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专题4 有理数运算在实际问题中的应用（解析版）
类型一 有理数加减在实际问题中的应用
1．（2022秋•罗山县期末）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣
1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣
10．
（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．
（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算
算，他办事时电梯需要耗电多少度？
【答案】见试题解答内容
【思路引领】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于 0则能回
到1楼，否则不能；
（2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解．
【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10）
＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10
＝28﹣28
＝0，
∴王先生最后能回到出发点1楼；
（2）王先生走过的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|）
＝3×（6+3+10+8+12+7+10）
＝3×56
＝168（m），
∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）．
【总结提升】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用
（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方．
2．（2022秋•高碑店市期末）粮库6天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“+”表示进库，“﹣”表示
出库）：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天
进、出库数量（吨） +25 +8 ﹣12 +34 ﹣36 22
（1）在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是 3 6 吨；（2）经过这6天，粮库里的粮食是增多还是减少了？请通过计算说明；
（3）经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？
【答案】（1）36；（2）增多了，详见解析；
【思路引领】（1）根据比较绝对值的大小即可得到答案；
（2）根据有理数的加法进行计算即可得答案；
（3）根据题意列出算式，可得答案．
【解答】解：（1）∵|﹣36|＞|+34|＞|+25|＞|22|＞|﹣12|＞|+8|，
∴在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是36吨；
故答案为：36；
（2）25+（+8）+（−12）+（+34）+（−36）+22＝+41（吨），
答：库里的粮食是增多了41吨；
（3）480﹣41＝439（吨），
答：6天前库里有粮439吨．
【总结提升】本题考查了正数和负数，读懂题意，根据有理数的运算法则进行计算是解题关键．
3．（2023春•香坊区校级期中）风华中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，排球垫球比赛，
如表为六年级某班48人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球25个．
垫球个数与标准数量的差值 ﹣11 ﹣6 0 8 10 15
人数 5 12 10 6 10 5
（1）求这个班48人平均每人垫球多少个？
（2）规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标
准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？
【答案】（1）答：这个班48人平均每人垫球27个；
（2）答：这个班垫球总共获得319分．
【思路引领】（1）根据题意先求出超过标准垫球的数量，然后求出全班总得垫球数除以总人数就是平
均每人垫球个数；
（2）根据规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；每少垫1个，扣1分列出算式计算．
【解答】解：（1）﹣11×5+（﹣6）×12+0×10+8×6+10×10+15×5
＝﹣55﹣72+0+48+100+75
＝96（个），
（25×48+96）÷48
＝1296÷48＝27（个），
答：这个班48人平均每人垫球27个；
（2）﹣55﹣72+2×223
＝319（分），
答：这个班垫球总共获得319分．
【总结提升】本题考查有理数减法、正数负数，掌握有理数减法法则，其中根据题意列出算式是解题关
键．
4．（2022秋•大连期末）我市去年某一周内每天的最高气温与最低气温记录如表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温 +4 +5 ﹣1 +4 +5 +2 +2
（℃）
最低气温 +1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣3 ﹣2
（℃）
（1）请通过计算求出本周哪一天的温差最大？哪一天的温差最小？
（2）本周最高气温的平均温度比最低气温的平均温度高多少？
【答案】（1）本周温差最大的是周五，温差最小是周三；
（2）本周最高气温的平均温度比最低气温的平均温度5℃．
【思路引领】（1）求出每一天的温差，然后比较大小，求出本周温差最大的是周五，温差最小是周三；
（2）求出本周最高气温的平均温度，最低气温的平均温度高，然后相减得出结果．
【解答】解：（1）4﹣1＝3，5﹣（﹣2）＝7，﹣1﹣（﹣3）＝2，4﹣（﹣2）＝6，5﹣（﹣3）＝8，2
﹣（﹣3）＝5，2﹣（﹣2）＝4，
答：本周温差最大的是周五，温差最小是周三；
（2）[4+5+（﹣1）+4+5+2+2]÷7＝3，
[1+（﹣2）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣3）+（﹣2）]÷7＝﹣2，
3﹣（﹣2）＝5，
答：本周最高气温的平均温度比最低气温的平均温度5℃．
【总结提升】本题考查有理数减法、正数和负数，掌握有理数减法法则是解题关键．
类型2 绝对值在实际问题中的应用
5．（2022秋•市中区期末）2021年9月28日，第十三届中国航展在广东珠海举行，中国空军航空大学
“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，如图所示，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正
数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下：+2.5，﹣1.2，+1.1，﹣1.5，+0.8．（单位：千
米）（1）求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？
（2）若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，则飞机在这5次特技飞
行中，一共消耗多少升燃油？
【答案】（1）飞机比起飞点高了1.7千米；（2）37.2升．
【思路引领】（1）直接把各数相加即可得出结论；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）+2.5﹣1.2+1.1﹣1.5+0.8＝1.7（千米）．
答：此时飞机比起飞点高了1.7千米；
（2）（2.5+1.1+0.8）×6+（1.2+1.5）×4
＝4.4×6+2.7×4
＝26.4+10.8
＝37.2（升）．
答：一共消耗37.2升燃油．
【总结提升】此题主要考查了有理数的混合运算，正负数在实际生活中的应用，熟知有理数混合运算的
法则是解题关键．
6．（2022秋•陵城区期末）薛老师坚持跑步锻炼身体，他以30min为基准，超过30min的部分计为“+”，
不足30min的部分计为“﹣”，将连续7天的跑步时间（单位：min）记录如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与30分钟 +10 ﹣8 +12 ﹣6 +11 +14 ﹣3
差值
（1）薛老师跑步时间最长的一天比最短的一天多跑几分钟？
（2）若薛老师跑步的平均速度为0.1km/min，请计算这七天他共跑了多少km？
【答案】（1）22min；（2）24km．
【思路引领】（1）正数值最大的是跑步时间最长，负数最小的是跑步时间最短的，相减求出时间差即
可；
（2）基准数乘7再加上一组正负数的和，求出跑步所用的总时间，再让总时间乘平均速度，求出结果．
【解答】解：（1）14﹣（﹣8）＝22（min），答：薛老师跑步时间最长的一天比最短的一天多跑22min．
（2）30×7+（10﹣8+12﹣6+11+14﹣3）＝240（min），
240×0.1＝24（km），
答：薛老师这七天一共跑了24km．
【总结提升】本题考查了有理数混合运算和正负数的应用，做题关键读懂题意列算式，进行有理数的混
合运算．
7．（2022秋•商河县校级期末）．出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向
南记作“+”，向北记作“﹣”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米）
﹣2，+5，﹣8，﹣3，+6，﹣6．
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若出租车每公里耗油0.3升，求小王回到出发地共耗油多少升？
（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，
除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？
【答案】（1）北方，距下午出车的出发地8千米；
（2）9升；
（3）112元．
【思路引领】（1）根据有理数的加法进行计算即可得到答案；
（2）将这些数的绝对值相加，求出总路程，再根据出租车每公里耗油0.3升，可得答案；
（3）根据行车记录和收费方法列出算式，计算即可得解．
【解答】解：（1）﹣2+5﹣8﹣3+6﹣6＝﹣8（千米），
∴小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的北方，距下午出车的出发地8千米．
（2）|﹣2|+|5|+|﹣8|+|﹣3|+|6|+|﹣6|＝30（千米），
30×0.3＝9（升），
∴小王回到出发地共耗油9升．
（3）根据出租车收费标准，可知小王今天的收入是10+[10+（5﹣3）×4]+[10+（8﹣3）×4]+10+[10+（6
﹣3）×4]+[10+（6﹣3）×4]＝112（元），
∴小王今天的收入是112元．
【总结提升】本题考查有理数的加法运算，有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则．
8．（2020秋•东莞市校级期中）某中学定于11月举行运动会，组委会在修整跑道时，工作人员从A处开
工，规定向北为正，向南为负，从开工处 A 处到收工处 B 处所走的路程为：+10，﹣3，+4，﹣
2，+13，﹣8，﹣7，﹣5，﹣1．（单位：米）（1）B处在A处的什么方向？距离是多少？
（2）工作人员共修了跑道多少米？
【答案】（1）B处在A处的北方，距离A处1米；
（2）53．
【思路引领】（1）计算从开工处A处到收工处B处所走的路程的和，根据和的符号、绝对值判断方向、
距离；
（2）求出从开工处A处到收工处B处所走的路程的绝对值的和即可．
【解答】解：（1）+10+（﹣3）+4+（﹣2）+13+（﹣8）+（﹣7）+（﹣5）+（﹣1）
＝（10+4+13）+（﹣3﹣2﹣8﹣7﹣5﹣1）
＝27+（﹣26）
＝1（米），
因为1＞0，
所以B处在A处的北方，距离A处1米，
答：B处在A处的北方，距离A处1米；
（2）|+10|+|﹣3|+|+4|+|﹣2|+|+13|+|﹣8|+|﹣7|+|﹣5|+|﹣1|
＝53（米），
答：工作人员共修了跑道53米．
【总结提升】本题考查数轴表示数，正负数的意义，有理数的加减运算，理解正负数的意义、掌握有理
数加减法的计算法则是正确解答的前提．
9．2008年春节前的一场大雪毁坏了许多电力设施．电力局线路检修小组从总站A地驾车出发，在东西向
的路上检修线路．若规定向东为正，则一天中从出发到收工的行驶记录如下（单位：千米）：﹣
5，+8，﹣10，+9，﹣6，﹣3．
（1）在哪次记录时距总站A地最远？
（2）若每千米汽车耗油2升，问从出发到收工共耗油多少升？
【答案】见试题解答内容
【思路引领】（1）由规定向东为正，向西为负，列出运算式，计算出每次记录时距总站 A地的距离，
比较大小即可．
（2）求出汽车的总路程，乘以每千米的耗油量即可．
【解答】解：（1）第1次记录时，距A地5千米；
第2次记录时，因为﹣5+8＝3，所以距A地3千米；
第3次记录时，因为﹣5+8﹣10＝﹣7，所以距A地7千米；第4次记录时，因为﹣5+8﹣10+9＝2，所以距A地2千米；
第5次记录时，因为﹣5+8﹣10+9﹣6＝﹣4，所以距A地4千米；
第6次记录时，因为﹣5+8﹣10+9﹣6﹣3＝﹣7，所以距A地7千米；
故第3次或第6次记录距总站A地最远；
（2）2×（|﹣5|+|+8|+|﹣10|+|+9|+|﹣6|+|﹣3|）＝2×41＝82升．
答：从出发到收工共耗油82升．
【总结提升】此题主要考查正负数以及绝对值在实际生活中的意义，学生在学这一部分时一定要联系实
际，不能死学．
10．（2023秋•民权县月考）国际乒乓球连载正式比赛中，对所使用的乒乓球的质量有严格的标准，下表
是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的个数记为正数）．
一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球
﹣0.5 +0.1 0.2 0 ﹣0.08 ﹣0.15
（1）请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
（2）若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒
乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【思路引领】求出各数的绝对值，然后根据绝对值越小，越接近标准．
【解答】解：（1）四号球，|0|＝0正好等于标准的重量，
五号球，|﹣0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，
二号球，|+0.1|＝0.1，比标准球重0.1克，
（2）一号球|﹣0.5|＝0.5不合格，
二号球|+0.1|＝0.1，优等品，
三号球|0.2|＝0.2，合格，
四号球|0|＝0，优等品，
五号球|﹣0.08|＝0.08，优等品，
六号球|﹣0.15|＝0.15，合格品，
【总结提升】本题主要考查了正数和负数和绝对值，理解正、负数的意义并准确求出六个球的对应的数
据的绝对值是解题的关键．
类型三 有理数混合运算在实际问题中的应用
11．（2021•安徽模拟）某饮品店推出A、B两款新口味饮品，经统计发现上周两款饮品销量一致，本周A
款饮品销量减少了10%，但总销量却增加了5%，则本周B款饮品销量比上周增加了多少？【答案】20%．
【思路引领】把上周两款饮品销量都看作单位1，先求出本周A款饮品销量，总销量，进一步求得本周
B款饮品销量，依此即可求解．
【解答】解：把上周两款饮品销量都看作单位1，则
本周A款饮品销量为1×（1﹣10%）＝0.9，
总销量为（1+1）×（1+5%）＝2.1，
（2.1﹣0.9﹣1）÷1×100%＝20%．
故本周B款饮品销量比上周增加了20%．
【总结提升】本题考查了有理数的混合运算，关键是求出本周B款饮品销量．
12．（2021秋•蚌山区校级月考）温度的变化与高度有关：高度每增加1km，气温大约下降5.8℃．
（1）若夏季某天的地表温度为37℃，则此时高度为5km的山陂的温度是多少？
（2）如果A山顶温度是﹣50.3℃，B山顶温度是﹣38.7℃，此时地表温度是﹣1℃，那么A山比B山高
多少千米？
【答案】（1）8℃．（2）2千米．
【思路引领】（1）根据题意，列出算式进行计算；
（2）先分别求出A山与B山的高度，再相减即可．
【解答】解：（1）依题意，得37﹣5×5.8＝37﹣29＝8（℃）．
答：山顶温度为8℃．
（2）A山的高度为：[﹣1﹣（﹣50.3）]÷5.8＝49.3÷5.8＝8.5（千米），
B山的高度为：[﹣1﹣（﹣38.7）]÷5.8＝37.7÷5.8＝6.5（千米），
A山比B山高：8.5﹣6.5＝2（千米）．
答：A山比B山高2千米．
【总结提升】本题考查了有理数的混合运算．关键是根据题意列出算式．
13．张先生十月份的工资为8000元，超过5000元的部分需要交3%的个人所得税．
（1）张先生十月份税后的工资是多少元？
（2）张先生将该月税后工资的一半存入银行，然后用余额购买一部定价为3000元的某品牌手机，恰好
遇到手机店开展活动；该款手机打八折，则买完手机后还剩下多少元？
（3）某家超市正在开展促销活动，促销方案如下：若张先生在此次促销活动中付款 980元，问他购买
的商品原价是多少元？
商品原价 优惠方案不超过500元 不打折
超过500元但不超过800元的部分 打八折
超过800元的部分 打七五折
【答案】（1）7910元；
（2）1555元；
（3）1120元．
【思路引领】（1）利用税后的工资＝工资﹣超过5000元的部分×3%，即可求出结论；
（2）利用剩余金额＝税后工资的一半﹣手机打折后的费用，即可求出结论；
（3）设张先生购买的商品原价是x元，由张先生在此次促销活动中付款980元，即可得出关于x的一元
一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）8000﹣（8000﹣5000）×3%＝7910（元）．
答：张先生十月份税后的工资是7910元．
1
（2）7910× −3000×0.8＝1555（元）．
2
答：则买完手机后还剩下1555元．
（3）设张先生购买的商品原价是x元，
依题意得：500+（800﹣500）×0.8+（x﹣800）×0.75＝980，
解得：x＝1120．
答：张先生购买的商品原价是1120元．
【总结提升】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计
算；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
