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专题 7 数式规律及图形规律的探究（解析版）
类型一 数的变化规律探究
1 2 3 4 5
1．观察下列数据： ，− ， ，− ， ，…．它们是按一定规律排列的，则这一组数的第n个数是
2 5 10 17 26
n
(−1) n+1 ．
n2+1
【思路引领】观察所给数列可发现，奇数项为正数，偶数项为负数，且各项绝对值的分子依次增加 1，
分母为分子的平方加1，据此可解决问题．
【解答】解：根据所给的数列可知，
奇数项为正数，偶数项为负数，
且各项绝对值的分子依次增加1，分母是分子的平方加1，
1
又这列数的第一个数是 ，
2
n
所以这一组数的第n个数是(−1) n+1 ．
n2+1
n
故答案为：(−1) n+1 ．
n2+1
【总结提升】本题考查数的变化规律，能根据所给数列发现数的变化规律是解题的关键．
2．（2022秋•沭阳县校级月考）将正整数按如图所示的位置顺序排列：
根据排列规律，则2022应在 A 处．
【思路引领】规律：在A位置的数被4除余2，在B位置的数被4除余3，在C位置的数被4整除，在D
位置的数被4除余1；由2022÷4＝505…2，即可得出结果．
【解答】解：2022÷4＝505…2，
∴2022应在2的位置，也就是在A处．
故答案为：A．
【总结提升】此题考查探究规律类型，解题的关键是明确数的位置的变化规律，观察题目信息与图形信
息，根据图象规律可知，5、6、7、8所占的位置正好分别是1、2、3、4的位置，也就是以4个数为一
组循环；接下来再用2022除以4，最后再根据余数来确定2022的位置即可．
3．（2023•东平县一模）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是640 ．
【思路引领】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行的第一个数，结论可得．
【解答】解：观察数字的变化可知：第n行有n个偶数．
∵第1行的第一个数是：2＝1×0+2；
第2行第一个数是：4＝2×1+2；
第3行第一个数是：8＝3×2+2；
第4行第一个数是：14＝4×3+2；
•••
∴第n行第一个数是：n（n﹣1）+2．
∴第25行第一个数是：25×24+2＝602．
∴第25行第20个数是：602+2×19＝640．
故答案为：640．
【总结提升】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算．准确找出数字的变化规律是解题
的关键．
4．（2023春•齐河县期末）如图中的数字都是按一定规律排列的，其中x的值是 18 1 ．
【思路引领】根据图形中的数字，可以发现每个图形中各个数字之间的关系，从而可以求得m、n、x的
值，本题得以解决．
【解答】解：由图形中的数字可得，
左上角的数字是一些连续的自然数，
左下角的数字比对应的左上角的数字大1，
右上角的数字等于左上角数字和左下角数字之和，右下角数字等于左下角数字与右上角数字的乘积减去左上角的数字，
{
n=m+1
) {
m=9
)
故 m+n=19 ，得 n=10 ，
19n−m=x x=181
故答案为：181．
【总结提升】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出x的值．
5．（2016秋•济源期中）观察下面三行数：
①2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…；
②0，﹣6，6，﹣18，30，﹣66，…；
③1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…；
（1）第一行数按什么规律排列？
（2）第二行，第三行数与第一行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第八个数，计算这三个数的和．
【思路引领】（1）根据已知发现从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘﹣2得到的；
（2）根据已知相应位置的数对比可以发现规律；2，﹣4，8，﹣16，﹣64，…①
﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…②
0，﹣6，6，﹣18，30，﹣66，…③
（3）根据规律得出每行第8个数，相加即可．
【解答】解：（1）第①行数的规律是：从第一个数开始，后面一个数是前面一个数乘﹣2得到的，即
2，2×（﹣2），2×（﹣2）2，2×（﹣2）3，…；
（2）第③行的每个位置上的数是第①行相应位置的数除以﹣2得到的，即2÷（﹣2），2×（﹣2）÷
（﹣2），2×（﹣2）2÷（﹣2），2×（﹣2）3÷（﹣2），…；
第②行的每个位置上的数是第①行相应位置的数减2得到的，即2﹣2，2×（﹣2）﹣2，2×（﹣2）2﹣
2，2×（﹣2）3﹣2，…；
（3）每行的数第8个数的和是：2×（﹣2）7+[2×（﹣2）7÷（﹣2）+2×（﹣2）7﹣2]
＝﹣256+64﹣254
＝﹣446．
【总结提升】本题主要考查了数字的变化规律，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键．
类型二 等式的变化规律探究6．（2022秋•鼓楼区校级期末）观察下列等式：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，…，按
此规律，若m＝1+3+5+7+…+（2n﹣1）+（2n+1）（其中n为正整数），则m的值可能为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【思路引领】根据规律得到：观察算式，左边是前n个奇数的和，右边是n2，所以m＝1+3+5+7+…
+（2n﹣1）+（2n+1）＝（n+1）2，将m的值代入（n+1）2，得到n为整数，即可选出正确答案．
【解答】解：观察算式，左边是前n个奇数的和，右边是n2．
∵第n个奇数是2n﹣1，
∴m＝1+3+5+7+…+（2n﹣1）+（2n+1）＝（n+1）2．
∵（n+1）2＝2025，
∴n＝44．
故选：D．
【总结提升】本题考查数字类规律的探索，解题的关键是能够表示出 m＝1+3+5+7+…+（2n﹣
1）+（2n+1）＝（n+1）2．
7．已知整数a ，a ，a ，a ，…，满足下列条件：a ＝0，a ＝﹣|a +1|，a ＝﹣|a +2|，a ＝﹣|a +3|，…，
1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3
依次类推，则a 的值为（ ）
2024
A．﹣2024 B．2024 C．﹣1012 D．1012
【思路引领】依次计算出a ，a ，a ，…，根据发现的规律即可解决问题．
1 2 3
【解答】解：由题知，
a ＝0，
1
a ＝﹣|a +1|＝﹣1，
2 1
a ＝﹣|a +2|＝﹣1，
3 2
a ＝﹣|a +3|＝﹣2，
4 3
a ＝﹣|a +4|＝﹣2，
5 4
a ＝﹣|a +5|＝﹣3，
6 5
a ＝﹣|a +6|＝﹣3，
7 6
…
i
由此可见，a 和a （i为偶数）相等，且都等于− ．
i i+1
2
2024
所以a =− =−1012．
2024 2
故选：C．【总结提升】本题考查实数计算中的规律问题，能根据所给的计算方式，求出前几个数并以此发现数的
规律是解题的关键．
8．（2020秋•南京期中）如下，每个格子中都是整数，若任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则从
左边第一个格子开始向右数，第2020个格子中的数为 ﹣ 3 ．
﹣3 1 1 4 …
【思路引领】根据题意和表格中的数据，可以得到数字﹣3，1，4循环出现，从而可以求得第2020个格
子中的数．
【解答】解：∵每个格子中都是整数，任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，表格中出现了数字﹣
3，1，4，
∴数字﹣3，1，4循环出现，
∵2020÷3＝673…1，
∴第2020个格子中的数为﹣3，
故答案为：﹣3．
【总结提升】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出第
2020个数字．
9．（2019秋•青神县期末）观察下列算式：
①32﹣12
②52﹣32＝16
③72﹣52＝24
④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母n的式子表示出来；
（3）用第100个式子验证（2）所写的算式．
【思路引领】（1）通过观察直接写出第4个等式即可；
（2）通过观察可得第n个算式为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将n＝100代入（2）的等式，即可验证．
【解答】解：（1）第4个算式为92﹣72＝32；
（2）第n个算式为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）当n＝100时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝2012﹣1992＝40401﹣39601
＝800，
∵8n＝800，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n．
【总结提升】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．
10．观察下列各等式：
1＝12
1+3＝22
1+3+5＝32
1+3+5+7＝42
（1）通过观察你能猜想出反映规律的一般结论吗？
（2）你能运用上述规律求1+3+5+7+…+2021的值吗？
【思路引领】（1）由观察可得这组算式的规律是：第n个算式是1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2；
（2）由（1）所归纳规律可得1+3+5+7+…+2021＝1+3+5+7+…+（2×1011﹣1）＝10112．
【解答】解：（1）由观察可得第n个算式是1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2；
（2）由（1）所归纳规律可得
1+3+5+7+…+2021
＝1+3+5+7+…+（2×1011﹣1）
＝10112．
【总结提升】此题考查了对算式规律的归纳能力，关键是通过观察，猜想、验证出用含n的算式表达出
规律．
11．（2023秋•建昌县期末）观察下列等式：①12﹣0×2＝1﹣0＝1；②22﹣1×3＝4﹣3＝1；
③32﹣2×4＝9﹣8＝1；④42﹣3×5＝16﹣15＝1；
（1）请你按着这个规律写出第五个和第六个等式： 5 2 ﹣ 4× 6 ＝ 2 5 ﹣ 2 6 ＝ 1 ； 6 2 ﹣ 5× 7 ＝ 3 6 ﹣ 3 5 ＝ 1
（2）把这个规律用含字母n（n是不小于1的正整数）的式子表示出来．
【思路引领】（1）由题意得出任意整数的平方与它前后相连整数积的差等于1可得；
（2）利用以上所得规律即可得．
【解答】解：（1）∵①12﹣0×2＝1﹣0＝1；
②22﹣1×3＝4﹣3＝1；
③32﹣2×4＝9﹣8＝1；
④42﹣3×5＝16﹣15＝1；∴第5个等式为52﹣4×6＝25﹣26＝1，
第6个等式为62﹣5×7＝36﹣35＝1，
故答案为：52﹣4×6＝25﹣26＝1，62﹣5×7＝36﹣35＝1；
（2）由（1）知第n个等式为n2﹣（n﹣1）（n+1）＝1．
【总结提升】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出任意整数的平方与它前后
相连整数积的差等于1．
12．（2020秋•福田区期末）如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100①
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101②
②减去①，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
【思路引领】（1）利用题中的方法求出原式的值即可；
（2）根据题中的方法利用加法即可．
【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②
3101−1
②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S= ，
2
3101−1
则原式= ；
2
（2）设S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②
3101+1
②+①得：4S＝3101+1，即S= ，
4
3101+1
则原式= ．
4
【总结提升】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．类型三 图形变化规律的探究
13．（2021•北碚区校级模拟）如图图形是由大小、形状相同的“●”和线段按照一定规律组成的，其中
第1幅图形有3个“●”，第2幅图形中有8个“●”，第3幅图形中有15个“●”，…，则第7幅图
形中的“●”个数为（ ）
A．99 B．63 C．80 D．48
【思路引领】根据前几幅图中“●”的个数，可以发现它们的变化规律．
【解答】解：由题意可得，
第1幅图形中“●”的个数为3＝22﹣1，
第2幅图形中“●”的个数为8＝32﹣1，
第3幅图形中“●”的个数为15＝42﹣1，
则第8幅图形中“●”的个数为92﹣1＝80，
故选：C．
【总结提升】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“●”的个数的变化规
律，利用数形结合的思想解答．
14．（2023•美兰区校级开学）将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中
字母“C”的个数为 4 ；第n个图形中“H”的个数为 2 n + 2 ．
【思路引领】列举每个图形中H和C的个数，找到规律即可得出答案．
【解答】解：∵第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
∴第n个图中H的个数为4+2×（n﹣1）＝2n+2，
∵第1个图中C的个数为1，第2个图中C的个数为2，
第3个图中H的个数为3，
∴第4个图形中字母“C”的个数为4．
故答案为：4，2n+2．
【总结提升】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中 H的个数，找到规律：每个图
形比上一个图形多2个H是解题的关键．
15．（2018秋•确山县期中）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1的规律拼成下
列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为 67 3 ．
【思路引领】根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中有2020
张白色纸片，即可求得n的值．
【解答】解：由图可得，
第1个图案中白色纸片的个数为：1+1×3＝4，
第2个图案中白色纸片的个数为：1+2×3＝7，
第3个图案中白色纸片的个数为：1+3×3＝10，
…，
第n个图案中白色纸片的个数为：1+n×3＝3n+1，
令3n+1＝2020，
解得，n＝673，
故答案为：673．
【总结提升】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中白色纸片的变化规律，
利用数形结合的思想解答．
16．（2022•陇西县校级模拟）如图是按规律排列的一组图形，它们是山边长相同的正方形和正三角形拼
接而成，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有7个三角形，第3个图形中有10个三角形，第4
个图形中有13个三角形，…，则第2022个图形中有 606 7 个三角形．【思路引领】由题意可知：第1个图案有3+1＝4个三角形，第2个图案有3×2+1＝7个三角形，第3个
图案有3×3+1＝10个三角形，…依此规律，第n个图案有（3n+1）个三角形，据此可求解．
【解答】解：∵第1个图案有3+1＝4个三角形，
第2个图案有3×2+1＝7个三角形，
第3个图案有3×3+1＝10个三角形，
…
∴第n个图案有（3n+1）个三角形．
当n＝2022时，3n+1＝6067（个），
故答案为：6067．
【总结提升】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
17．（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形 1 2 3 4 5 …
火柴棒根数 5 9 13 1 7 2 1 …
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 （ 4 n + 1 ） 根火柴棒．（用含n的代数式表示）
（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么
是第几个图形？如果不可能，请说明理由．
【思路引领】（1）由图可以看出，图1火柴棒根数为5，图2火柴棒根数为5+4，图3火柴棒根数为
5+4+4•••••，由此可以得出图4，图5中火柴棒根数；
（2）根据图示规律可得，第n个图形需要5+4（n﹣1），即（4n+1）根火柴棒；
199
（3）用4n+1＝200求解，可得n= ，因为n为正整数，故不可能．
4
【解答】解：（1）由图可以看出，图1中火柴棒根数为：5；
图2中火柴棒根数为：5+4＝9；
图3中火柴棒根数为：5+4+4＝13；
图4中火柴棒根数为：5+4+4+4＝17；
图5中火柴棒根数为：5+4+4+4+4＝21．
故答案为：17；21．
（2）根据（1）中的规律可得，
第n个图形中火柴棒根数为：5+4（n﹣1）＝4n+1，
故答案为：（4n+1）；
（3）不可能，理由如下：
设第n个图形用了200根火柴棒，其中n为正整数，
199
则4n+1＝200，解得n= ，不符合题意舍去，
4
故不可能用了200根火柴棒按这种方式搭出来的一个图形．
【总结提升】本题考查了根据图形找规律的问题，结合图形找出规律是解题的关键．
18．（2023•阜阳模拟）观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中有5个正方形，
按照这种规律变化下去…
（1）第3个图中有 1 4 个正方形；
（2）第4个图形比第3个图形多 1 6 个正方形；
（3）第n个图形比前一个图形多 n 2 个正方形（用含有n的式子表示）；
（4）按照规律，是否存在某个图形，它比前一个图形增加2015个正方形？为什么？
【思路引领】（1）由图可知结果；
（2）根据第1个图，第2个图，第3个图，可得变化规律；
（3）根据题意分析可得出规律：即是后一个图在前一个图的基础上添加这个图的序号的平方即可得出；
（4）看2015是否为一个正整数平方的形式．
【解答】解：（1）由图知：第3个图中有9+4+1＝14个正方形，
故答案为：14；（2）∵第1个图中有1个正方形；
第2个图中共有5＝2×2+1个正方形；
第3个图中共有14＝3×3+5个正方形；
可以发现：第2个图形比第1个图形多：5﹣1＝4＝22个；
第3个图形比第2个图形多：14﹣5＝9＝32个，
∴第4个图形比第3个图形多42＝16个．
故答案为：16；
（3）由（2）的规律可得：第n个图比前一个图形多n2个．
故答案为：n2；
（4）∵❑√2015不能开平方，
∴不存在某个图形，它比前一个图形增加2015个正方形．
【总结提升】此题主要考查了图形的变化类，此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对
于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的
