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专题5.18 平移与命题、定理、证明（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】命题、定理、证明
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点提醒：
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出
的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，
定理也可以作为继续推理的依据.
3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
要点提醒：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、
基本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即
可．
【知识点二】平移
1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点提醒：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
2. 性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体
来说：
（1）平移后，对应线段平行且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
要点提醒：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
3. 作图：
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点．
【考点目录】
【考点1】命题与证明； 【考点2】定理与证明；
【考点3】图形的平移与作图； 【考点4】平移的性质证明与求值；
【考点5】平移的性质的应用；
【考点1】命题与证明；
【例1】（2022下·山东滨州·七年级校考阶段练习）如图，有如下三个论断：① ，②
，③ ．
（1）请从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用“如
果……那么……”的形式写出来；（写出所有的真命题，不要说明理由）
（2）请你在上述真命题中选择一个进行证明．
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案；
（2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直
线的判断方法，即可证得．
（1）解：①如图，如果 ， ，那么 ；②如图，如果 ， ，那么 ；
③如图， ， ，那么 ；
（2）解：①如图，如果 ， ，那么 ；
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，如果 ， ，那么 ；
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③如图， ， ，那么 ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查命题与定理、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题．
【变式1】（2023上·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）对于命题“如果 ，那么
．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题考查了反证法；
根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
解：A. ，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；
B. ， ，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；C. ， ，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
D. ， ，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
故选：A．
【变式2】（2023上·山东菏泽·八年级校考阶段练习）把命题“同角或等角的余角相等”改写成“如
果...那么...的形式”： ．
【答案】如果有两个角是同一个角或者两个相等的角，那么这两个角的余角相等
【分析】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．命题有题设和结论
两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角
相等”，
故答案为：如果两个角是同一个角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等．
【考点2】定理与证明；
【例2】（2020下·江苏泰州·七年级统考期末）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所
截， ， ．求证： ；
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．
【答案】（1）见分析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利
用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．
解：（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠2＝∠3，
∴CD∥EF，∴AB∥EF，
∴∠B＋∠F＝180°；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直
线平行，同旁内角互补．
【点拨】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．
要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【变式1】（2020下·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．命题是定理，定理是命题
B．命题不一定是定理，定理不一定是命题
C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理
D．定理可能是真命题，也可能是假命题
【答案】C
【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可．
解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误；
B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误；
C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确；
D、定理不可能是假命题，所以本选项错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和
定理的定义及其关系是解题的关键．
【变式2】（2019上·八年级课时练习）如图所示， ，那么 ，
依据是 ．
【答案】 ， 同角的余角相等
【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.
解：∵ ，
∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，根据同角的余角相等，
∴∠AOC=∠BOD；
故答案为 ，同角的余角相等.
【点拨】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理.
【考点3】图形的平移与作图；
【例3】（2023下·山东济宁·七年级统考期末）如图，在边长为 的小正方形组成的网格中，点 ，
， 均为格点 网格线的交点 ， 为射线 与网格线的交点 平移线段 ，使点 与点 重合，记点
的对应点为 ，连接 ．
（1）根据题意，补全图形；
（2）若不增加其他条件，图中与 相等的角有谁？说明理由．
【答案】（1）见分析；（2） 相等的角有 、 、 ，理由见分析
【分析】（1）根据平移的定义画出相应的图形即可；
（2）由平移的性质可得出四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质以及平行线的性质进
行判断即可．
（1）解：补全图形如图所示：
（2）解： 相等的角有 、 、 ，
理由：由平移的性质可知， ，
四边形 是平行四边形，
，
、 ，．
【点拨】本题考查平移的性质，掌握平移的性质，平行四边形的性质以及平行线的性质是正确解答的
前提．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）观察下面图案，在A、B、C、
D四幅图案中，能通过图案1平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形的平移，根据图形的平移只改变位置，不改变大小，形状和方向进行求
解是解题的关键．
解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，只有C选项中的图案是图案1平移得到的，
故选C．
【变式2】（2023·山东淄博·统考中考真题）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由
左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．
【答案】6
【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离．
解：如图，点 是一组对应点， ，所以平移距离为6；
故答案为：6【点拨】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键．
【考点4】平移的性质证明与求值；
【例4】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，△ABC是等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平
移，使点B与点C重合得到△DCE，连接BD交AC于点F．猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论．
【答案】AC⊥BD．证明见分析
解：AC⊥BD．证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
， ．
∵△DCE是由△ABC平移得到的，
， ，
．
又 ，
，
， ．
【变式1】（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）如图，在锐角 中，
，将 沿着射线 方向平移得到 （平移后点 ， ， 的对应点分别是点 ， ，
），连接 ，若在整个平移过程中， 和 的度数之间存在2倍关系，则 不可能的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，分如图，当点 在 上时，当点 在
延长线上时，两种情况种又分 当 时，当 时，过点 作 ，
证明 ，得到 ，再通过角之间的关系建立方程求解即可．
解：第一种情况：如图，当点 在 上时，过点 作 ，
∵ 由 平移得到，
，
∵ ，，
，
，
当 时，
设 ，则 ，
∴ ，
，
，
解得： ，
；
当 时，
设 ，则 ，
∴ ，
，，
解得： ，
；
第二种情况：当点 在 延长线上时，过点 作 ，
同理可得 ，
当 时，
设 ，则 ，
∴ ，
，
，
解得： ，
；
由于 ，则 这种情况不存在；
综上所述， 的度数可以为20度或40度或120度，
故选：C．
【变式2】（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）如图， ， ， ，
将 沿 方向平移 ，得到 ，连接 ，则阴影部分的周长为 ．
【答案】11
【分析】本题考查平移的性质，根据平移性质得到 ， ，然后计算出阴影部分周长为
的周长即可求解．利用平移的性质得到 ， 是解答的关键．
解：∵将 沿 方向平移 ，得到 ，
∴ ， ，∴阴影部分的周长为
，
故答案为：11．
【考点5】平移的应用.
【例5】（2022下·河北唐山·七年级统考期末）动手操作：
（1）如图1，在 的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段 向右平移，得到线段 ，连
接 ， ．
①线段 平移的距离是________；
②四边形 的面积是________；
（2）如图2，在 的网格中，将 向右平移3个单位长度得到 ．
③画出平移后的 ；
④连接 ， ，多边形 的面积是________
（3）拓展延伸：如图3，在一块长为 米，宽为 米的长方形草坪上，修建一条宽为 米的小路（小
路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．
【答案】（1）① ；② ；（2）③见分析，④ ；（3） 平方米．
【分析】（1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解
即可；
（2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积
公式求解即可；（3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长 米，宽为b米的长方形，再利
用长方形的面积公式求解即可．
（1）解：①根据平移性质，线段 平移的距离是 ；
②根据图形，四边形 的面积为: ；
故答案为：① ；② ；
（2）解：③如图所示， 即为所求作；
④由图形知， ，
∴多边形 的面积为:
，
故答案为： ；
（3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形，
长方形的长 米，宽为b米，
则剩下的草坪面积是： ，
故答案为： 平方米．
【点拨】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键．
【变式1】（2023下·河北廊坊·七年级校考期中）如图，学校要在领奖台上铺红地毯，地毯每平米40
元，至少花多少钱才能铺满整个领奖台（ ）
A．1200元 B．1320元 C．1440元 D．1560元
【答案】C
【分析】将地毯分成水平方向与竖直方向的两类，分别求出其面积，然后再相加，即可求出地毯的总面积，最后乘以地毯的价格．
解：地毯在水平面上的面积为 ，
地毯在竖直面上的面积为 ，
所以，地毯的总面积为： ．
铺满整个领奖台需要花： （元）
故选：C．
【点拨】本题考查了长方形的面积求法，解题的关键是将地毯的各个小长方形的面积分成水平方向与
竖直方向两种情况，然后分别叠加即可．
【变式2】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，有一块长方形区域， ，现
在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为1米，若 边的长为5米，则图中空白区域的面积为
平方米．
【答案】36
【分析】利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，则矩形的长为 米，宽为 米，根据
矩形面积公式计算即可．
解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，则矩形的长为 （米），宽为 （米），
∴空白区域的面积 （平方米），
故答案为：36．
【点拨】本题考查平移的性质，解答本题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形．
