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第二讲 复数的概念与运算
真题展示
2022新高考一卷第一题
若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
知识要点整理
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决 +1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
① =-1，即i是方程 +1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a
与bi相加，结果记作________.注意到所有实数以及i都可以写成________的形式，从
而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如________的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合
C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程 +1=0在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有
a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的________与________.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0
时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做________.
显然，实数集R是复数集C的________，即R C.
复数z=a+bi可以分类如下：复数 ，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间
的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与
c+di相等当且仅当________，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相
等时，两个复数才相等.
3．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi 有序实数对(a,b)，而有序实数对
(a,b) 平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直
角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每
一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数
对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量
对应)，即复数z=a+bi 平面向量 ，这是复数的另一种几何意义.
4．复数的模
向量 的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi
是一个实数a，它的模等于________（就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=
(r 0,r∈R).
5．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复
数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用________表示，即若z=a+bi，
则________.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为________的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和
它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
① =z.
②实数的共轭复数是它本身，即z= z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
6．复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的
距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z
组成的集合是以________为圆心，________为半径的圆，|z|r表
示圆的外部.
三年真题
一、单选题
1．已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．4．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5． （ ）
A． B． C． D．
6．若 ．则 （ ）
A． B． C． D．7．已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
8．复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．设 ，则 （ ）A． B． C． D．
11．已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ）
A． B．1 C． D．3
12．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．14．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．已知 是虚数单位，化简 的结果为_______．
16． 是虚数单位，复数 _____________．
三年模拟
一、单选题
1．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知复数 满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2022·四川·石室中学模拟预测（文））已知i是虚数单位，复数 ，则复数 的
虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广西·南宁二中一模（文））若 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知复数 的共轭复数为 ，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
5．（2022·四川南充·一模（理））若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·模拟预测）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2022·四川成都·一模（理））如图，在复平面内，复数 对应的向量分别是
，则 （ ）A．1 B． C．3 D．5
8．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））设复数 ， 是z的共轭复数，
则 （ ）
A．-3 B．-1 C．3 D．5
9．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））设i为虚数单位，复数 满足
，则 （ ）
A．2 B． C． D．10．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））设i为虚数单位，复数z满足
，则 （ ）
A．2 B． C． D．
11．（2021·河南三门峡·一模（理））复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2022·上海宝山·一模）设复数 （其中i为虚数单位），则 ______.13．（2022·上海普陀·一模）若 （其中i表示虚数单位），则 ______．
14．（2022·上海长宁·一模）复数 满足 （其中i为虚数单位），则复数z在复平面
上所对应的点 到原点O的距离为___________
15．（2022·上海虹口·一模）设 ， ， 为虚数单位，若 是关于 的二次方程
的一个虚根，则 ______．
16．（2022·上海杨浦·一模）设i是虚数单位，则复数 的虚部是________．
