文档内容
第 3 讲 双曲线
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
突破二：求双曲线的轨迹方程
突破三：双曲线的渐近线
突破四：双曲线的离心率
突破五：双曲线中焦点三角形
突破六：双曲线中中点弦问题
突破七：双曲线弦长及面积
突破八：双曲线中定点，定值问题
突破九：双曲线中定直线问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、双曲线的定义
（1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点 , 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 )的点
的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
（2）集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: .
（3）说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于
与 的大小.
①若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支;
②若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
2、双曲线的简单几何性质
（ （
标准方程
） ）图形
范围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 ， ,
性质
渐近线
离心率 ， ，
a，b，c间的关系
3、等轴双曲线
（ ， ）当 时称双曲线为等轴双曲线
① ； ②离心率e=√2； ③两渐近线互相垂直，分别为 ；
④等轴双曲线的方程x2 −y2 =λ， ；
4、直线与双曲线的位置关系
x2 y2
（1）代数法：设直线 ，双曲线 − =1(a>0,b>0)联立解得：
a2 b2
(b2 −a2k2 )x2 −2a2mkx−a2m2 −a2b2 =0
① 时， ，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
， ，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
② 时，
b
存在时，若 ，k=± ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
b2 −a2k2 =0 a
若 ，
时， ，直线与双曲线相交于两点；
时， ，直线与双曲线相离，没有交点；
时 ， 直线与双曲线有一个交点；相切不存在， 时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
5、弦长公式
（1）直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 ， 两点，则
为直线斜率
a=±1
（2）通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 、 两点，则弦长 .
6、双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为 渐近线方程：
2、若双曲线方程为 （ ， ） 渐近线方程：
3、若渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 ，
4、若双曲线与 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 （ ，焦点在 轴
上， ，焦点在 轴上）
7、双曲线中点弦的斜率公式
设 为双曲线 弦 （ 不平行 轴）的中点，则有
证明：设 ， ，则有 ， 两式相减得：
整理得： ，即 ，因为 是弦 的中点，所以： ， 所以
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））双曲线 上一点P到它的一个焦点的距离等于
6，那么点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知 ，点 满足方程
，且有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设 为椭圆 和双曲线 的一
个公共点，且 在第一象限， 是 的左焦点，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西·模拟预测（理））已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点
在双曲线的右支上，过点 作渐近线 的垂线，垂足为 ，若 的最小值为 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·青海西宁·二模（文））设双曲线 的左焦点为 ，点 为双曲线右支上的一点，且
与圆 相切于点 ， 为线段 的中点， 为坐标原点，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线 的左、有焦点分别为 ， ，实轴长
为4，离心率 ，点Q为双曲线右支上的一点，点 ．当 取最小值时， 的值为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（理））已知双曲线的离心率为 ，其左，右焦点分别为 ，过 且与x轴垂直的直线l与双曲线的
两条渐近线分别交于A，B两点，若 ，P为双曲线右支上一点，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，左
焦点为 ，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆 上运动，则 的最小值为
___________.
9．（2022·河北邯郸·一模）已知点 在双曲线 的右支上， ，动点 满足 ， 是
双曲线的右焦点，则 的最大值为___________.
突破二：求双曲线的轨迹方程
1．（2022·湖南·长沙一中高二期中）已知圆 ： ， 为圆心， 为圆上任意一点，定点
，线段 的垂直平分线 与直线 相交于点 ，则当点 在圆上运动时，点 的轨迹方程为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北省天门外国语学校高二阶段练习）直线 和 上各有一点 （其中点 的纵坐
标分别为 且满足 ）， 的面积为4，则 的中点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·云南省玉溪第一中学高三开学考试）方程 － ＝12的化简结果为
（ ）
A． － ＝1 B． － ＝1 C． － ＝1(x＞0) D． － ＝1(x＞0)
4．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆 ： 和圆 ： 均外切，则动圆
圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
5．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知椭圆 的方程为 ，其左､右顶点分
别为 ，一条垂直于 轴的直线 交椭圆 于 两点，直线 与直线 相交于点 ，则点 的轨迹
方程为___________.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆 ，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直
于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且 ，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为
______．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，以 为一个焦点作过 ， 的椭圆，则
椭圆的另一个焦点 的轨迹方程是________.
突破三：双曲线的渐近线
1．（2022·福建·莆田二中高二阶段练习）已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线C的一
条渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东省实验中学高二阶段练习）与曲线 共焦点，且与双曲线 共渐近线的双
曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·贵州·高三阶段练习（理））点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海松江·一模）已知 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 是双曲
线 上的任意一点（不是顶点），过 作 的角平分线的垂线，垂足为 ，线段 的延长线交
于点 ， 是坐标原点，若 ，则双曲线 的渐近线方程为______
5．（2022·江苏连云港·高二期中）已知双曲线 的左､右焦点分别为 为原点，若以 为直径的圆与 的渐近线的一个交点为 ，且 ，则 的渐近线方程为__________.
突破四：双曲线的离心率
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的上、下焦点分别是 ， ，若双
曲线C上存在点P使得 ， ，则其离心率的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的上、下焦点分别是 ， 若双曲
线C上存在点P使得 ， ，则其离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西·南昌二中高二阶段练习）已知 ， 分别为双曲线C： 左、右焦
点，过点 的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且 ，
，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海宝山·一模）双曲线C的左、右焦点分别为 、 ，点A在y轴上.双曲线C与线段 交于
点P，与线段 交于点Q，直线 平行于双曲线C的渐近线，且 ，则双曲线C的离心率
为______.
5．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知直线 与双曲线 相交于两个
不同的点，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率的取值范围是
__________．
突破五：双曲线中焦点三角形
1．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为
，过 的直线与 的左､右两支分别交于 两点， ，则实数
（ ）A． B． C．2 D．4
2．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）设 ， 是双曲线C： 的两个焦点，O为坐标原
点，点P在C的渐近线上，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁沈阳·高二期中） 是双曲线 的左、右焦点，过左焦点 的直线
与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 为圆
与此双曲线的一个公共点，则 的面积（ ）
A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为
5．（2022·全国·高二单元测试）双曲线 的两焦点为 、 ，点P在双曲线上，直线 、
倾斜角之差为 ，则 面积为（ ）
A． B． C．32 D．42
突破六：双曲线中中点弦问题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知双曲线 ，过点 的直线 与该双曲线相交于 两点，
若 是线段 的中点，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．该直线不存在
2．（2022·四川·射洪中学高二期中）直线l交双曲线 于A，B两点，且 为AB的中点，则l
的斜率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022·全国·高三专题练习）过点 作直线l与双曲线 交于P，Q两点，且使得A是 的中点，直线l方程为（ ）
A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在
4．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的左焦点 的直线与双曲线交 两
点，且线段 的中点坐标为 ，则双曲线方程是_______________.
5．（2022·全国·高二课时练习）点 平分双曲线 的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般
式为_________________.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相交于
， 两点， 中点横坐标为 ，则此双曲线的方程是______.
突破七：双曲线弦长及面积
1．（2022·四川·简阳市阳安中学高二阶段练习（理））已知双曲线 ： 与双曲线
的渐近线相同，且经过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，直线 经过 ，倾斜角为 ， 与双曲线 交于 两点，
求 的面积.
2．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）已知双曲线 的渐近线为
，左焦点为 经过点 的直线 交双曲线 于 两点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 在 轴上截距为2，求 ；
(3)若 的中点横坐标为1，求直线 的方程．3．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线C： 的离心率为 ，
实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线 被双曲线C截得的弦长为 ，求m的值.
4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知双曲线 的焦距长为8.
(1)求 的方程；
(2)若 ，过点 的直线 交 于 两点，若 ，求直线 的方程.
5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知双曲线 的渐近线方程为
，且经过点 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线 与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，求 的面积．
6．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）已知双曲线 中， ，虚轴长为 .
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点 ，倾斜角为 的直线 与双曲线交于 、 两点， 为坐标原点，求 的面积.
7．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）已知双曲线 的离心率为 ，左、右焦点
分别为 ， ，焦距为 ．点 在第一象限的双曲线上，过点 作双曲线切线与直线 交于点 ．
(1)证明： ；(2)已知斜率为 的直线 与双曲线左支交于 两点，若直线 ， 的斜率互为相反数，求 的
面积．
突破八：双曲线中定点，定值问题
1．（2022·上海市朱家角中学高一期末）已知双曲线 的一条渐近线方程 ，原
点到过 、 点的直线 的距离为 ．
(1)求双曲线方程；
(2)过点 能否作直线 ，使 与已知双曲线交于两点 、 ，且 是线段 的中点？若存在，请求
出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
2．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）已知双曲线 ，四点
中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点 的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线 的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
3．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，动点C满足直线AC
与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点 作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线 的平行线 交曲线E
于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
4．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）已知双曲线 （ ， ）的左焦点坐标为，直线 与双曲线 交于 ， 两点，线段 中点为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)经过点 且与 轴不重合的直线 与双曲线 交于两个不同点 ， ，点 ，直线 ，
与双曲线 分别交于另一点 ， ，若直线 与直线 的斜率都存在，并分别设为 ， .是否存在实常
数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
5．（2022·河南商丘·高二期中（理））椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆
和双曲线
(1)设AB是双曲线 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为
坐标原点，则 为定值.类比双曲线的性质：若AB是椭圆 的不平行于对
称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想 的值，并证明；
(2)设椭圆 交x轴于A，B两点，点P是椭圆 上异于A，B的任意一点，直线PA，
PB分别交y轴于点M，N，则 为定值 ，类比椭圆的性质：若双曲线
交x轴于A，B两点，点P是双曲线 上异于A，B的任意一点，直线PA，PB
分别交y轴于点M，N，试猜想 的值，并证明.
突破九：双曲线中定直线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： （ ， ）实轴端点分别为 ，，右焦点为 ，离心率为2，过 点且斜率1的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知 的面
积为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线
上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是双曲线 的左，右顶点，直线 （不与坐标
轴垂直）过点 ，且与双曲线 交于 ， 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 相交于点 ，求证：点 在定直线上.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知双曲线的一个顶点是 ，其渐近线方程为
，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知点F是双曲线 的右焦点，点P是双曲线上在第一象
限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））若直线 与双曲线 的一条渐近线垂直，则a
的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
4．（2022·河北·模拟预测（理））已知双曲线 经过点 ，且右焦点 到其渐近线的距离为4，双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知 是双曲线 的左右焦点，直线
过 与抛物线 的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则 （ ）
A． B． C．4 D．
6．（2022·广西广西·模拟预测（理））双曲线 的左右顶点分别为 ，曲线
上的一点 关于 轴的对称点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则当 取到最
小值时，双曲线离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
7．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））已知双曲线 的左右焦点分别为 ，P是
双曲线上位于第一象限内的一点，且直线 与y轴的正半轴交于A点，三角形 的内切圆在边 上
的切点为Q，双曲线的左焦点 到双曲线的一条渐近线的距离为 ， ，则该双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知 分别为双曲线 的左焦点和
右焦点，过 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点， 的内切圆半径为 ， 的内切圆半径
为 ，若 ，且直线l的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、多选题
9．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线 经过点 ，则（ ）
A． 的实轴长为 B． 的焦距为
C． 的离心率为 D． 的渐近线方程是
10．（2022·重庆八中模拟预测）已知点 ， ，若某直线上存在点P，使得
，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）A． B． C． D．
三、填空题
11．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））若圆 与双曲线
的渐近线相切，则双曲线的离心率为___________.
12．（2022·上海闵行·二模）已知双曲线 的实轴为 ，对于实轴 上的任意
点 ，在实轴 上都存在点 ，使得 ，则双曲线 的两条渐近线夹角的最大值为
___________；
13．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，
，一条渐近线方程为 ，若点 在双曲线 上，且 ，则 ________.
四、解答题
14．（2022·陕西·咸阳市高新一中模拟预测（文））已知焦点在 轴上的双曲线 经过点
．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，求弦长 ．
15．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，动点C满足直线
AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点 作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线 的平行线 交曲线E
于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．16．（2022·福建漳州·三模）已知圆 ，圆 ，动圆P与圆 ，圆 都外
切．圆心P的轨迹为曲线C
(1)求C的方程；
(2)已知A，B是C上不同的两点，AB中点的横坐标为2，且AB的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定
圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由
