龄是10岁，红红的年龄是16岁，元元的年龄是9岁．
6．（2023秋•汉阳区期末）父亲和女儿现在年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，
1
女儿年龄是父亲现在年龄的 ，求女儿现在的年龄是多少？
3
【分析】设父亲现在的年龄为x岁，则女儿现在为（91﹣x）岁，根据父女的年龄差相等列出方程解答
即可．
【解答】解：设父亲现在的年龄为x岁，由题意得
1
2（91﹣x）− x＝x﹣（91﹣x），
3
解得：x＝63，91﹣x＝28．
答：女儿现在的年龄是28岁．
7．（2023秋•梁平区期末）古希腊数学家丢番图（公元 3～4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之
一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七
分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他
在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出：
（1）丢番图的寿命；
（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；
（3）儿子死时丢番图的年龄．
1 1 1
【分析】设丢番图的寿命为x岁，则根据题中的描述他的年龄= x的童年+生命的 x+ x+5年+儿子
6 12 7
的年龄+4年，可列出方程，即可求解．
【解答】解：设丢番图的寿命为x岁，
1 1 1 1
由题意得： x + x + x+5 + x+4＝x，
6 12 7 2
解得：x＝84，
1 1 1
而 ×84+ ×84+ ×84+5＝38，即他38岁时有了儿子．
6 12 7
1
他儿子活了 x＝42岁．
2
84﹣4＝80岁．
答：丢番图的寿命是84岁；丢番图开始当爸爸时的年龄是38；儿子死时丢番图的年龄是80岁．
【类型8 日历问题·7题】
【方法点拨】
（1）在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．
（2）日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数．
（3）一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是 31天，四、
六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围
的．
【经典习题】
1．（2024秋•西城区校级期中）小元同学在2024年10月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们
的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．
【解答】解：A、设最小的数是x．x+x+7+x+14＝45，解得x＝8，故本选项不合题意；
B、设最小的数是x．x+x+1+x+8＝45，解得：x＝12，观察日历可知，不符合题意，故本选项符合题
意；
C、设最小的数是x．x+x+6+x+12＝45，解得：x＝9，故本选项不合题意；
D、设最小的数是x．x+x+7+x+8＝45，解得x＝10，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（2024秋•东城区校级期中）如图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题：（1）小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？
（2）“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，
2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由；
【分析】（1）设小明出发的日期是x，则另外两天的日期分别是（x+1），（x+2），根据三天日期之
和是12，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再对照月历表，即可得出结论；
（2）假设S的值能等于74，由“S型”阴影覆盖的最小数字为m，可得出“S型”阴影覆盖的另外三个
数字分别为（m+1），（m+6），（m+7），根据S的值为74，可列出关于m的一元一次方程，解之可
得出m的值，再10月15日在第一列，可得出假设不成立，即S的值不能等于74．
【解答】解：（1）设小明出发的日期是x，则另外两天的日期分别是（x+1），（x+2），
根据题意得：x+x+1+x+2＝12，
解得：x＝3，
∵10月3日是星期二，
∴小明是星期二出发的；
（2）S的值不能等于74，理由如下：
假设S的值能等于74，
∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m，
∴“S型”阴影覆盖的另外三个数字分别为（m+1），（m+6），（m+7），
根据题意得：m+（m+1）+（m+6）+（m+7）＝74，
解得：m＝15，
∵10月15日是星期日，在第一列，
∴m＝15不符合题意，舍去，
∴假设不成立，
即S的值不能等于74．3．（2024秋•越秀区校级期中）如图所示的是2024年11月的月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形
分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），
设“U型”覆盖的五个数字之和为S ，“十字型”覆盖的五个数之和为S ．
1 2
（1）“U型”中最小的数为11，则最大的数为 2 0 ；
（2）S 的值可以是80吗？请说明理由；
2
（3）若S +S ＝201，求S ﹣S 的最大值．
1 2 2 1
【分析】（1）利用最大的数＝最小的数+9，即可求出结论；
（2）假设S 的值可以是80，设“十字型”覆盖的五个数中最小的数为x，则另外四个数分别是x+6，
2
x+7，x+8，x+14，根据S ＝80，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再结合2024年11
2
月9日是星期六，不符合题意，可得出假设不成立，即S 的值不能是80；
2
（3）设“U型”覆盖的五个数中最小的数为a，“十字型”覆盖的五个数中最小的数为b，则S ＝
1
5a+26，S ＝5b+35，由S +S ＝201，可得出a+b＝28，变形后可得出 a＝28﹣b，将其代入S ﹣S ＝
2 1 2 2 1
5b+35﹣（5a+26）＝5b﹣5a+9中，可得出S ﹣S ＝10b﹣131，结合图形，即可得出S ﹣S 的最大值．
2 1 2 1
【解答】解：（1）根据题意得：11+9＝20，
∴最大的数为20．
故答案为：20；
（2）S 的值不能是80，理由如下：
2
假设S 的值可以是80，设“十字型”覆盖的五个数中最小的数为x，则另外四个数分别是x+6，x+7，
2
x+8，x+14，
根据题意得：x+x+6+x+7+x+8+x+14＝80，
解得：x＝9，
又∵2024年11月9日是星期六，不符合题意，
∴假设不成立，
即S 的值不能是80；
2
（3）设“U型”覆盖的五个数中最小的数为a，“十字型”覆盖的五个数中最小的数为b，则S ＝
1a+a+2+a+7+a+8+a+9＝5a+26，S ＝b+b+6+b+7+b+8+b+14＝5b+35，
2
根据题意得：5a+26+5b+35＝201，
∴a+b＝28，
∴a＝28﹣b，
∴S ﹣S ＝5b+35﹣（5a+26）＝5b﹣5a+9＝5b﹣5（28﹣b）+9＝10b﹣131，
2 1
由图可知：b的最大值为15，当b＝15时，S ﹣S 取得最大值，最大值为10×15﹣131＝19．
2 1
答：S ﹣S 的最大值为19．
2 1
4．（2024秋•大连期中）在数学活动课上，李老师带领同学们一起探究2024年11月份的月历．
探究一：
（1）如图1，小强同学在月历中画出带阴影的“口”字方框中的4个数，方框可以任意移动．小强设左
上角的数为a，按顺时针排列其它三个数分别为b，c，d，小强发现a+c＝b+d，请你证明这个结论；
探究二：
（2）如图2，小涛同学在月历中画出带阴影的十字方框，移动十字方框，小涛同学发现十字方框中的
五个数的和是5的倍数，请你证明这个结论；
探究三：
（3）如图3，小丽同学在月历中画出带阴影的“H”形框，移动“H”形框到某个位置时，她说框中的
七个数字和为140，请你判断小丽的说法是否正确，并说明理由．
【分析】依题意，抓住日历中上下两个数差7，左右两个数差1，设其中一个数，表示其它数一一进行
求解即可．
【解答】解：（1）依题意可得：日历中上下两个数差7，左右两个数差1，
依题意，b＝a+1，c＝a+8，d＝a+7，
∴a+c＝a+a+8＝2a+8，b+d＝a+1+a+7＝2a+8，
∴a+c＝b+d；
（2）依题意，设十字方框中间的数为m，则左右上下的数依次为：m﹣1，m+1，m﹣7，m+7，
∴十字方框中的五个数的和为：m﹣1+m+1+m﹣7+m+7+m＝5m，
∴十字方框中的五个数的和是5的倍数；
（3）正确，理由如下：
依题意，设“H”形框最中间的数为n，
则左边三个数和右边三个数依次为：n﹣8，n﹣1，n+6，n﹣6，n+1，n+8，
∴“H”形框中的七个数字和为：n+n﹣8+n﹣1+n+6+n﹣6+n+1+n+8＝7n，
当7n＝140时，n＝20，
∴移动“H”形框到某个位置时，框中的七个数字和可以为140．
5．（2024•济南模拟）如图所示8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放
在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个
图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形．
（1）将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数
图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由．
（2）除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有 ②③④⑤⑥ （填写序号）
（3）将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如
果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意表示出5个数，然后相加求解判断即可；
（2）分别表示出每个位置上的数，然后相加求解判断即可；
（3）根据（2）中的结果得到3c＝33，解得c＝11，然后根据11在日历上的位置求解即可．
【解答】解：（1）∵设其圈住的中心数为n，
∴其他的数分别为n﹣7，n﹣1，n+1，n+7，∴n﹣7+n﹣1+n+n+1+n+7＝5n
∴5n是5的倍数，
∴图形①是倍数图形；
（2）图形②：设中间数为a，则其他的数分别为a﹣8，a﹣7，a﹣6，a﹣1，a+1，a+6，a+7，a+8，
∴a﹣8+a﹣7+a﹣6+a﹣1+a+a+1+a+6+a+7+a+8＝9a，
∵9a是9的整数倍，
∴图形②是倍数图形；
图形③：设第一个数为b，则其他的数分别为b+1，b+7，b+8，
∴b+b+1+b+7+b+8＝4b+16＝4（b+4），
∵4（b+4）是4的整数倍，
∴图形③是倍数图形；
图形④：设中间数为c，则其他的数分别为c﹣6，c+6，
∴c+c﹣6+c+6＝3c，
∵3c是3的整数倍，
∴图形④是倍数图形；
图形⑤：设中间数为d，则其他的数分别为d﹣1，d+1，
∴d+d﹣1+d+1＝3d，
∵3d是3的整数倍，
∴图形⑤是倍数图形；
图形⑥：设中间数为e，则其他的数分别为e﹣8，e﹣6，e+6，e+8，
∴e﹣8+e﹣6+e+e+6+e+8＝5e，
∵5e是5的整数倍，
∴图形⑥是倍数图形；
图形⑦：设第二个数为f，则其他的数分别为f﹣1，f+1，f+6，f+7，f+8，
∴f﹣1+f+f+1+f+6+f+7+f+8＝6f+21，
∵6f+21不是6的整数倍，
∴图形⑦不是倍数图形；
图形⑧：设第一个数为g，则其他的数分别为g+2，g+8，
∴g+g+2+g+8＝3g+10，
∵3g+10不是3的整数倍，
∴图形⑧不是倍数图形；综上所述，除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有②③④⑤⑥，
故答案为：②③④⑤⑥．
（3）由（2）得，3c＝33，
解得c＝11，
∵c是中间的数，而11在日历上是最左边的数，
∴不符合题意，应舍去，
∴不能圈住三个数，使这三个数之和为33．
6．（2024秋•永登县期中）图①是2024年3月的月历．
（1）如图①，如果本周六对应的日期用x（2≤x≤23，且x为整数）表示，那么本周五对应的日期可
以表示为 x ﹣ 1 ，下周六对应的日期可以表示为 x + 7 ；
（2）如图②，若用a表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与
a之间的数量关系．
【分析】（1）周五是周六的前一天，下周六就是再过7天，写出对应关系式即可；
（2）分别写出五个数的代数式加在一起即可．
【解答】解：（1）∵周五是周六的前一天，
∴本周五对应日期可以表示为x﹣1，
∵一星期有7天，
∴下周六对应日期可以表示为x+7；
故答案为：x﹣1，x+7；
（2）因为一星期有7天，则a上面的数为a﹣7，a下面的数为a+7，a左边的数为a﹣1，a右边的数为
a+1，
∴这五天的日期之和为S＝（a﹣7）+（a+7）+a+（a﹣1）+（a+1）＝5a．
7．（2023秋•德清县期末）如图是2024年2月份的月历，其中“n型”和“十字型”两个阴影图形分别覆
盖其中五个数字（“n型”和“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“n型”覆盖的五个数字左上角的数为a，数字之和为S ，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为b，数字
1
之和为S ．
2
（1）分别用a，b的代数式表示S 和S ；
1 2
（2）结合月历，若S ﹣S ＝19，则S +S 的最大值为多少？
1 2 1 2
【分析】（1）根据日历中的规律可表示出“n型”覆盖的五个数字和“十字型”覆盖的五个数字，从
而表示出S ，S 即可；
1 2
（2）由S ﹣S ＝19，整理可得a＝b，结合a，b的取值范围即可获得答案．
1 2
【解答】解：（1）S ＝a+a+1+a+2+a+7+a+9＝5a+19，
1
S ＝b+b﹣1+b+1+b﹣7+b+7＝5b．
2
（2）由（1）知，S +S ＝5a+19+5b，
1 2
S ﹣S ＝5a+19﹣5b＝19，
1 2
∴5a﹣5b＝0，
∴a＝b，
∴S +S ＝5a+19+5b＝10a+19，
1 2
∴当a最大时S +S 也取得最大值，
1 2
由月历图知，a的最大值为20，
所以S +S 的最大值为219．
1 2
【类型9 积分问题·7题】
【方法点拨】
比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分 负场扣分．
【经典习题】
1．（2024秋•道里区校级月考）113中学举办了足球比赛，计分规则为胜一场积2分，平一场积1分，负
一场积0分，某班参加14场比赛始终保持不败的记录，共得22分，则该队胜了（ ）场．
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】设该队胜了x场，则平了（14﹣x）场，根据积分之和等于22，列方程计算即可．
【解答】解：设该队胜了x场，则平了（14﹣x）场，由题意可得：2x+（14﹣x）＝22，
解得x＝8．
故选：B．
2．（2023秋•德州期末）某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或者不做扣1分，某
同学最后的得分是50分，则他做对 1 4 道题．
【分析】设未知数，利用“答对所得分数加上答错或不答所得分数的和为50”列方程求解即可．
【解答】解：设他答对了x道题，则答错或不答的有（20﹣x）道，由题意得，
4x+（﹣1）×（20﹣x）＝50，
解得x＝14，
故答案为：14．
3．（2023秋•越城区校级期末）某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合
格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给
每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的
平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生 3 6 人．
【分析】设成绩合格的学生有x人，成绩不合格的学生有y人，给不及格的学生加上5分成为及格的学
生有n人，列出81x+66y＝76（x+y）和（76+5）（x+y）＝85（x+n）+69（y﹣n），根据范围进行求解
即可．
【解答】解：设成绩合格的学生有x人，成绩不合格的学生有y人，给不及格的学生加上5分成为及格
的学生有n人，
81x+66y＝76（x+y），
解得：x＝2y，
加分后可得：（76+5）（x+y）＝85（x+n）+69（y﹣n），
整理得：x+4n﹣3y＝0，
∴2y+4n﹣3y＝0，
解得：y＝4n，
全班人数为：x+y＝3y＝12n，
∵该班学生人数在30到40人之间，
∴30≤12n≤40，
∵n是正数，
∴n＝3，
∴x+y＝12n＝36，∴全班人数为36人；
故答案为：36．
4．（2023秋•仙居县期末）为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞
赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小
明的总分为82分，则他答对的题数是 1 7 ．
【分析】设答对的题数为x，根据小明的总分为82分列出方程进行求解即可．
【解答】解：设小明答对的题数是x，则答错的题数为20﹣x，
由题意，得：5x﹣（20﹣x）＝82，
解得：x＝17；
故答案为：17．
5．（2024•邱县一模）在伦敦奥运会举办前夕，国家足球协会举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励
方案（每人）如下表：
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖金 1500 700 0
（元/人）
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有负一场．
（1）试判断A队胜、平各几场？
（2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少？
【分析】（1）设A队胜利x场，则平了12﹣x场，根据总积分为20分列出方程即可求解；
（2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题．
【解答】解：（1）设A队胜利x场，
∵一共打了12场，
∴平了12﹣x场，
∴3x+（12﹣x）＝20，
解得：x＝4；
∴12﹣x＝8，
∴A队胜4场，平8场；
（2）∵每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元，
赢了4场，奖金为1500×4＝6000元，
平了8场，奖金为700×8＝5600元，∴奖金加出场费一共17600元；
答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元．
6．（2023秋•长安区期末）嘉嘉和琪琪在一起玩飞镖游戏，每人玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边
界不计入次数，需重新投．积分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1 ﹣2
（1）嘉嘉投中A区5次，B区2次，其余脱靶，求嘉嘉的得分；
（2）琪琪投中A区x次，B区3次，其余脱靶，琪琪得分能否正好超嘉嘉10分，如果能请求出x，如果
不能请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出算式可求解；
（2）由题意列出方程可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：5×3+2×1+3×（﹣2）＝11（分），
答：嘉嘉的得分为11分；
（2）由题意可得：3x+3×1+（10﹣x﹣3）×（﹣2）＝11+10，
解得：x＝6.4．
∵x为正整数，
∴x＝6.4不符合题意．
答：珍珍的得分不能正好超嘉嘉10分．
7．（2023秋•安次区校级月考）某次篮球联赛部分球队积分表
队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分
A 16 8 4 4 36
B 16 2 8 6 28
C 16 0 16 0 32
D 16 6 2 8 30
E 16 0 12 a c
F 16 b 6 10 22（1）由表中数据可知，胜一场积 3 分，平一场积 2 分，负一场积 1 分；
（2）直接写出a＝ 4 ，b＝ 0 ，c＝ 2 8 ；
16−m
（3）设一个队胜m场，负场是平场的2倍，则平 场（用含m的式子表示）；
3
（4）G队平了3场，该队队长声称他们队的积分是30分，你认为可能吗？为什么？
【分析】（1）根据表格即可求解；
（2）根据表格即可求解；
（3）由胜m场，可得平场和负场共（16﹣m）场，再根据负场是平场的2倍，即可求解；
（4）不可能．设胜了x场，则负了（13﹣x）场，由故意可得3x+13﹣x＝24，解方程得到x＝5.5，不合
题意，即可说明．
【解答】解：（1）由C队得到，平一场积32÷16＝2分，
由F队可得，胜了0场，即b＝0，
∴负一场积（22﹣6×2）÷10＝1分，
∴由A队可得，胜一场积（36﹣4×2﹣4×1）÷8＝3分，
故答案为：3，2，1；
（2）由（1）可知，b＝0，
由E队可得，a＝16﹣12＝4，
∴c＝12×2+4×1＝28，
故答案为：4，0，28；
（3）∵胜m场，
∴平场和负场共（16﹣m）场，
∵负场是平场的2倍，
16−m
∴平了 场，
3
16−m
故答案为： ；
3
（4）不可能，理由如下：
若平了3场，积分是30分，则胜场和负场积分为30﹣3×2＝24分，
设胜了x场，则负了（13﹣x）场，
由题意可得，3x+13﹣x＝24，
解得x＝5.5，不合题意，
∴G队平了3场，积分是30分是不可能的．【类型10 几何问题·7题】
1．（2023秋•武城县校级月考）如图，一个大长方形恰好分成6个小正方形，其中最小的正方形面积是1
平方厘米，则这个大长方形的面积为（ ）
A．154平方厘米 B．143平方厘米
C．132平方厘米 D．120平方厘米
【分析】设最大的一个边长为x，则其余正方形的边长分别为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣3，根据大的长方
形的长边相等列方程解出x的值，即可解决问题．
【解答】解：设这六个正方形中最大的一个边长为 x，图中最小正方形的边长是1，其余正方形的边长
分别为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣3，
由题意得：x+x﹣1＝2（x﹣3）+（x﹣2），
解得：x＝7，
∴大长方形的长为：x+x﹣1＝13（cm），宽为：x+x﹣3＝11（cm），
面积为：13×11＝143（平方厘米），
故选：B．
2．（2023秋•武汉期末）把八张形状大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个
底面为长方形的盒子底部（如图1、图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知盒子底部
长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为25：22，则盒子底部长方形的面积为（ ）
A．150 B．176 C．204 D．234
【分析】设小长方形卡片的长为3m，则宽为m，用含m的式子表示两块阴影部分的周长，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用长方形的面积公式即可求出盒子底部长方形的面
积．
【解答】解：设小长方形卡片的长为3m，则宽为m，
由图2可知大长方形的宽为5m，长为（5m+5），
25
则：2[m+(5m+5)]+2×4m= ×[2×5m+2×(5m+5−3m)+2×(5m+5−6m)]，
22
解得：m＝2，
∴盒子底部长方形的面积＝5m×（5m+5）＝10×15＝150．
故选：A．
3．（2023秋•温州期末）如图1是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图，把甲，乙两根相同的玻
璃棒垂直插入水中，高度与水面齐平．如图2，先将甲玻璃棒竖直向上提起4cm，露出水面部分高度为
5cm，保持甲玻璃棒离容器底部4cm不变，再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm，发现乙玻璃棒仍有部分浸
入水中，则乙玻璃棒露出水面部分高度为（ ）
A．7.3cm B．7.5cm C．8.3cm D．8.5cm
【分析】根据题意，得等量关系为：将甲玻璃棒竖直向上提起4cm，露出水面部分高度为5cm，则水面
下降了（5﹣4）cm，说明容器的底面积是两个玻璃棒底面积的6倍，设设两个玻璃棒底面积为x，容器
的底面积为y，玻璃棒高为h，乙露出水面部分高度为m cm，则y（6+h﹣m）＝yh﹣2xh+x（2+h﹣m）
+x（h﹣m），解方程即可求解．
【解答】解：设两个玻璃棒底面积为 x，容器的底面积为y，玻璃棒高为h，乙露出水面部分高度为m
cm，
依题意得：y（h﹣1）＝yh﹣2xh+x（h﹣5）+x（h﹣1），
解得y＝6x．
再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm，则y（6+h﹣m）＝yh﹣2xh+x（2+h﹣m）+x（h﹣m），
解得m＝8.5，
故乙玻璃棒露出水面部分高度为8.5cm．
故选：D．4．（2023秋•历下区期末）如图，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板①，一块长5厘米、宽2厘米的
长方形纸板②与一块正方形纸板③以及另两块长方形纸板④和⑤，恰好拼成一个大正方形，则大正
方形的面积是 3 6 平方厘米．
【分析】设小正方形的边长为x，依据小正方形的边长的表达式，可得方程1+x+2＝4+5﹣x，进而得出
大正方形的边长及面积．
【解答】解：设小正方形的边长为x，依题意得
1+x+2＝4+5﹣x，
解得x＝3，
∴大正方形的边长为6厘米，
∴大正方形的面积是6×6＝36（平方厘米），
答：大正方形的面积是36平方厘米．
故答案为：36．
5．（2023秋•沭阳县月考）如图所示由四种大小不同的八个正方形拼成一个长方形，其中最小的正方形的
边长为2，则这个长方形的周长为 34. 4 ．
【分析】设右上方正方形的边长为x，由题意得出左上方正方形的边长为4，右下方正方形的边长为6﹣
x，根据长方形上下边长度相等列出关于x的方程，解之求得x的值，再根据周长公式计算可得．
【解答】解：设右上方正方形的边长为x，
由题意知左上方正方形的边长为4，右下方正方形的边长为6﹣x，
则4+2x＝2+2+3×（6﹣x），
解得x＝3.6，
所以长方形的周长为2×（4+2+4+3.6×2）＝34.4．故答案为：34.4．
6．（2024秋•乐清市期中）底面积为48cm2，高为10cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为 h ，现将
1
一个边长为4cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为
a cm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时
17
水位高度为h ，若ℎ −ℎ = cm，则a＝ 2 cm．
2 2 1 12
1
【分析】利用边长为4cm的立方体铁块的体积+ ×边长为a cm的立方体铁块的体积＝圆柱形容器的底
2
面积×水面上升的高度，可列出关于a的一元三次方程，解之即可得出结论．
1
【解答】解：根据题意得：43+ a3＝48（h ﹣h ），
2 2 1
1 17
即43+ a3＝48× ，
2 12
解得：a＝2．
故答案为：2．
7．（2023秋•涪城区期末）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；
若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分）．设小长方
形的长和宽分别为a和b（a＞b）．
（1）由图1，可知a，b满足的等量关系是 3 a ＝ 5 b ；
（2）若图2中小正方形的边长为2，求小长方形的面积；
（3）用含b的代数式表示图2中小正方形的面积．【分析】（1）由长方形的对边相等可得3a＝5b，即可求解；
（2）由“小正方形的边长为2”列出方程，可求解；
（3）先求出小正方形的边长，即可求解．
【解答】解：（1）∵图1是长方形，
∴3a＝5b，
故答案为：3a＝5b；
（2）∵3a＝5b，
5
∴a= b，
3
5
由题意可得：2b− b＝2，
3
∴b＝6，
∴a＝10，
∴小长方形的面积＝10×6＝60；
5 b
（3）∵小长方形的边长＝2b﹣a＝2b− b= ，
3 3
b b❑ 2
∴小正方形的面积＝（ ）2= ．
3 9
【类型11 方案决策问题·7题】
【方法点拨】
在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，
到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方
案．
【经典习题】
1．（2023秋•慈利县期末）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三
色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的
单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元．
（1）双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？
（2）若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如表：
三色圆珠笔级别 球珠直径0.7mm 球珠直径0.5mm
单价 1元 1.5元
现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级
别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由．（3）若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三
色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不
变．求此时a的值和总费用．
【分析】（1）设单色圆珠笔单价为x元，双色圆珠笔单价为（x+0.2）元，列出方程求解即可；
（2）设购买单色圆珠笔y支，三色圆珠笔y支，则双色圆珠笔（1000﹣2y）支，然后分购买球珠直径
0.7mm、球珠直径0.5mm三色圆珠笔的总费用等于880列方程，解方程取符合题意的值即可；
（3）设购买m支三色圆珠笔，则单色圆珠笔2m支，双色圆珠笔（1000﹣3m）支，总费用为T元，由
题意列出方程，根据总费用始终不变，求出a和T的值即可．
【解答】解：（1）设单色圆珠笔单价为x元，双色圆珠笔单价为（x+0.2）元，
由题意得：5（x+0.2）+8x＝6.2，
解得：x＝0.4，
∴x+0.2＝0.6，
答：单色圆珠笔单价为0.4元，双色圆珠笔单价为0.6元；
（2）设购买单色圆珠笔y支，三色圆珠笔y支，则双色圆珠笔（1000﹣2y）支，
①当选球珠直径0.7mm三色圆珠笔购买时，
0.4y+0.6（1000﹣2y）+y＝880，
解得：y＝1400＞1000，不合题意；
②当选球珠直径0.5mm三色圆珠笔购买时，
则0.4y+0.6（1000﹣2y）+1.5y＝880，
解得：y＝400，
∴1000﹣2y＝1000﹣800＝200，符合题意，
答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各400支，双色圆珠笔200支；
（3）设购买m支三色圆珠笔，则购买单色圆珠笔2m支，双色圆珠笔（1000﹣3m）支，总费用为T
元，
由题意得：T＝0.4×2m+0.6（1000﹣3m）+am
＝0.8m+600﹣1.8m+am
＝（a﹣1）m+600，
∵无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变，
∴T与m无关，
∴a﹣1＝0，
解得：a＝1，此时T＝600，
答：此时a的值为1，总费用始终不变，总费用为600元．
2．（2023秋•龙港区期末）在“元旦”期间，七（1）班小明，小亮等同学随家长一同到某公园游玩，小
明与他爸爸的对话：
票价：成人：每张40元；学生：按成人票价的5折优票；团体票（16人以上含16人）：按成人票价的
6折优惠．
爸爸：大人门票是每张40元，学生门票是5折优惠，我们一共12人，共需400元．
小明：爸爸，等一下，让我算一算，另一种方式买票是否可以省钱？
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票省钱？请说明理由．
（3）正要购票时，小明发现七（2）班的小张等10名同学和他们的7名家长共17人也来购票，为了节
省费用，经协商，他们决定一起购票，请你为他们设计最省钱的购票方案，并求出此时的费用．
【分析】（1）设小明他们一共去了x个成人，则去了（12﹣x）个学生，利用总价＝单价×数量，可列
出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，可求出购买16张团体票所需费用，将其与 400元比较后，即可得出结
论；
（3）由成人人数及学生人数，可找出最省钱的购票方按是：购买16张团体票，13张学生票，再求出购
票费用即可得出结论．
【解答】解：（1）设小明他们一共去了x个成人，则去了（12﹣x）个学生，
根据题意得：40x+40×0.5（12﹣x）＝400，
解得：x＝8，
∴12﹣x＝12﹣8＝4（人）．
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生；
（2）购买16张团体票更省钱，理由如下：
∵40×0.6×16＝384（元），384＜400，
∴购买16张团体票更省钱；
（3）∵8+7＝15（人），4+10＝14（人），14﹣1＝13（人），
∴购买16张团体票，13张学生票，
∴所需购票费用为40×0.6×16+40×0.5×13
＝384+260
＝644（元）．答：最省钱的购票方按是：购买16张团体票，13张学生票，此时的费用为644元．
3．（2023秋•青山湖区校级期末）育才学校组织七、八年级老师到省内参加研讨会，需要租用大巴车接送
老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．
（1）已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车租金便宜80元，学校第一天租用2辆45座和5辆
25座大巴车，共付租金1140元，则学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？
（2）因为第二天学习内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车
方案．现有如下两种选择：
方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位；
方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆．
请分别计算出使用两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱．
【分析】（1）设25座的客车每辆每天的租金为x元，则45座的客车每辆每天的租金为（x+80）元，
根据租金费用列出方程解答即可；
（2）先求得学校七年级老师的人数，再分别计算方案一和二的费用，比较可得答案．
【解答】解：（1）设25座的客车每辆每天的租金为x元，则45座的客车每辆每天的租金为（x+80）
元，
2（x+80）+5x＝1140，
解得：x＝140，
∴x+80＝220，
答：25座的客车每辆每天的租金为140元，45座的客车每辆每天的租金为220元；
（2）设这个学校七年级老师共有y名，则
y+15 y
= +3
25 45
解得：y＝135
方案一的费用：
（135+15）÷25×140＝840（元），
方案二的费用：
135÷45×220＝660（元），
∵840＞660，
答：方案二更省钱．
4．（2023秋•北仑区期末）随着春节的临近，A、B两款“欢庆新春”主题盲盒在市场上热销．经调研，
学校周边甲、乙两家文具店里这两款网红盲盒的原价一致，A款盲盒原价为12元/个，B款盲盒的原价为16元/个，但两家店都推出了相应的促销活动：
甲商店：A款盲盒打八折促销，B款盲盒打九折促销．
乙商店：这两款盲盒单买都不打折，但推出了盲盒大礼包进行促销，每一个大礼包由 3个A款盲盒和2
个B款盲盒组成，大礼包定价为56元/个．
（1）若要购买A款盲盒6个，B款盲盒5个，参加哪家店的促销活动总价更优惠？优惠多少元？
（2）某学校701班和702班打算在班会课举行迎新主题联谊活动，计划购买A款盲盒30个，B款盲盒
n个（n≥20），若选择到甲商店购买与到乙商店购买盲盒所需的金额相同，求n的值．
（3）已知甲、乙两家店相隔不远，若你是 701班的班长，负责此次活动所需盲盒的购买事项，请在
（2）的基础上，直接写出最为优惠的采购方案．
【分析】（1）分别求出购买A款盲盒6个，B款盲盒5个，优惠前的价钱、在甲店购买的价钱、在乙店
购买的价钱，进行比较即可求得答案；
（2）根据到甲店购买与到乙店购买盲盒所需的金额相同，列出方程即可求得；
（3）由（2）得，在甲商店购买30个A款盲盒和30个B款盲盒的金额与在乙商店购买的金额是相等
的，求出费用，另一种方案为：在乙商店购买10个大礼包后，剩余的10个B款盲盒到甲商店购买，求
出相应的费用，进行比较即可得出答案．
【解答】解：（1）购买A款盲盒6个，B款盲盒5个，优惠前的价钱是6×12+5×16
＝72+80
＝152（元），
在甲店购买的价钱为12×0.8×6+16×0.9×5
＝57.6+72
＝129.6（元），
在乙店购买的价钱为56×（6÷3）+（5﹣6÷3×2）×16
＝112+16
＝128（元），
∵129.6＞128，
∴参加乙家店的促销活动总价更优惠，
152﹣128＝24（元），
答：参加乙家店的促销活动总价更优惠，优惠24元．
（2）由题意可知，12×0.8×30+16×0.9×n＝56×（30÷3）+（n﹣30÷3×2）×16，
解得：n＝30，
∴n的值为30．（3）由（2）得，在甲商店购买30个A款盲盒和30个B款盲盒的金额与在乙商店购买的金额是相
等的，费用为12×0.8×30+16×0.9×30＝720（元），
若在乙商店购买10个大礼包后，剩余的10个B款盲盒到甲商店购买，则费用为：
56×10+16×0.9×10＝704（元），
∵704＜720，
∴最优惠的采购方案是：去乙商店购买10个盲盒大礼包，去甲商店购买10个B款盲盒．
5．（2023秋•陕州区期末）某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨可
获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元．某公司现有这种海产品140吨，该公司的生
产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式
不能同时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司
设计了三种方案：
方案一：全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；
方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？
【分析】方案一由于全部进行粗加工，而16×15＞140，所以粗加工可以全部加工完，然后每吨可获利
润5000元即可求出利润；
方案二由于尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售，那么15天可精加工6×15＝90
吨，剩下的直接销售，再根据已知条件也可求出利润；
方案三由于将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成，那么设将x吨海产品进行精
加工，则将（140﹣x）吨进行粗加工，根据恰好15天完成可以列出方程求出精加工和粗加工各自的吨
数，然后利用已知条件求出利润．
【解答】解：方案一：可获利润为：5000×140＝700000（元）；
方案二：15天可精加工6×15＝90（吨），
说明还有50吨需要直接销售，
故可获利润：7500×90+1200×50＝735000（元）；
方案三：设将x吨海产品进行精加工，则将（140﹣x）吨进行粗加工，
x 140−x
由题意得： + = 15，
6 16
解得：x＝60，
故可获利润7500×60+5000×80＝850000（元），∵850000＞735000＞700000，
所以选择方案三可获利润最多，最多可获利润850000元．
6．（2024秋•南岗区校级月考）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获
利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万
元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能
同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案：
方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售；
方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成．
（1）请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？
（2）水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、
乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表：
运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元）
甲 5 50
乙 6 30
经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离．
【分析】（1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题；
（2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题．
【解答】解：（1）方案一：3×7×0.6+（29﹣3×7）×0.05＝13（万元），
方案二：设x吨制成罐头，则（29﹣x）吨进行加工包装，
x 29−x
+ =7，
3 5
解得x＝9，
获利：9×0.6+20×0.4＝13.4（万元），
∵13.4＞13，
∴方案二可使工厂所获利润最多；
（2）设加工厂到市场的距离为x千米，
5×9x+50×9+243＝6×9x+30×9，
解得x＝47，
答：加工厂到市场的距离为47千米．
7．（2023秋•鼓楼区校级期末）有一中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，
已知甲工厂每天能加工这种校服15件，乙工厂每天能加工这种校服20件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用15天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用100元、付乙厂每天费用120元．
（1）求这批校服共有多少件？
（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工
厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间
的2倍，求乙工厂共加工多少天？
（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三：按
（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提
供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．
x x
【分析】（1）设这批校服共有x件，由单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用 15天得： − =15，
15 20
即可解得答案；
（2）设甲工厂加工a天，根据题意可得：（15+20）a+20×（1+25%）（2a﹣a）＝900，即可解得答
案；
（3）分别计算三种方案的耗时及费用，比较即可得到答案．
【解答】解：（1）设这批校服共有x件，
x x
由题意得： − = 15，
15 20
解得：x＝900，
答：这批校服共有900件；
（2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工2a天，根据题意得：
（15+20）a+20×（1+25%）（2a﹣a）＝900，
解得a＝15，
∴2×15＝30（天），
答：乙工厂共加工30天；
（3）①方案一：由甲厂单独加工时，耗时为900÷15＝60（天），需要费用为：60×（10+100）＝6600
（元）；
②方案二：由乙厂单独加工时，耗时为 900÷20＝45（天），需要费用为：45×（120+10）＝5850
（元）；
③方案三：由两家工厂共同加工时，耗时为30天，需要费用为：15×（100+10）+30×（10+120）＝
5550（元）．
∴按方案三方式完成既省钱又省时间．【类型12 分段计费问题·7题】
【方法点拨】
常见类型：为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话
费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等，解决这些分段讨论问题的关键是理
顺部分与整体的关系：各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同.
【经典习题】
1．（2023秋•上城区期末）某医疗保险产品对住院病人的费用实行分段报销，报销细则如下表．如甲的住
院医疗费为800元，其中报销部分为180元，自付部分为620元．若某人住院医疗费的自付部分是1000
元，那么此人的住院医疗费是（ ）
住院医疗费（元） 报销率（%）
不超过500元的部分 0
超过500～1000元的部分 60
超过1000～3000元的部分 80
… …
A．2500元 B．2000元 C．1750元 D．1250元
【分析】设此人的住院医疗费是x元，根据此人住院医疗费的自付部分是1000元，可列出关于x的一元
一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设此人的住院医疗费是x元，
根据题意得：500+（1000﹣500）×（1﹣60%）+（x﹣1000）×（1﹣80%）＝1000，
解得：x＝2500，
∴此人的住院医疗费是2500元．
故选：A．
2．（2024秋•杭州期中）某购物平台双11期间搞促销活动，一次购物不超过200元时不予优惠；超过200
元而不超过500元时按总价的90%优惠；超过500元时，其中500元部分按9折优惠，超过500元部分
按8折优惠．问：
（1）若要购买总价为350元的货物，则实际付款 31 5 元；
（2）若方方购买一批总价为a（a＞500）元的货物，则方方需付款 （ 0. 8 a +5 0 ） 元（用含a的代数
式表示）；
（3）圆圆两次购物分别付款189元和466元．若圆圆将这两次购物合成一次购买，则可以优惠多少
元？
【分析】（1）取350，乘以90%，计算即可；（2）付款总额＝500×9折+超过500元的部分×8折，把相关数值代入计算即可；
（3）分别求得圆圆第一次购物可能的价格和第二次购物的价格，进而求得两次购物可能的总价格，进
而算出合并付款后的价钱，让圆圆两次购物的付款总额减去合并后付款的金额，即为比两次购物付款优
惠的价格．
【解答】解：（1）350×90%＝315（元）．
故答案为：315；
9 8
（2）500× + （a﹣500）＝450+0.8a﹣400＝（0.8a+50）元，
10 10
故答案为：（0.8a+50）；
（3）设圆圆第一次购物的原价为x元．
①x＜200，不予优惠，
∴x＝189；
②200＜x≤500．
90%x＝189，
解得：x＝210，
设圆圆第二次购物的原价为y元．
∵付款466元，
∴原价超过500元．
∴0.8y+50＝466，
解得：y＝520，
∴两次购物的总价为：189+520＝709（元）或210+520＝730（元），
∴若圆圆将这两次购物合成一次购买，需要付款：0.8×709+50＝617.2（元）或
0.8×730+50＝634（元）．
∴优惠的价格为：189+466﹣617.2＝37.8（元）或
189+466﹣634＝21（元）
答：若圆圆将这两次购物合成一次购买，则可以优惠37.8或21元．
3．（2024秋•江岸区期中）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开
放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里
（注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程 15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公
里的，超出部分每公里加收1元．）
（1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？
（2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当
0＜a≤15和当a＞15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简）
（3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少 3公里，行程结束后反而多付了 6
元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长
相差 2 4 或 3 0 分钟．（直接写出答案）
【分析】（1）根据“城市的新型网约车的计价规则”列式计算；
（2）根据“城市的新型网约车的计价规则”分类列代数式表示；
（3）根据“小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元”列方程求解．
【解答】解：（1）20×2+20×0.5+（20﹣15）＝55（元），
答：小东需付车费55元；
（2）当0＜a≤15时，应付车费：2a+0.5b（元），
当a＞15时，应付车费：2a+0.5b+（a﹣15）＝3a+0.5b﹣15（元），
答：当0＜a≤15时，应付车费（2a+0.5b）元，当a＞15时，应付车费（3a+0.5b﹣15）元；
（3）设小王的行车时长比小张的行车时长多x分钟，
当他们的里程都大于15时，3×2+3+6＝0.5x，解得：x＝30，
当他们的里程都大于15时，3×2+6＝0.5x，解得：x＝24，
故答案为：24或30．
4．（2024秋•海门区期中）为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北京市居民生活用水开
始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准：
阶梯 每户年用水量 水单价 价格组成（单位：元/立方米）
（单位：立方 （单位：元/立方米）
水费 水资源费 污水处理费
米）
第一阶梯 0～180（含180） 5 2.07 1.57 1.36
第二阶梯 180～260（含 7 4.07 1.57 1.36
260）
第三阶梯 260以上 9 6.07 1.57 1.36
例如，某用户的年用水量为 300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为：5×180+7×（260﹣180）+9×
（300﹣260）＝1820（元）．
请解答以下问题：（1）如果A用户的年用水量为100立方米，则A用户需缴纳的水费为 50 0 元；
（2）如果B用户一年缴纳的水费为1040元，则B用户该年用水量为 20 0 立方米；
（3）如果C用户的年用水量为a（a＞260）立方米，求C用户该年应缴纳水费多少元？（用含a的代
数式表示，并化简）
【分析】（1）利用单价乘以水量即可；
（2）首先得出所用自来水的范围，设未知数、根据等量关系列方程即可；
（3）根据数量关系，列出算式即可；
解题的关键是明确题意，找准数量关系，列出方程．
【解答】解：（1）5×100＝500（元），
答：则A用户需缴纳的水费为500元，
故答案为：500．
（2）180×5+（260﹣180）×7＝1460（元），
则使用自来水260立方米时，应缴纳：1460元＞1040元，
设B用户该年用水量为x立方米，
则180×5+（x﹣180）×7＝1040，
解得：x＝200，
答：B用户该年用水量为200立方米，
故答案为：200．
（3）180×5＝900，
（260﹣180）×7＝560，
9（a﹣260）＝9a﹣2340，
900+560+（9a﹣2340）
＝1460+9a﹣2340
＝9a﹣880，
答：C用户该年应缴纳水费（9a﹣880）元．
5．（2023秋•余姚市期末）某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每户
居民预先自主选择．具体电价如下：
电价分类 时段 电价（元/千瓦时）
非峰谷电价 全天24小时 0.538
峰谷电价 高峰时段 上午8：00～晚上22：00 0.568
低谷时段 晚上22：00～次日晨8：00 0.288现某居民户10月份用电100千瓦时．
（1）若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电x千瓦时，请用含x的代数式表示该居民户这
个月应缴纳的电费．
（2）若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元，问该居民户高峰时段用电多少
千瓦时？
【分析】（1）先表示出高峰时用电数，然后分别求出高峰电费和低谷电费，二者相加就是该居民户这
个月应缴纳的电费；
（2）设该居民户高峰时段用电y千瓦时，根据“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元列出方
程，然后解方程作答即可解决问题．
【解答】解：（1）该居民户10月份用电100千瓦时，其中低谷时段用电x千瓦时，
则高峰时段用电（100﹣x）千瓦时，
0.568（100﹣x）+0.288x＝（56.8﹣0.28x）元，
答：该居民户这个月应缴纳的电费为（56.8﹣0.28x）元；
（2）设该居民户高峰时段用电y千瓦时，
由题意得：0.568y+0.288（100﹣y）＝0.538×100﹣13.8，
解得：y＝40，
答：该居民户高峰时段用电40千瓦时．
6．（2023秋•东阳市期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量
年用天然气量在360m3及以 年用天然气量在360m3以上 年用天然气量在600m3以上
下的部分，价格为每立方米 不 超 过 600m3 时 ， 超 过 时，超过600m3部分价格为
2.53元． 360m3部分价格为每立方米 每立方米3.54元．
2.78元．
依此方案请回答：
（1）若小禾家今年使用天然气500m3，则需缴纳天然气费为多少元？
（2）若某户今年缴纳天然气费2286元，求该用户今年使用天然气多少立方米．
【分析】（1）根据题意得出500m3天然气处于第二档天然气用量，计算求值即可．
（2）先计算出第一档和第二档中年用天然气量分别为 360立方米和600立方米应缴纳的费用之和为
1578元，由2286＞1578得出该户今年使用天然气超过 600立方米，设该户2023年使用天然气x立方
米，根据等量关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）500m3天然气处于第二档天然气用量，
需缴纳天然气费为360×2.53+（500﹣360）×2.78＝1300元；（2）∵360×2.53+（600﹣360）×2.78＝1578，2286＞1578，
∴该户今年使用天然气超过600立方米，
设该户今年使用天然气x立方米，
根据题意得：1578+3.54（x﹣600）＝2286，
解得：x＝800，
∴该户今年使用天然气800立方米．
7．（2023秋•越城区校级期末）一家电信公司推出如下两种移动电话计费方式：
类别 计费方式
计费方式A 每月收月租费58元，通话时间不超过150
分钟的部分免费，超过150分钟部分按每
分钟0.25元加收通话费．
计费方式B 每月收月租费88元，通话时间不超过350
分钟的部分免费，超过350分钟部分按每
分钟0.20元加收通话费．
（1）若一个月通话时间为250分钟，则A，B两种计费方式相差多少元？
（2）小敏爸爸选用计费方式A，小聪爸爸选用计费方式B，他们一个月里通话时间正好相同，但他俩的
通话费用却相差25元．试求出他俩一个月的实际通话时间．
【分析】（1）用计费方法A的话费为58+0.25×（250﹣150）＝83（元）；用计费方法B的话费为88
元，即可求解；
（2）设小敏爸爸和小聪爸爸通话时间x分钟，根据题意得：分①当150＜x＜350时；②x＞350时，
两种情况，列出方程解方程即可．
【解答】解：（1）用计费方法A的话费为58+0.25×（250﹣150）＝83（元）；
用计费方法B的话费为88元，
选用A，B两种计费方式，用计费方法B的花费多，多的费用为88﹣83＝5（元），
答：选用A，B两种计费方式相差5元；
（2）设小敏爸爸和小聪爸爸通话时间x分钟，
根据题意得：①当150＜x＜350时，
58+0.25（x﹣150）﹣88＝25或88﹣58﹣0.25（x﹣150）＝25，
解方程得：x＝370（与150＜x＜350矛盾，舍去），或x＝170；
②x＞350时，
58+0.25（x﹣150）﹣[88+0.2（x﹣350）]＝25或88+0.2（x﹣350）﹣[58+0.25（x﹣150）]＝25，
解方程：x＝450，或x＝﹣550（不符合实际，舍去）
答：他俩一个月的实际通话时间为450分钟或170分钟．
