文档内容
1.3.1 有理数的加法
1.掌握有理数加法的运算法则,能熟练进行有理数的加法运算,体会分类和归纳的思想方法
2.理解并灵活运用有理数的加法运算律简化运算
3.在利用有理数的加法解决实际问题的过程中,提高分析问题和解决问题的能力
知识点一 有理数的加法法则
1.有理数加法法则
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝
对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0
(3)一个数同0相加，仍得这个数.
注意：
(1)若 与 互为相反数,则 (或 );
(2)若 (或 ),则 与 互为相反数.
助记：
有理数加法打油诗：
有理数相加，定号再加减，
同同异绝大（符号相同取相同符号，异号取绝对值大的加数的符号），括号内加减，
同号绝相加，异号绝相减，
加零得原数，相反和为零.
2有理数加法的结果的几种情况
(1) 可以是正数,也可以是负数,还可以是零.如5+(-3)=2,-6+4=-2,-3+3=0
(2) 可能比两个加数都大.如2+3 =5;
(3)可能比两个加数都小.如(-2)+(-6)=-8
(4)可能比一个加数大,比另一个加数小.如(-3)+4 =1.
(5)可能等于其中一个加数.如2+0=0即学即练 计算：
(1)( 3) 2 (2)( 2) ( 1)
-5 +7 - + -2
4 5 7 3
(3) (4)1 ( 3)．
(+5.21)+(+4.89) + -
3 4
知识点二 有理数加法的运算定律
1. 有理数加法的运算定律
运算定律 文字叙述 式子表示
加法交换律 两个数相加,交换加数的位置,和不变
三个数相加,先把前两个数相加，或者
加法结合律
先把后两个数相加,和不变
2. 有理数加法运算的技巧
(1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
(2)符号相同的数先相加——“同号结合法”;
(3)分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同分母结合
法”;
(4)几个数相加得到整数先相加——“凑整法”;
(5)整数与整数、小数与小数先相加——“同形结合法”;
(6)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和再分别相加——“拆分法”;
注意：方法的选择并不是一成不变，有的时候还需要多种方法共同使用，所以
需要具体问题具体分析.
即学即练 计算．
(1)(-3)+40+(-32)+(-8)；
(2) 1 ( 3) ( 2) ；
5 + - + +1 +(-8.25)
3 4 3
(3)5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1)；(4) 1 ( 1)．
(-0.5)+3 +2.75+ -5
4 2
正负带分数拆分注意符号，例如：
（1） ；
（2）
题型一 利用数轴确定有理数的和的符号
例1 （2023秋·甘肃酒泉·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上所对应的点如图所
示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b<0 B．a+b>0 C．a+c<0 D．b+c>0
举一反三1 （2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）a，b是有理数，它们在数轴上的
对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＜0 B．－a＜a＜b C．－b＜a＜b D．b＜|a|举一反三2 （2023秋·广东中山·七年级校考期末）在数轴上表示a、b两数的点如图所示，
则下列判断正确的是（ ）
A．a+b>0 B．a-b<0 C．a+b<0 D．|a|>|b|
题型二 有理数与绝对值的综合运用
例2 （2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）若x的相反数是3，|y|=5，则x+ y的值为
（ ）
A．-8 B．2 C．8或-2 D．-8或2
举一反三1 若有理数x、y满足|x|=5，|y|=2．
(1)求x与y的值；
(2)若|x- y|=x- y，求x+ y的值，
举一反三2 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运
用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读并解答题目后提出的探究问题．
第一步：【提出问题】
|x| |y| |z|
三个有理数x，y，z满足xyz>0，求 + + 的值．
x y z
第二步：【解决问题】
解：由题意x，y，z三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，
①当x，y，z都是正数，即x>0、y>0、z>0时，
|x| |y| |z| x y z
则： + + = + + =1+1+1=3．
x y z x y z
②当x，y，z有一个为正数，另两个为负数时，设x>0、y<0、z<0，
|x| |y| |z| x - y -z
则： + + = + + =1+(-1)+(-1)=-1．
x y z x y z
|x| |y| |z|
所以 + + 的值为3或-1．
x y z
第三步：【探究问题】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
|x| |y| |z|
三个有理数x，y，z满足xyz<0，求 + + 的值．
x y z
题型三 有理数加法中的符号问题
例3 （2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，数轴上依次有A，P，B，Q，C五个点，
其中A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且AP=PB=BQ=QC．如果有a+b<0，
a+c<0，b+c>0，那么该数轴原点O的位置应该在（ ）
A．点O在线段AP（不包括端点）上 B．点O在线段PB（不包括端点）上
C．点O在线段BQ（不包括端点）上 D．点O在线段QC（不包括端点）上
举一反三1 （2023秋·湖南益阳·七年级校联考期末）下列省略加号和括号的形式中，正
确的是（ ）
A．(-7)+(+6)+(-5)+(-2)=-7++6+-5+-2
B．(-7)+(+6)+(-5)+(-2)=-7+6-5-2
C．(-7)+(+6)+(-5)+(-2)=-7+6+5+2
D．(-7)+(+6)+(-5)+(-2)=-7+6-5+2
举一反三2 （2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）若a+b<0，ab<0，则下列说法正确
的是( ).
A．a，b同号 B．a，b异号且负数的绝对值较大
C．a，b异号且正数的绝对值较大 D．以上均有可能
题型四 有理数加法在生活中的应用
例4 （2023秋·四川广安·七年级统考期末）一辆出租车一天上午从某商场出发在东西大街
上运行，若规定向东行为正，向西行为负，行驶里程（单位：km）依次如下：
+9，-8，-5，+6，-8，+9，-3，-7，-5，+10．
(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车在该商场的哪边？离商场有多远？
(2)如果出租车每行驶100km的油耗为10L，1L汽油的售价为7.2元，那么出租车在这天上午消耗汽油的金额是多少元？
举一反三1 （2023秋·重庆綦江·七年级统考期末）在某次抗洪抢险中，解放军战士的冲
锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从甲村出发，晚上到达乙村，约定向东为正方向，
当天的航行路程记录如下（单位：千米）:
14，-10，+8，-7，13，-6，+12，-6.
(1)请确定乙村相对于甲村的具体方位？
(2)救灾过程中，冲锋舟离出发地最远处有多远？
(3)为了尽快抢救灾民，冲锋舟出发前就加满了油，而且在救灾过程中不再加油，若冲锋舟
每千米耗油0.5升，那么该冲锋舟油箱容量至少是多少升？
举一反三2 （2023秋·湖南常德·七年级校联考期末）已知10箱苹果，以每箱16千克为标
准，超过16千克的数记为正数，不足16千克的数记为负数，称重记录如下：
+0.2,-0.2,+0.8,-0.3,-0.5,+0.7,0,-0.1,+0.3,0.2
(1)求10箱苹果的总重量．
(2)若每箱苹果的重量标准为16±0.45（千克），则这10箱有几箱不符合标准的？题型五 程序流程图与有理数计算
例5 （2022秋·山西临汾·七年级统考阶段练习）根据如图所示的程序计算，若输入的x值
为7，则输出的y值为 ．
举一反三1 如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算，若开始输入的数
为−7，则最后输出的数为 ．
举一反三2 （2022秋·河南濮阳·七年级校考阶段练习）按如图所示的运算程序，能使输
出结果为-3的是（ ）
A．x=2,y=-1 B．x=-2,y=1 C．x=-2,y=-1 D．x=-1,y=-2
题型六 有理数加法运算定律
例6 （2022秋·河南濮阳·七年级统考期中）阅读下面的解题方法．
计算： 5 [ 2] 3 [ 1]．
-5 + -9 +17 + -3
6 3 4 2
解：原式 [ ( 5)]
= (-5)+ - +¿
6=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+¿
( 5) 5．
=0+ - =-
4 4
上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
( 5) 2 ( 2) 5．
-2021 +4043 + -2022 +1
6 3 3 6
举一反三1 （2022秋·四川广安·七年级统考期末）数学张老师在多媒体上列出了如下的
材料：
5 2 3 1
计算：-5 +(-9 )+17 +(-3 )
6 3 4 2
5 2 3 1
解：原式=[(-5)+(- )]+[(-9)+(- )]+(17+ )+[(-3)+(- )]
6 3 4 2
5 2 1 3 1 1
=[(-5)+(-9)+(-3)+17]+[(- )+(- )+(- )+ ]=0+(-1 )=-1
6 3 2 4 4 4
上述这种方法叫做拆项法．
请仿照上面的方式计算：
2 4 1
(-2021 )+(-2022 )+4044+(- )
7 7 7
举一反三2 （2022秋·山东济宁·七年级统考期末）计算
(1)4.7+(-0.8)+5.3+(-8.2)(2)( 1) ( 1) ( 1 )
- + + + -
6 3 12
题型七 规律探究题
例7 （2022秋·湖南长沙·七年级统考期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种
新的运算，叫※（宏）运算．
下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；(+5)※(+2)=+7；
(-3)※(-5)=+8；(-3)※(+4)=-1；(+5)※(-8)=-3．
(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加
法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两
数进行※（宏）运算时 ．
(2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(-3)※[(+1)※(-4)]=
(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，
如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）
举一反三1 （2022秋·河南洛阳·七年级统考期中）探索研究：
(1)比较下列各式的大小（用“＜”、“>”、“=”连接）
①|2|+|3|___________|2+3|；
②|-2|+|-3|___________|-2-3|；
③|2|+|-3|___________|2-3|；
④|2|+|0|___________|2+0|．
(2)a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“>”、
“=”、“≥”“≤”连接）当a、b同号时，|a|+|b|___________|a+b|；
当a、b异号时，|a|+|b|___________|a+b|；
当a=0或b=0时，|a|+|b|=|a+b|；
综上，|a|+|b|___________|a+b|．
(3)根据（2）中得出的结论，当|x|+2015=|x-2015|时，则x的取值范围是___________．
举一反三2 （2022秋·重庆潼南·七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加
乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；
(-3)*(+6)=-9；(+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7．乙同学看了这些算式后
说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
(-2)*(-7)= ；(+4)*(-3)= ；0*(-5)= ．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）
运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．
（举一个例子即可）
题型八 定义新运算
例8 （2022秋·湖南长沙·七年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）定义一种新运算：2x+ y 2×2+5 9
T(x,y)= ，其中x+ y≠0，比如：T(2,5)= = ，则
x+ y 2+5 7
T(1,2)+T(2,3)+⋯+T(100,101)+T(101,101)+T(101,100)+⋯+T(3,2)+T(2,1)的值
为 ．
举一反三1 （2022秋·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考期中）若a，b都是有理
数，定义一种新运算“☆”，规定a☆b=(-a)+b，则(-2)☆4的值为 ．
举一反三2 （2022秋·重庆·七年级西南大学附中校考期中）对有理数a、b定义新运算如
1 1 2
下：aΔb=-a+ ，则(3Δ )Δ(- )= ．
b 2 3
一、单选题
1．（2023秋·重庆垫江·七年级统考期末）如果|x+1|=3，|y|=5，xy<0那么y-x的值是
（ ）
A．2或0 B．-2或0 C．-1或3 D．-7或9
2．（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）绝对值小于4的所有的整数的和是（ ）
A．10 B．0 C．6 D．-6
3．（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）我国是最早进行负数运算的国家，魏晋时期的数
学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹《小棍形状的记数工具）分别表
示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是(-13)+(+23)=10的计算过程，
则图2表示的计算过程是（ ）
A．(+31)+(-43)=-12 B．(-31)+(+43)=12C．(+13)+(+34)=47 D．(-13)+(+34)=-21
4．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）在一条东西向的笔直马路上，小亮从点O出发，
沿箭头所指方向行走，两次行走的效果3用算式表示正确的是（ ）
A．(-3)+(-2) B．1+(-3) C．1+(-2) D．1+2
5．（2023春·广东深圳·七年级统考期中）下表是某商行某商品的销售情况，该商品原价为
600元，由于市场变动，商行决定降价． 发现日销量y（单位：件）随降价x（单位：元）
的变化如下表所示，则空格处对应的日销量为（ ）
降价（元） 10 20 30 40 50 60 70
日销量
700 740 780 860 900 940
（件）
A．850 B．810 C．820 D．40
6．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）下列各数中，与-5的和是正数的是（ ）
A．-2 B．0 C．4 D．6
7．（2023秋·广东佛山·七年级统考期末）在学习了《有理数及其运算》后，第一小组的同
学总结得出以下结论：①1是绝对值最小的正数；②一个数的绝对值越小，则在数轴上表
示这个数的点越靠左；③整数和分数统称为有理数；④若a+b<0，则a，b中至少有一个
是负数．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①③④
二、填空题
1．（2023春·青海海东·七年级统考期中）已知a的相反数是2，b的绝对值是5，则a+b的
值为 ．
2．（2023春·广西北海·七年级统考期末）小慧家的冰箱冷冻室的温度为-3℃，调高了2℃
后的温度是 ℃．
3．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）甲、乙、丙三地海拔高度分别为25米，-16米，
-10米，那么最高的地方比最低的地方高 米.
4．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）如图的数轴上表示整数的点部分被墨迹盖住，那么被盖住的点表示整数的和为 ．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图．
如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为
．
6．（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）如图是同一时刻莫斯科与中国北京的时差时间，
则当莫斯科时间为17:08时，北京时间为 ．
7．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对
值最小的有理数，则a、b、c三数的和为 ．
三、解答题
1．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）计算：
1 (1 2) (1 2 3) ( 1 2 58 59)
+ + + + + +⋯+ + +⋯+ +
2 3 3 4 4 4 60 60 60 602．（2022秋·湖南邵阳·七年级统考期中）阅读：对于( 5) ( 2) 3 ( 1)，
-5 + -9 +17 + -3
6 3 4 2
可以按如下方法计算：
原式＝[ 5 ] [ 2 ] 3 [ 1 ]
(-5)+(- ) + (-9)+(- ) +(17+ )+ -3+(- )
6 3 4 2
＝ [ 5 2 1 3]
[(-5)+(-9)+17+(-3)]+ (- )+(- )+(- )+
6 3 2 4
＝ ( 1) 1．
0+ -1 =-1
4 4
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：( 7 ) ( 5) ( 1) ．
-2022 + -2021 + -1 +4044
24 8 6
3．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）某志愿者驾驶汽车在东西走向的道路上来回的运
输防疫物资．若约定向东行驶记为正，已知某天他从道路上的A地出发到运输物资结束的
行驶记录如下（单位：千米）；
＋12，－3，＋5，－2，－6，－10．
(1)运输物资结束时，汽车停在A地哪一边，距离A地多远？
(2)若汽车的耗油量为0.1升每千米，求这天汽车运输物资耗油多少升？
4．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）已知：有理数a，b满足ab≠0，则求|a| |b|
+ 的值
a b
5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）我们知道，分类讨论思想在数学中是非常重要的
数学思想．请同学们阅读下面试题并把解题过程补充完整：
已知若|x|＝2，|y|＝5，且x＜0，则求x+y的值．
解：因为|x|＝2，|y|＝5．
所以x＝±2，y＝±5．
因为x＜0
所以x＝ ．
所以当x＝ ，y＝ ，x+y＝ ；
当x＝ ，y＝ ，x+y＝ ．
