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专题 9.3 一元一次不等式（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，
特别提醒：
（1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号
有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
【知识点二】一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x<a（或x>a）
的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为 （或
）的形式（其中 ）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
特别提醒：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确
定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
特别提醒： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．【考点目录】
【考点1】一元一次不等式的概念认识及其解集； 【考点2】求一元一次不等式的解集；
【考点3】求一元一次不等式的整数解： 【考点4】求一元一次不等式的最值;
【考点5】一元一次不等式中的参数问题; 【考点6】一元一次不等式中的应用.
【考点1】一元一次不等式的概念认识及其解集；
【例1】．已知不等式 是关于x的一元一次不等式，则m的值为多少？并解这个一元一
次不等式．
【答案】 ，
【分析】先根据一元一次不等式的性质，求出m的值，得出这个不等式，再根据不等式的性质求解即可．
解：∵不等式 是关于x的一元一次不等式，
∴ ，
解得： ，
∴原不等式为 ，
解得： ．
综上： ， ．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的性质，解一元一次不等式，解题的关键是掌握只含有一个未知
数，且未知数指数为1的不等式是一元一次不等式；以及不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个
数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式
两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
【变式1】不等式 ，当 时，是一元一次不等式．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次不等式的概念．根据一元一次不等式的定义列式求解即可．
解：∵不等式 一元一次不等式，
∴ ，解得 ，
故答案为：2．
【变式2】下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，未知数的次数是1，不等号的两边都是
整式的不等式叫一元一次不等式，据此逐项判断即可求解．
解：A、 是一元一次不等式，符合题意；
B、 未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不合题意；
C、 不含有未知数，不是一元一次不等式，不合题意；
D、 含有两个未知数，不是一元一次不等式，不合题意．
故选：A
【考点2】求一元一次不等式的解集；
【例2】解不等式，并在数轴上表示出其解集．
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ，数轴见解析； (2) ，数轴见解析
【分析】本题考查解不等式，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关
键．
（1）不等式去括号，移项合并将x系数化为1，即可求出解集，表示在数轴上即可；
（2）不等式去分母后，去括号，移项合并将x系数化为1，即可求出解集，表示在数轴上即可；
（1）解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得 ．
在数轴上表示出解集如图所示：（2）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
在数轴上表示出解集如图所示：
【变式1】不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可，熟练掌握不等式的解法是
解题的关键．
解：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2】如果关于 的不等式 的解集恰为关于 的不等式 的解集，那么 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求不等式的解集，先分别求出了各不等式的解集，即可得出关于a的方程，求出a的值
即可．
解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，∵不等式 的解集恰为关于 的不等式 的解集，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
【考点3】求一元一次不等式的整数解；
【例3】已知关于 的方程 ．
(1) 若该方程的解满足 ，求 的取值范围；
(2) 若该方程的解是不等式的 的负整数解，求 的值．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次
方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足 ，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据不等式的负整数解为 ，代入方程，即可求解．
（1）解： ，
解得 ，
由题意得： ，
．
（2）
∴ ，
，
，
，
所以不等式的负整数解为 ，
把 代入得： ，
解得： ．
【变式1】如果 的正整数解是1、2、3、4，那么 的取值范围是 ．【答案】
【分析】先解不等式，可得 ，又知不等式的正整数解是1、2、3、4，可得 ，解此不等式组即
可．
解：解不等式 ，得 ，
当 在大于等于4小于5的范围之内，
此不等式的正整数解都是1、2、3、4，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了不等式的正整数解，解题的关键是注意能根据整数解的具体数值，找出不等式解集的
具体取值范围．
【变式2】已知不等式 的正整数解有2个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
解： ，
，
，
∵不等式的正整数解有2个，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【考点4】求一元一次不等式的最值；
【例4】已知 是关于x，y的二元一次方程 的一组解．(1) 求m的值．
(2) 若x的取值范围如图所示，求y的最大正整数值．
【答案】(1) ； (2)y的最大正整数值为3．
【分析】（1）将 ，代入 ，即可求解，
（2）由 ，得 ，由数轴得到x的取值范围，代入得到y的取值范围，即可求解，
本题考查了已知二元一次方程的解求参数，求一元一次不等式的整数解，解题的关键是：熟练掌握二元一
次方程与一元一次不等式的解法．
（1）解：由题意，得 ，解得: ；
（2）解：由 ，得 ，
由数轴所表示的x的取值范围为 ，即 ，
解得 ，
∴y的最大正整数值为3．
【变式1】一元一次不等式 的最大整数解为 ；
【答案】-1
【分析】先化简不等式，再求解即可．
解： ，
，
则最大整数解为：-1．
故答案为：-1．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解．
【变式2】已知 是不等式 的一个解，则整数k的最小值为（ ）A．3 B．-3 C．4 D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
解：∵ 是不等式 的一个解，
∴ ，
解得 ，
∴整数k的最小值是3．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的
步骤是解题的关键．
【考点5】一元一次不等式的参数问题；
【例5】已知关于x，y的二元一次方程组 ．
(1) 当 时，求x，y的值；
(2) 当 时，求a的取值范围．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式．
（1）将 代入二元一次方程组，用消元法解二元一次方程组即可；
（2）解方程组得出 ，根据 得出关于a的不等式，解不等式即可求解．
（1）解： ，
，
由① ②得： ，
解得： ，把 代入①得： ，
解得： ，
∴方程组的解集为：
（2）由 得， ，
，
，
解得 ．
【变式1】若不等式 的解集为 ，则 的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质 求解即可，解题的关键是掌握不等式的
基本性质．
解：关于 的不等式 的解集为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2】若关于x的方程 的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次不等式，先由 得 ，然后再依据
“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可．
解：由 得 ，
∵方程的解是负数，
∴ ，∴ ．
故选：B．
【考点6】一元一次不等式的应用；
【例6】某电商销售衬衣和围巾两种商品，它们的进价和售价如下表．
种类 衬衣 围巾
进价（元/件） a 50
售价（元/件） 400 80
用19000元可购进某品牌衬衣70件和围巾30件．（利润=售价-进价）
(1)求衬衣进价a的值以及销售完两种商品电商获得的利润．
(2)在实际销售过程中，当衬衣销量达到30件时，为促销并保证销售利润不低于原来利润的 ，围巾售
价不变，余下衬衣降价销售，每件最多降价多少元?
【答案】(1) ， 元 ；(2) 元
【分析】本题考查了一元一次方程及不等式的应用.列出方程不等式是解题的关键．
（1）根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设出来降价，然后根据题意得到降价后的利润，可列得不等式，求解即可；
（1）解：用19000元可购进某品牌衬衣70件和围巾30件，
∴ ，
解得： ，
销售完70件衬衣可得利润为： 元，
销售完30件围巾可得利润为： 元，
∴销售完两种商品电商获得的利润为： 元；
（2）解：设降价 元，
当衬衣销量达到30件时，此时利润为： ，
围巾售价不变，此时利润为：900，
余下衬衣降价销售，此时利润为： ，
∵销售利润不低于原来利润的 ，
∴ ，解得： ，
∴余下衬衣降价销售，每件最多降价 元．
【变式1】某业主贷款22000元购进一台机器，生产某种产品．已知产品的成本每个5元，售价是每个8
元．若每月能生产、销售2000个产品，问至少 个月后能赚回这台机器的贷款．
【答案】4
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的
关键．
设x个月后能赚回这台机器的贷款，利用总利润=每个的利润×每月的产量×时间，结合总利润不少于这台机
器的贷款，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：设x个月后能赚回这台机器的贷款，根据题意，得
解得：
∵x为整数，
∴至少4个月后能赚回这台机器的贷款．
故答案为：4．
【变式2】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边
长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形列出不等式 即可解得．
解：根据题意和图形可得，
解得： ，
故选：D【点拨】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
