文档内容
第 27 练 椭圆
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．椭圆 的长半轴长 （ ）
A．11 B．7 C．5 D．2
【答案】C
【详解】
由椭圆标准方程知，长半轴长 .
故选：C.
2．已知椭圆 ，则该椭圆的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为椭圆 的方程为 ，即 ，
故 ，又 ，故 .
故选：C.
3．点P为椭圆 上一点， ， 为该椭圆的两个焦点，若 ，则
（ ）
A．13 B．1 C．7 D．5
【答案】D
【详解】
椭圆方程为： ，由椭圆定义可知： ，
故
故选：D
4．双曲线E与椭圆 焦点相同且离心率是椭圆C离心率的 倍，则双曲线E
的标准方程为( )
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
双曲线 与椭圆 焦点相同，则焦点坐标为 ，
椭圆的离心率为 ，∴双曲线的离心率为 ，
设双曲线实半轴长为 ，虚半轴长为 ，焦距为2c，则c=2，
，∴ ，
∴所求双曲线方程为： ．
故选：C．
5．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点M在椭圆C上，则 的最大值
为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【详解】
解：由椭圆 可得 ，所以 ，
因为点 在 上，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立， 最大值为9.
故选：C．
6．已知椭圆 的离心率为 ，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为椭圆 的方程为 ，
所以 ， ， ，
又椭圆 的离心率为
所以 ，解得 ，所以 ,
所以椭圆E的长轴长为 ．
故选：C.
7．已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则 的最大值
为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【详解】
解：设圆 的圆心为 ，则 ，
设 ，则 ，
所以
，当且仅当 时取得最大值，
所以 ．
故选：B．
8．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 ，点 在椭圆
上， ， 分别是 的中点，且 的周长为 ，则椭圆 的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 三点共线，且 ，
因为 分别为 和 的中点，
所以 ，所以 ，
设 ， ， ，
由 ，可得 ，求得 ， ，所以 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，求得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：B.
9．已知点 是椭圆 + =1上的动点（点 不在坐标轴上）， 为椭圆的左，右焦
点， 为坐标原点；若 是 的角平分线上的一点，且 丄 ，则丨 丨的取
值范围为（ ）
A．（0， ） B．（0，2）
C．（l，2） D．（ ，2）
【答案】A
【详解】
如下图，延长 、 相交于点 ，连接 ，
因为 ，
因为 为 的角平分线，所以， ，则点 为 的中点，因为 为 的中点，所以， ，
设点 ，由已知可得 ， ， ，
则 且 ，且有 ，
，
故 ，
所以， .
故选：A.
10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于 ，
两点，若 的最大值为10，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵ ， 为椭圆 的两个焦点，
∴ ， ，
的周长为 ，
即 ，
若 最小，则 最大．
又当 轴时， 最小，此时 ，
故 ，
解得 ．
故选：C.
二、多选题
11．点 ， 为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得 ，则椭圆C
方程可以是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
设椭圆方程为 ，
设椭圆上顶点为B，椭圆 上存在点 ，使得 ，
则需 ，
，
即 ， ， ，
则 ，所以选项AC满足.
故选：AC.
12．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，若方程
所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的
圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B． 的最大值为4
C． 的面积可能为2 D． 的最小值为
【答案】ABD
【详解】
对于选项A，由椭圆C的方程知 ， ， ，所以离心率 ，故选项A
正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得 ，所以 ，即
的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时， 的面积取得最大值
，故选项C错误；
对于选项D，易知 ，则圆 ，所以
，故选项D正确，故选：ABD．
三、解答题
13．已知椭圆 的左焦点 ，右顶点 ．
(1)求 的方程
(2)设 为 上一点（异于左、右顶点）， 为线段 的中点， 为坐标原点，直线
与直线 交于点 ，求证： ．
【解析】(1)
设椭圆 的半焦距为 ．
因为椭圆 的左焦点 ，右顶点 ，
所以 ， ．
所以 ，
故C的方程为： ；
(2)
设点 ，且 ，
因为 为线段 的中点，所以 ，
所以直线 的方程为： ，
令 ，得 ，所以点 ，
此时， ， ，
所以
，
所以 ，所以 ．
14．已知动点 与平面上点 ， 的距离之和等于 .
(1)求动点 的轨迹 方程；(2)若经过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，且点 为 的中点，求直线 的方
程.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
解：设点 的坐标为 ，
，
由椭圆定义可知，点 轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
， ，
，
动点 的轨迹 的方程为 ．
(2)
解：显然直线 的斜率存在且不等于 ，
设 ， ，则 ， ，
又 、 在椭圆上，所以 ， ，
两式相减得 ，即
所以 ，即 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
15．已知椭圆 ： ，焦点为 ､ ，过x轴上的一点M（m，0）（ ）作直
线l交椭圆于A､B两点.
(1)若点M在椭圆内，
①求多边形 的周长；
②求 的最小值 的表达式；
(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得 成立？如果存在，求出m
的取值范围；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)① ；②
(2)
【解析】(1)
①由椭圆 ： 知， ，所以 ，
根据椭圆的定义知，多边形 的周长为： .
②设 ，则
= ，其中 ，
令 ，
①当 ，即 时， ，
②当 即 ， ，
③当 即 ， ，
综上： .
(2)
存在直线l，使得 成立.理由如下：
设直线l的方程为 ，
由 得 .，化简得 .
设 ， ，则
， .
若 成立，
即 ，等价于 .
所以 .
，
，
，
化简得 ，即 ，
代入 中， ，恒成立，
所以 或 ，
所以实数m的取值范围是 .
