文档内容
专题 9.2 一元一次不等式组及应用之七大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 求一元一次不等式组的解集】........................................................................................................1
【考点二 求一元一次不等式组的整数解】....................................................................................................3
【考点三 解一元一次不等式组中错解复原问题】........................................................................................4
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】............................................................................................7
【考点五 一元一次不等式组和方程组结合的问题】....................................................................................8
【考点六 列一元一次不等式组】..................................................................................................................11
【考点七 一元一次不等组的应用】..............................................................................................................12
【过关检测】............................................................................................................................................................17
【典型例题】
【考点一 求一元一次不等式组的解集】
例题：（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）解不等式组： ，并用数轴确定不等式组的解
集．
【变式训练】
1．（2024·福建南平·模拟预测）解不等式组 并将其解集表示在如图所示的数轴上．2．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）解不等式组 ，并把解集表示在数轴上，并写出
其整数解．
【考点二 求一元一次不等式组的整数解】
例题：（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式组 的整数解为 ．
【变式训练】
1．（2023·河南驻马店·二模）写出一个满足不等式组 的整数解 ．
2．（22-23八年级上·贵州铜仁·阶段练习）不等式组 的正整数解是 ．
【考点三 解一元一次不等式组中错解复原问题】
例题：（2024·江西南昌·一模）以下是小贤解不等式组 的解答过程．
解：由①得 ，…………………………………………
第一步
所以 ，……………………………………………………
第二步
由②得 ，……………………………………………第三步
所以 ，……………………………………………………
第四步
故原不等式组的解集是
．……………………………第五步
小贤的解答过程从哪一步开始出现错误？请判断，并写出正确的解答过程．
【变式训练】
1．（2023·宁夏银川·二模）下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅读，完成相应
的任务．
解：由不等式①，得 ．第一步
解得 ．第二步
由不等式②，得 ．第三步
移项，得 ．第四步
解得 第五步
所以，原不等式组的解集是 ．第六步
(1)任务一：小明的解答过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(2)任务二：直接写出这个不等式组正确的解集是______．
2．（2023·宁夏银川·二模）下面是小明同学解不等式组 的过程，请认真阅读，完成相应
的任务．
解：由不等式①，得 第一步
解得 ．第二步
由不等式②，得 ．第三步移项，得 ．第四步
解得 第五步
所以，原不等式组的解集是 ．第六步
任务一：
（1）小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务二：
（2）直接写出这个不等式组正确的解集是 ．
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】
例题：（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）若不等式组 的解集是 ，则 的取值范围
是 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）若关于 不等式组 若无解，则 的取值范围 ．
2．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）关于x的不等式组 恰有四个整数解，那么m的取值
范围为 ．
【考点五 一元一次不等式组和方程组结合的问题】
例题：（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如果关于x、y的方程组 的解满足 且 ，
则实数a的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于 的一元一次不等式组 的解集是，且关于 的方程 有正整数解，则符合条件的所有整数 的和为 ．
2．（22-23七年级下·河南周口·期末）已知关于 、 的二元一次方程组 的解满足 且关于
的不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
【考点六 列一元一次不等式组】
例题：（22-23七年级·全国·假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就
已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为( )
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每
人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为 棵，下列
能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八年级上·浙江·专题练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12
个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小
朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为( )
A． B．
C． D．【考点七 一元一次不等组的应用】
例题：（广东省韶关市2023-2024学年九年级下学期月考数学试题）仁化县传统土特产品“红山白毛茶”
汤色清淡、口味甘甜，为我国三大白毛茶之首；“石塘堆花米酒”集色清、气香、味醇、质好于一身，在
粤北颇有名气．已知2件红山白毛茶和3件石塘堆花米酒进货价为240元，3件红山白毛茶和4件石塘堆花
米酒进货价为340元．
(1)分别求出每件红山白毛茶、石塘堆花米酒的进价；
(2)某特产店计划用不超过10440元购进红山白毛茶、石塘堆花米酒共200件，且红山白毛茶的数量不低于
石塘堆花米酒数量的 ，该特产店有哪几种进货方案？
【变式训练】
1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）某小区为解决业主新能源汽车充电难的问题，拟修建50个充电
桩，已知新建1个地下充电桩和2个地上充电桩需要0.4万元；新建2个地下充电桩和1个地上充电桩共需
0.5万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？
(2)若该小区计划用不超过8.2万元的资金新建充电桩，并且要求地下充电桩至少30个，问共有几种建造方
案？并列出所有方案．
(3)在第（2）问的条件下哪种方案投资最少？请求出最少投资金额．
2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身
受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，
本文学名著和 本动漫书共需 元， 本文学名著与 本动漫书的费用一样（注：所采购的文学名
著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？(2)若学校要求购买文学名著比动漫书多 本，动漫书和文学名著总数不低于 本，总费用不超过 元，
请问有几种购书方案？
(3)在（ ）的条件下，若学校实际购买时，文学名著单价上调 元 本，动漫书单价下调了 元 本，此
时购买这两种书籍所需最少费用为 元，则 的值为_____．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·广西贺州·三模）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知点 在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
3．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）若不等式组 的解集为 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过
程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过 公斤时警示音响起，且小丽，小欧的重量分别为 公斤， 公斤．若小
丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为 公斤，则满足题意的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）若关于x的方程 的解为非负整数，且关于x的
不等式组 无解，则所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．7 B．6 C．4 D．0
二、填空题
6．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）不等式组 的最小整数解是 ．
7．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时
发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，
参加划船的员工共有 人．
8．（2024·甘肃·一模）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则k的取值范围为
．
9．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）已知关于x的不等式组 只有3个整数解，则实数a的
取值范围是 ．10．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）如果关于 的不等式组 的解集为 ，且整数 使得
关于 的二元一次方程组 的解为整数（ 均为整数），则符合条件的所有整数 的和是
．
三、解答题
11．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出
来．
12．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）解不等式组： ，并写出符合不等式组解集的整
数解．
13．（23-24七年级下·重庆荣昌·阶段练习）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)14．（23-24八年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上：
(1) ；
(2) ．
15．（2023·宁夏·中考真题）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是
_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
16．（2024·山东东营·一模）某单位需采购一批商品，购买甲商品 件和乙商品 件需资金 元，而购买甲商品 件和乙商品 件需要资金 元.
(1)求甲、乙商品每件各多少元？
(2)本次计划采购甲、乙商品共 件，计划资金不超过 元，要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的
，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金？
17．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）为拓宽学生视野，亲近大自然，我市某中学决定组织部分师生
去九华天池开展研学活动，在参加此次活动的师生中若每位老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；
若每位老师带15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如
下表所示：
甲型客
乙型客车
车
载客量（人辆） 35 30
租金（元/辆） 400 340
(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
(2)为安全起见，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为
____辆；
(3)在（2）的基础上，学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3000元，你能得出哪几种不同的租车方
案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
18．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范
围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程 的解为 ，而不等式组的解集为 ，不难发现 在 的范围内，所以方程 是不等式组
的“关联方程”．
(1)在方程① ；② ；③ 中，关于x的不等式组 的“关联方
程”是___________；（填序号）
(2)若关于x的方程 是不等式组 的“关联方程”求k的取值范围；
(3)若关于x的方程 是关于x的不等式组 的“关联方程”，且此时不等式组恰好有
4个整数解，试求m的取值范围．
