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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 35 练 空间向量的运算及其坐标表示（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量 ， ，且 ，则x的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
3．已知三棱锥 ，点M，N分别为 ， 的中点，且 ， ， ，用 ， ，
表示 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
4．设 ，向量 ， ， 且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
5．平行六面体 中，化简 （ ）
A． B．C． D．
6．已知 为空间任意一点，若 ，则 四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
7．如图，在平行六面体 中， ．点 在 上，且 ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
8．在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，则下列向量
中与 相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，空间四边形OABC中， ，点M在 上，且 ，点N为BC中点，
则 （ ）A． B．
C． D．
10．四面体 中， ， 为 中点，设 则 （ ）
A． B．
C． D．
11．已知点 ， ，C为线段AB上一点，且 ，则点C的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
12．在四面体 中， ， ， ，D为BC的中点，E为AD的中点，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
13．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四
棱锥 为阳马， 平面 ，且 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．二、多选题
14．若 ， ， ， 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（ ）
① ；
② ；
③ ；
④ .
A．① B．② C．③ D．④
15．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的
是（ ）
A． B．
C． D．
16．在空间直角坐标系中，已知 ， ， ，则（ ）.
A．点 关于 平面对称的点是
B．点 关于 轴对称的点是
C．
D．
17．在正方体 中，设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在三棱柱 中， 分别是 上的点，且 .设
，若 ，则下列说法中正确的是
（ ）A． B．
C． D．
19．如图，已知四面体 的所有棱长都等于 ， 分别是 的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
20．空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，则（ ）
A．
B． 是等腰直角三角形
C．与 平行的单位向量的坐标为 或D． 在 方向上的投影向量的坐标为
21．在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， ，则以下结论正确的有
（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
22．如图，三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点，设 ， ， ，则
.
23．设 ，向量 ，则 .
24．已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 的值是 .
25．已知 ， ，且 ，则 .
26．已知空间向量 和 ，则 在 上的投影向量为 (用坐标表示).
27．在长方体 中，设 ， ，则 ．
28．已知向量 ，若 ，则 ．
29．已知正方体 中，若点 是侧面 的中心，且 ，则
.30．已知基底 ， ， ，若 ，则 .
31．如图，正三棱柱 为的底面边长为 ，侧棱长为 ，则 与 所成的角的正弦值为
．
32．已知向量 满足 ，且 ，则 ， 在 上的投影
向量的坐标为 ．
33．如图，平行六面体 中， ， ， ， ，
则线段 的长为 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．在空间四边形ABCD中，若向量 ， ，点E，F分别为线段BC，AD的中
点，则 的坐标为（ ）A． B．
C． D．
2．向量 ，若 ，且 ，则 的值为（ ）
A． 或1 B．1 C．3或 D．3或1
3．在四面体 中， ，点 在棱 上，且 ， 为 中点，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在三棱柱 中， ， ， ， ，
与 的交点为M，则 （ ）．
A． B． C． D．
5．已知直线 的一个方向向量 ，直线 的一个方向向量 ，若 ，且 ，则
（ ）
A．-3或1 B．3或
C．-3 D．1
6．已知向量 在向量 上的投影向量是 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
7．如图，在三棱锥 中， 是边长为3的正三角形， 是 上一点， ， 为
的中点， 为 上一点且 ，则 （ ）
A．5 B．3 C． D．
8．在平行六面体 中，其中 ， ， ，
则 （ ）
A．100 B． C．56 D．10
9．如图， ， 分别是圆台上、下底面的两条直径，且 ， ， 是弧 靠近点
的三等分点，则 在 上的投影向量是（ ）.
A． B． C． D．10．在正四面体 中， ， ， ， 为 中点， 为 靠近 的三等分点，用向
量 ， ， 表示 （ ）
A． B．
C． D．
11．正四面体 的棱长为2，点D是 的重心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
12．在平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形， ， ，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知空间向量 ，且 ，则 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
14．正方体 的棱长为2，P是空间内的动点，且 ，则 的最小值为
（ ）.
A． B．
C． D．
15．如图，在棱长为1的正方体 中，点 在 上，点 在 上，则 的最小值为
（ ）A．1 B． C． D．
二、多选题
16．已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．记 与 的夹角为 ，则 D．若 ，则
17．空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，则（ ）
A．
B． 与 夹角余弦值为
C．与 平行的单位向量的坐标为 或
D． 在 方向上的投影向量的坐标为
18．下列命题正确的是（ ）
A．若 是平面 的一个法向量， 是直线 上不同的两点，则 的充要条件是
B．已知 三点不共线，对于空间中任意一点 ，若 ，则 四点
共面C．已知 ，若 与 垂直，则
D．已知 的顶点分别为 ，则 边上的高 的长为
19．在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
21．下面四个结论正确的是（ ）
A．已知向量 ，则 在 上的投影向量为
B．若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
C．已知 是空间的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底
D．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量 ，则直线
三、填空题
22．设空间向量 ， ，若 ，则 ．
23．已知空间三点坐标分别为 ， ， ，点 在平面 内，则实数 的值
为 ．
24．已知空间向量 ， ， 两两夹角均为 ，其模均为1，则 ．
25．在空间四边形 中， 为 中点， 为 的中点，若 ，则使 、 、
三点共线的 的值是 ．26．如图所示，已知 平面ABC， ， ，则向量 在向量 上的投影向
量是 .
27．在如图所示的平行六面体 中，已知 ， ， ，
N为 上一点，且 .若 ，则 的值为 .
28．已知 ， ，则 最大值为
29．如图，空间四边形 的各边及对角线长都为2， 是 的中点， 在 上，且 ，则
向量 与向量 所成角的余弦值为 ．【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．正四面体 的棱长为4，空间中的动点P满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．在空间直角坐标系中， 为坐标原点，满足 ，则下
列结论中不正确的是
A． 的最小值为-6 B． 的最大值为10
C． 最大值为 D． 最小值为1
3．已知空间向量 两两的夹角均为 ，且 ， .若向量 满足 ，
，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．0
二、多选题
5．如图，底面 为边长是 的正方形，半圆面 底面 ．点 为半圆弧 上 （不含 ，
点）的一动点．下列说法正确的是（ ）A． 的数量积不恒为
B．三棱锥 体积的最大值为
C．不存在点 ，使得
D．点 到平面 的距离取值范围为
6．在长方体 中， ，E，F为 的两个三等分点，点P是长方体
表面上的动点，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为2
C． 的最小值为30° D． 的最大值为90°
三、填空题
7．已知点 为棱长等于 的正方体 内部一动点，且 ，则 的值达到最小时，
与 夹角大小为 ．
8．已知平行六面体 ， ， ，则
．
9．在正三棱锥 中， ， 为 的中点， 为 上靠近 的三等分点， 在平
面 上，且满足 ， 在 的边界上运动，则直线 与 所成角的余弦值的取值范
围是 .10．已知共面的三个单位向量 ， ， 满足 ，若空间向量 满足 ，且对
于任意 ， ，恒有 ，则 .
