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专题 8.4 实际问题与二元一次方程组之九大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 二元一次方程组的应用——年龄问题】........................................................................................1
【考点二 二元一次方程组的应用——分配问题】........................................................................................3
【考点三 二元一次方程组的应用——古代问题】........................................................................................5
【考点四 二元一次方程组的应用——行程问题】........................................................................................7
【考点五 二元一次方程组的应用——工程问题】........................................................................................9
【考点六 二元一次方程组的应用——方案问题】......................................................................................12
【考点七 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】..........................................................................16
【考点八 二元一次方程组的应用——数字问题】......................................................................................19
【考点九 二元一次方程组的应用——几何问题】......................................................................................21
【过关检测】............................................................................................................................................................23
【典型例题】
【考点一 二元一次方程组的应用——年龄问题】
例题：（2024上·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁
数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二
倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．
【变式训练】
1．（2023下·湖南常德·七年级统考期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的
时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
2．（2022上·全国·八年级专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．【考点二 二元一次方程组的应用——分配问题】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）某机械厂加工车间平均每人每天
加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参
加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？
【变式训练】
1．（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）已知：用2辆 型车和1辆 型车载满货物一次可运货10吨；
用1辆 型车和2辆 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用 型车
辆， 型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆 型车和1辆车 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若 型车每辆需租金100元/次， 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少
租车费．
2．（2023下·湖南郴州·七年级统考期末）为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增5000个
停车位，用以解决景区停车难的问题．已知新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个
地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元．
(1)求新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
(2)有关部门计划投资950万元用于建造这5000个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？
【考点三 二元一次方程组的应用——古代问题】
例题：（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官
四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”大意如下：一千名军官和士兵分一千尺布，一名军官
分四尺，四名士兵分一尺，正好分完．问军官和士兵各有多少名？
【变式训练】
1．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直
金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：假设有5头牛、2只羊，值19两银
子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名
题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少
人？”
(1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人；
(2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，
两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？
【考点四 二元一次方程组的应用——行程问题】
例题：（2023下·七年级课时练习）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时
出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小
勇，并且比小勇多跑了20圈．求：
(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？
(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？
【变式训练】
1．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2
小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流
的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度 静水速度 水流速度；逆水速度 静水速度 水流速度，用
二元一次方程组的知识解答）
2．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和
一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为
，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．
求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程．
【考点五 二元一次方程组的应用——工程问题】
例题：（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为 米的河道整治任务由A、 两个工程队先后接力完成． 工程队每天整治 米， 工程队每天
整治 米，共用时 天．
(1)求A、 两工程队分别整治河道多少天？
(2)若A工程队整改一米的工费为 元， 工程队整改一米的工费为 元，求完成整治河道时，这两工
程队的工费共是多少？
【变式训练】
1．（2023上·山西太原·八年级山西实验中学校考期中）汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太原悠久的
历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源．为打造汾河太原段滨河区景观，现有一段长为289米的河道治
理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用
时25天．
(1)课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
小宇： ，
小军： ，
请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数 ， 表示的意
义．
小宇： 表示______； 表示______．
(2)请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程）
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装
修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并
且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的 ；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，
求甲工程队参加工作多少天？
【考点六 二元一次方程组的应用——方案问题】
例题：（2023上·广东茂名·八年级统考期末）某药店出售 、 两种 的口罩，已知该店进货4个 种
口罩和3个 种 口罩共需27元，进货2个 种 口罩所需费用比进货1个 种 口罩所需费
用多1元．
(1)请分别求出 、 两种 口罩的进价是多少元？
(2)已知药店将 种 口罩每个提价1元出售， 种 口罩每个提价 出售，小雅在该药店购买 、
两种 口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？
【变式训练】
1．（2024上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用
口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1850元；若医用口罩买800个，
洗手液买25瓶，则需1425元．
(1)求医用口罩和洗手液的单价．
(2)学校本次采购准备了500元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，
医用口罩和N95口罩共250个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完且 ，学校一共有几种购买方案？
写出所有采购方案．
2．（2023上·广东深圳·八年级统考期末）为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某
旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．这两种物品的进价、标价如下表所示．进价 标价
明信片 5元/套 10元/套
吉祥物钥匙扣 18元/个 30元/个
为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．
(1)若张老师在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片共46件，花费600元．请问店主获利多少元？
(2)张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣和明信片若干件，两种都买且钱要用完．请帮助张老师策划
所有可行的购买方案．
【考点七 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】
例题：（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）为了提高学生的身体素质，某校准备从某体育用品商店购买
跳绳和毽子，已知购买50根跳绳和80个毽子共需1120元，购买30根跳绳和50个毽子共需680元．
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？
(2)八年级一班体育委员小明与二班体育委员小亮一起到该商店为本班学生购买跳绳，他俩共买了30根跳
绳，小明说他比小亮少付了48元，你认为这可能吗？若可能，求出他们分别购买了几根跳绳：若不可能，
请说明理由．（请用二元一次方程组求解）
【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）某体育用品商场销售 ， 两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
120
款
款 90
若该商场购进5个 款足球和12个 款足球共需1120元；若该商场购进10个 款足球和15个 款足球共
需1700元．
(1)求 和 的值；
(2)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个 款足球送1根跳绳，买3个 款
足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售 、两款足球各多少个?（每款都有销售，且购买 款足球的数量都是3的倍数）
2．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）某体育用品商场销售 ， 两款足球，售价和进价如表：已知该
商场购进5个 款足球和12个 款足球需1120元；购进10个 款足球和15个 款足球需1700元．
类型 进价/（元/个） 售价/（元/个）
款 120
款 90
(1)求 和 的值．
(2)为了提高销量，商场实施“买足球送跳绳”的促销活动：买1个 款足球送1根跳绳，买3个 款足球
送2根跳绳．每根跳绳的成本为10元，某日商场售卖这两款足球总计盈利600元，则该日商场销售 ，
两款足球各多少个？（每款都有销售）
【考点八 二元一次方程组的应用——数字问题】
例题：（2023上·江苏·七年级校考周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为 ，若把个位
上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的 倍小 ，求原来的两位数．
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位
数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原
来的两位数.
2．（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，
拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张
卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
【考点九 二元一次方程组的应用——几何问题】
例题：（2023上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在大长方形 中放入 个相同的小长方形（图中
空白部分），若大长方形的周长是 ，图中阴影部分的面积是 ，设小长方形的长为 ，宽为 ，求一
个小长方形的周长和面积分别是多少？
【变式训练】
1．（2024上·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，这是某江滩公园正在修建的一运动场馆的规划示意图，
运动场馆 是一个长方形，长 为120米，宽 为90米，计划在甲、乙、丙三块形状及大小相同
的小长方形地块上修建网球场，剩余两块形状及大小相同的空地铺设塑胶草坪，求每块草坪的面积．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内
建造由两个大棚组成的植物养殖区．已知每个大棚的周长为44m，要求两个大棚之间有间隔4m的路，设
计方案如图所示．(1)求每个大棚的长和宽；
(2)现有两种大棚的造价方案，方案一是每平方米60元，超过 优惠500元；方案二是每平方米70元，
超过 优惠总价的20%．试问选择哪种方案更优惠？
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期末）我国古代数学名著《九章算术》中记
载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少5元．问有
多少人？该物品价值多少元？如果设有 人，该物品值 元，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河南安阳·七年级统考期末）“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风
速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了5分钟：回来时逆风，5分
钟只走了600里，试求风的速度是每分钟多少里？（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
3．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考阶段练习）2023年10月13日，是第34个国际减灾日，主题为“共同
打造有韧性的未来”，多学一分自救知识，就多一份生命保障，每个人都应增强防灾减灾意识，提高避灾
自救技能，学一点科学知识，少一点生命威胁，灾难总是不期而至，及早掌握防灾知识，做到防患于未然，就多一份生命保障．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮
球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
4．（2023下·贵州铜仁·七年级校联考阶段练习）“方程”二字最早见于我国《九章算术）这部经典著作中，
该书的第八章名为“方程”．如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的
系数与相应的常数项，即可表示方程 ，则 表示的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·宁夏银川·七年级校考阶段练习）“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，
三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律
的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a、b的值分别是
（ ）
A．11，9 B．9，11 C．8，13 D．13，8
二、填空题
6．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河
道整治任务，由 、 两个工程小组先后接力完成， 工程小组每天整治12米， 工程小组每天整治8米，
共用时20天，设 工程小组整治河道 米， 工程小组整治河道 米，依题意可列方程组 ．
7．（2023上·四川成都·八年级统考期末）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金
十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两“金”；
2头牛、3只羊共12两“金”，每头牛、每只羊各多少两“金”？设1头牛x两“金”，1只羊y两“金”，
则可列方程组为 ．
8．（2024上·山东青岛·八年级统考期末）“翰墨凝书香执笔颂中华”．某校为了奖励在规范汉字书写大赛
中表现突出的同学，购买了甲，乙两种奖品共100件，费用为1352元，其中，甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元．若设购买了x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据题意可列方程组 ．
9．（2022上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形 的面积是81，该正方形被分成四个相
同的长为 ，宽为 的长方形和一个面积为9的小正方形，则 的值为 ．
10．（2023上·河南洛阳·七年级统考期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）
中，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2所示，三阶幻方的每行、每列、每条
对角线上的三个数之和都相等，图3是另一个广义的三阶幻方，则 的值为 ．
三、解答题
11．（2023上·广东梅州·八年级校考期中）根据题意列出方程组．
(1)甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2.5倍，4min后两人首次
相遇，此时乙还需要跑300m跑完第一圈．求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．
(2)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只．则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只．则有一笼无鸡
可放，问有多少只鸡，多少个笼？
12．（2024下·全国·七年级专题练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以
拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，
中间还留了一个洞，恰好是边长为2cm的小正方形！试求图2这个正方形的面积．13．（2023下·江苏南通·七年级校联考期末）我国传统数学名著 九章算术 记载：“今有牛五、羊二，直
金十九两；牛二、羊五，直金十六两 问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 头牛、 只羊，值 两银
子； 头牛、 只羊，值 两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两
个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用 两银子买牛和羊 要求既有羊又有牛，且银两须全部用完 ，且羊的数量不少于牛数量
的 倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
14．（2023上·四川成都·八年级统考期末）某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，
两种礼盒的成本和售价如下表所示．
甲 乙
成本（元/套） 20 24
售价（元/套） 25 30
(1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
(2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n
都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所
有可行的生产方案．
15．（2023上·贵州毕节·八年级统考期末）某中学为了在11月中旬举办体育文化节，学校委托后勤处张主
任去购买奖品，张主任回校后向财务处的陈老师交账说：“我买了足球和篮球共20个，足球每个60元，篮球每个80元，去买之前我领了1500元，现在还余70元．”陈老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
(1)陈老师为什么说张主任肯定搞错了？试用方程的知识给予解释．
(2)张主任连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了几个（大于1小于4）单价为15元的水龙头，
但是发票上的个数看不清了，请你帮他算一算，他买了几个水龙头？
16．（2021上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）某服装店欲购进一批A款和B款两种新款服装，若购买2
件A款衣服和3件B款衣服共需226元，购买5件A款衣服和1件B款衣服共需292元．求：
(1)每件A款衣服和每件B款衣服的价格分别是多少？
(2)若该店王老板准备了4600元，探究：王老板有几种进货方案，请你一一列举出来；
(3)若A款衣服每件售价80元，B款衣服每件收件60元，王老板怎样进货可以获得最大收益？
