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1.2.2&1.2.3数轴与相反数
数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
注意：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量
线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
题型1：数轴的定义
1.下列各图是四位同学所画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、没有原点，故本选项错误，不符合题意；
B、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意；
C、因为数轴上从左往右是按从小到大的顺序排列的，所以原点左侧数排列错误，故本选项错误，不
符合题意；
D、所画数轴正确，故本选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】规定了原点，正方向，单位长度的直线叫数轴，据此对各选项逐一判断即可.
【变式1-1】下列各图中，表示数轴正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】【解答】解：A、缺少正方向，不符合题意；
B、单位长度不一致，不符合题意．
C、缺少原点，不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据所给的数轴，对每个选项一一判断即可。
数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还
可以表示其他数，比如 .
注意：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右
边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
题型2：数轴上的点与有理数关系
2.如图，数轴上点A表示的数为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：由图可知：点A在﹣1的位置，表示的数为﹣1．
故答案为：B．
【分析】根据数轴直接写出答案即可。
【变式2-1】如图，在数轴上有A，B，C，D四个点，分别表示不同的四个数，若从这四点中选一点
做原点，使得其余三点表示的数中有两个负数和一个正数，则这个点是( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【解析】【解答】解：A、当A为原点，则剩余三个点表示的数均是正数，故A选项不合题意；
B、当B为原点，则A表示负数，C与D表示正数，故B选项不符合题意；
C、当C为原点，则A与B表示负数，D表示正数，故C选项符合题意；
D、当D为原点，A、B与C表示负数，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点可知：原点左边为负数，右边为正数，依此分别判断，即
可解答.
1 3
【变式2-2】把下面的直线补成条数轴，并在数轴上表示下列各数：﹣3， ，0，− ，2．
2 2【答案】解：画图如下：
【解析】【分析】在数轴上表示出各点即可。
题型3：利用数轴解决生活中的移动问题
3.小明骑车从家出发，先向东骑行1km到达A村，继续向东骑行4km到达B村，然后向西骑行
8km到达C村，最后回到家．
（1）以家为原点，以向东方向为正方向，用1 cm表示1 km，画出数轴，并在数轴上表示出A、
B、C三个村的位置；
（2）C村离A村有多远？
（3）小明一共骑行了多少千米？
【答案】（1）解：以家为原点，以向东方向为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，根据距离和方
向确定A，B，C点位置，如图所示：
（2）解：C村离A村的距离为：1-（-2）=3km
（3）解：快递员一共行了：|1|+|2|+|-5|+|2|=10km
【解析】【分析】（1）首先确定数轴的三要素，原点，正方向，单位长度；以家为原点，以向东方向
为正方向，用1cm表示1km，画出数轴，根据距离和方向确定A，B，C点位置；
（2）小明一共骑行的路程就是他从家出发，先向东骑行1km到达A村，继续向东骑行4km到达B
村，然后向西骑行8km到达C村，最后回到家，四段路程的和。
【变式3-1】邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B村，
然后向西骑行9km到C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、
B、C三个村庄的位置；
（2）C村离A村有多远？
（3）若摩托车每1km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？
【答案】（1）解：依题意得，数轴为：
；
（2）解：依题意得：C点与A点的距离为：2－（－4）=6km；
（3）解：依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18km，
∴共耗油量为：18×0.03=0.54升．
【解析】【分析】（1）数在数轴上的表示。
（2）由（1）已知各点的位置，即转化为数轴上两点间距离的计算。
（3）总耗油=单位耗油×距离。列出关系式，计算即可。题型4：数轴上两点距离与分类思想
4.数轴上到数1点的距离等于6的点所表示的数是（ ）．
【答案】-5或7
【解析】【解答】解：∵1+6=7，1−6=−5，
∴到表示1的点的距离等于6的点表示的数为-5或7．
故答案是：-5或7．
【分析】画出数轴，根据两点之间的距离公式即可得到答案。
【变式4-1】数轴上点A表示的有理数是 −5 ，那么到点A的距离为10的点表示的数是 .
【答案】-15或5
【解析】【解答】解：到点A的距离为10的点表示的数是-5+10=5或-5-10=-15.
故答案为：-15或5.
【分析】若该点在点A左侧，则该点表示的数为-5-10；若该点在点A右侧，则该点表示的数
为-5+10，据此解答.
【变式4-2】在数轴上，点A、B在原点的异侧，两点表示的有理数分别是a和5，将点A向左平移4
个单位长度得到点C，若点C与点B到原点的距离相等，求a的值．
【答案】解：依题意得|a-4|=5，
∴a-4=±5，
∴a=9或a=-1，
∵点A、B在原点的异侧，B点是5，
∴a＜0，
∴a=-1．
【解析】【分析】根据将点A向左平移4个单位长度得到点C，若点C与点B到原点的距离相等， 可
得 |a-4|=5， 即可求出a，再由点A、B在原点的异侧，可知 a＜0， 则a=-1。
相反数
定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对
称）.
（2）互为相反数的两数和为0.如a与b互为相反数，则有a+b=0；
注意：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
题型5：相反数的定义
1
5.− 的相反数是（ ）
5
1 1
A．− B． C．-5 D．5
5 5【答案】B
1 1
【解析】【解答】解：− 的相反数是 ．
5 5
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义求解即可。
【变式5-1】−2021的相反数是 .
【答案】2021
【解析】【解答】解：∵相反数指的是只有符号不同的两个数，且-2021的符号是“-”，
∴-2021的相反数为+2021，即2021，
故答案为：2021.
【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，然后化简即可.
【变式5-2】8的相反数的倒数是 ．
1
【答案】-
8
1
【解析】【解答】∵8的相反数是：-8，-8的倒数是：- ，
8
1
∴8的相反数的倒数是：- ．
8
1
故答案是：- ．
8
【分析】根据相反数和倒数的定义求解即可。
题型6：根据相反数的定义求代数式的值
1
6.m 的相反数是 −6 ， n 倒数是 ，则 mn 的值是（ ）
3
A．-18 B．18 C．2 D．-2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵m的相反数是-6，
∴m=6，
1
∵n的倒数是 ，
3
∴n=3，
∴mn=6×3=18，
故答案为：B.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数及乘积是1的两个数互为倒数求出m、n，再代入mn
中即可求值.
【变式6-1】若a+2的相反数是-5，则a=【答案】3
【解析】【解答】解：∵a+2的相反数是-5，
∴a+2=5，
∴a=3.
【分析】根据相反数的定义得出a+2=5，解方程求出a的值，即可得出答案.
【变式6-2】若m，n为相反数，则m+（﹣2021）+n为 .
【答案】﹣2021
【解析】【解答】解：∵m，n为相反数，
∴m+n＝0，
∴m+（﹣2021）+n＝m+n+（﹣2021）＝﹣2021.
故答案为：﹣2021.
【分析】根据互为相反数的性质得出m+n＝0，然后把原式变形，整体代值，即可求出结果.
题型7：相反数的几何意义
7.点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数为（ ）
1 1
A．4 B．−4 C． D．−
4 4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A在数轴上表示的数是4，
∴点A表示的数的相反数是-4．
故答案为：B．
【分析】先写出点A表示的数，然后写出其相反数。
【变式7-1】如图，数轴上点A，B表示的数互为相反数，且AB＝4，则点A表示的数是（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵数轴上点A，B表示的数互为相反数，
∴可设点A表示的数是a ，则点B表示的数是-a ，
∵AB＝4，
∴−a−a=4 ，解得：a=−2 ．
故答案为：D
【分析】根据数轴上点A，B表示的数互为相反数，可设点A表示的数是a ，则点B表示的数是−a
，根据AB的值，即可得解。
题型8：多重符号的化简
8.阅读理解：因为a的相反数是-a，所以①−(+2) 为+2的相反数，故-（+2）=-2；②−(−2) 为-2
的相反数，故 −(−2)=2 .即利用相反数的意义可以对多重符号进行化简.
化简：1
（1）−(+ ) ；
3
1
（2）−(−2 ) ；
2
1
（3）−[+(− )] ；
2
（4）−[−(−3)] .
1 1
【答案】（1）解： −(+ )=−
3 3
1 1
（2）解： −(−2 )=2
2 2
1 1 1
（3）解： −[+(− )]=−(− )=
2 2 2
（4）解： −[−(−3)]=−(+3)=−3
【解析】【分析】根据相反数的性质“正数的相反数是负数、负数的相反数是正数、0的相反数是0”
计算可求解.
【变式8-1】化简下列各数：
（1）+（﹣3）；
（2）﹣（+5）；
（3）﹣（﹣3.4）；
（4）﹣[+（﹣8）]；
（5）﹣[﹣（﹣9）].
【答案】（1）解： +(−3)=−3
（2）解： −(+5)=−5
（3）解： −(−3.4)=3.4
（4）解： −[+(−8)]=−(−8)=8
（5）解： −[−(−9)]=−(+9)=−9
【解析】【分析】多重符号的化简方法：一个数前面有偶数个“-”号，结果为正；一个数前面有奇数
个“-”号，结果为负，据此逐一化简即可.
一、单选题
1．-5的相反数是（ ）
1
A．-5 B．±5 C． D．5
5
【答案】D
【解析】【解答】解：-5的相反数是5．故答案为：D．
【分析】根据相反数的定义求解即可。
2．π的相反数是（ ）
1 1
A．π B．一π C． D．﹣
π π
【答案】B
【解析】【解答】解： π的相反数是 -π；
故答案为：B.
【分析】相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数称作互为相反数，求一个数的相反数只要在这
个数前加符号就可求得，0的相反数是0。
3．如图，数轴上的整数a被星星遮挡住了，则﹣a的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵1
