文档内容
专题 7.3 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究
问题之五大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 利用补形法或分割法求图形的面积】............................................................................................1
【考点二 与图形面积相关的点的存在性问题】............................................................................................5
【考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】..................................................................................14
【考点四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】..................................................................................20
【考点五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】..............................................................................26
【典型例题】
【考点一 利用补形法或分割法求图形的面积】
例题：（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）已知 ， ， ．
(1)请在平面直角坐标系中画出 ．
(2)请判断 的形状（需说明理由），并求 的面积．【变式训练】
1．（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，
， ，过点 作 轴，过点 作 轴， 轴，过点 作 轴， 分
别与 和 交于点 和点 ， 分别与 和 交于点 和点 ．
(1)直接写出下列点的坐标：点 ____，点 ____，点 ____；
(2)利用图形求 的面积．
2．（2022上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 ， ，(1)在平面直角坐标系中画出 ．
(2)求 的面积．
3．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，O为原点，点 ， ，
．
(1)如图①，则三角形ABC的面积为______；
(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求 的面积．【考点二 与图形面积相关的点的存在性问题】
例题：（2023上·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，已知 ， ， ，
．
(1)求 的面积；
(2)设P为x轴上的一点，若 ，求点P的坐标．
【变式训练】
1．（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做 ， ，(1)求 的面积．
(2)在y轴上找一点D，使 ，求点D的坐标．
2．（2023上·河南郑州·八年级郑州市第八中学校考期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点 在 轴上，
点 、 在 轴上， ， ， ，点 的坐标是 ．
(1)求 的顶点 的坐标；
(2)连接 、 ，并用含字母 的式子表示 的面积 ；
(3)在（2）问的条件下，是否存在点 ，使 的面积等于 的面积？如果存在，请求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
3．（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 坐标
为 ，点 坐标为 ，且 ， ， 满足关系式(1)请求出 、 、 三点的坐标：
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积；
(3)在（2）的条件下，当 时，在 轴上是否存在点 ，使三角形 的面积等于四边形 面积
的 ？若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2021下·福建福州·七年级校联考期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知 ，其中a，
b满足 ．
(1) ， ；
(2)点 在x轴负半轴上；
①请用含m的式子表示四边形 的面积；
②若线段 通过平移恰好能与线段 重合（O与C重合，B与A重合），Q为线段 上一点，P为x轴
上一点，且 （即三角形 面积为四边形 面积的 ），求点P的坐标．
5．（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ，且 满足 ．同时将点 分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点 的
对应点 ，连接 ．
(1)求点 的坐标及四边形 的面积；
(2)在坐标轴上是否存在一点 ，连接 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，试说明理由；
(3) 是线段 上的一个动点，连接 ，当点 在 上移动时（不与点 重合），给出下列结论：
① 的值不变；② 的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这
个结论并求其值．
【考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】
例题：（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离
的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
(1)点 的“短距”为______；
(2)若点 的“短距”为3，求m的值；
(3)若 ， 两点为“等距点”，求k的值．【变式训练】
1．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离
的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”．
(1)点 的“长距”为 ；
(2)若点 是“完美点”， 求a 的值；
(3)若点 的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为 ，试说明： 点 D 是“完
美点”．
2．（2023下·云南昭通·七年级统考期末）在平面直角坐标系 中，对于任意三点 ， ， 的“矩面
积”给出如下定义：“水平底” ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” ：任意两点纵坐标差的最
大值，则“矩面积” ．
例如：三点的坐标分别为 ， ， ，则“水平底” ，“铅垂高” ，“矩面
积” .
(1)若 ， ， ，则“水平底” ______，“铅垂高” ______，“矩面积”
______
(2)若 ， ， 的“矩面积”为20，求点 的坐标．
3．（2022上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点 ，给出如下定义：记 ，那么我们把点 与点 称为点P的一对“和谐点”．
例如，点 的一对“和谐点”是点 与点
(1)点 的一对“和谐点”坐标是 与 ；
(2)若点 的一对“和谐点”重合，则y的值为 ．
(3)若点C的一个“和谐点”坐标为 ，求点C的坐标．
4．（2022下·湖北武汉·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：
对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q
（1，－2），则点P．Q的“ ”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－
1）．
(1)直接写出点A，B的“－ ”系和点坐标为_________；
(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标：
(3)点D为A，B的“k”系和点．
①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；
②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）．【考点四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】
例题：（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬
楼梯”运动，第1次它从原点运动到点 ，第2次运动到点 ，第3次运动到点 按这样的运
动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是 ．
【变式训练】
1.（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中， ．一只
蚂蚁从点 处出发，并按 的规律在四边形 的边上以每秒1个单位长度的速度
运动，运动时间为 ．若 ，则这只蚂蚁所在位置的点的坐标为 ．
2．（2023上·安徽六安·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、
向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标： （_____，_____）， （_____，_____）， （_____，_____）；(2)写出点 的坐标；
(3)指出蚂蚁从点 到点 的移动方向．
3．（2023上·安徽亳州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，
， ，都是等边三角形，
都是等腰直角三角形．
(1)直接写出下列点的坐标：
① ：______；② ：______；③ ：______；④ ：______．
(2) 是正整数，用含 的代数式表示下列坐标：
① 的横坐标为：______；② 的坐标为______．
(3)若 ，点 从点 出发，沿着点 运动，到点 时运动停止，则点 运动的路程为
______．
4．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点 从
原点出发，即 按这样的运动规律，完成下列
任务：(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；点 的坐标为 ；
(2)在动点 的上述运动过程中，若有连续四点 ， ， ， ，请直接写出
之间满足的数量关系为 ， 之间满足的数量关系为 ．
【考点五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】
例题：（2024上·广东珠海·九年级统考期末）如图，矩形 起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为 ，
，将矩形 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针
方向旋转 至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点 在旋转2023次后的坐标为 ．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，将 沿 轴
向右滚动到 的位置，再到 的位置……依次进行下去，若已知点 ， ，则点
的坐标为 ．2．（2024上·河北张家口·八年级统考期末）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2023
次，点P依次落在点 ， ， ， ，…， 的位置，则：
（1） 的横坐标 ；
（2） 的横坐标 ．
