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专题9 分类讨论思想解决等腰三角形中的两解及多解问题（解析版）
类型一 等腰三角形的要和底不明确时需讨论
1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
【思路引领】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进
行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，
当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D．
【总结提升】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到
两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的
关键．
类型二 等腰三角形顶角与底角不明确时需讨论
2．（2023秋•宝应县月考）已知等腰三角形中，一个角为70°，则该等腰三角形的底角度数是 70 ° 或 55 °
．
【思路引领】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析
可得答案．
【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于70°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是70°，
②设该等腰三角形的底角是x，
则2x+70°＝180°，
解可得，x＝55°，即该等腰三角形的底角的度数是55°；
故答案为70°或55°
【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解
是正确解答本题的关键．
类型三 等腰三角形形状不确定时需讨论
（一）有高无图时
3．（2023•琼中县一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（
）A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【思路引领】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内
部时，如图1，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当
BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计
算出∠ACB．
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，
∵AB＝AC，
1
∴∠ABC＝∠ACB= （180°﹣30°）＝75°；
2
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
1
∴∠ACB= ∠BAD＝15°，
2
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．
故选：C．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（二）有垂直平分线时
4．（2023春•新泰市期末）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则
∠ACB＝（ ）
A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°
【思路引领】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则根据等
腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB＝∠DBA＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝
10°时，则∠CAB＝40°，则
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB＝100°；当 C′点在 ED 的延长线上，
∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝60°，根据等边三角形的性质易得∠AC′B＝60°．
【解答】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E，
∴DA＝DB，
1 1
∴∠DAB＝∠DBA= （180°﹣∠ADB）= ×（180°﹣80°）＝50°，
2 2
当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝50°﹣10°＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝50°+10°＝60°，
∵CA＝CB，
∴∠AC′B＝60°，
综上所述，∠ACB的度数为60°或100°．
故选：C．
【总结提升】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任
意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．5．（2022秋•沭阳县期中）已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是 40°，则底角
的度数为 ．
【思路引领】作出图形，分①三角形是锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等
腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②三角形是钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和求出顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：①如图1，三角形是锐角三角形时，∠A＝90°﹣40°＝50°，
1
底角为： ×（180°﹣50°）＝65°，
2
②如图2，三角形是钝角三角形时，∠BAC＝90°+40°＝130°，
1
底角为： ×（180°﹣130°）＝25°，
2
综上所述，底角为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的性质，难点在于分情况讨论，作出图
形更形象直观．
类型四 图形分割问题中的分类讨论
（一）中线分割周长
6．（2023•兴化市校级一模）已知等腰三角形的底边长为 10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部
分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 1 5 cm．
【思路引领】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形
的腰长是xcm，根据其中一部分比另一部分长5cm，即可列方程求解．
【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长是xcm．
1 1
当AD+AC与BC+BD的差是5cm时，即 x+x﹣（ x+10）＝5，
2 2
解得：x＝15，
15，15，10能够组成三角形；1 1
当BC+BD与AD+AC的差是5cm时，即10+ x﹣（ x+x）＝5，
2 2
解得：x＝5，
5，5，10不能组成三角形．
故这个三角形的腰长为15cm．
故答案为：15．
【总结提升】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等，同时考查了三角形的三边关系．
7．（2022秋•和平区校级期末）已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长
分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为 1 8 cm 或 1 2 cm ．
【思路引领】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周
长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所
求的结果是否满足三角形的三边关系．
【解答】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm．
根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27和18两部分，
∴¿或¿，
解得¿或¿，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm．
故答案为：18cm或12cm．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确 3：2两部分是哪一部
分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，
这点非常重要，也是解题的关键．
（二）过三角形一顶点的直线将等腰三角形分割成两个小等腰三角形
8．（2022•天宁区校级二模）已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成
两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，我们把这样的等腰三角形叫做和谐三角形．请构
造出所有符合条件的和谐三角形并标出相关角的度数．
【思路引领】先根据题意做出等腰三角形，再根据直线过点A，B分四种情况，根据三角形内角和定理，三角形外角的性质等，分别求出内角的度数即可．
【解答】解：一共有4种情况：
①△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直线AD是过顶点A．
∵△ABD，△ACD是等腰三角形，
∴AD＝BD，AD＝CD，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C．
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C＝180°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°；
②△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直线AD是过顶点A．
∵△ABD，△ACD是等腰三角形，
∴AB＝BD，AD＝CD，
∴∠B＝∠C，∠DAC＝∠C，∠BAD＝∠BDA，
∴∠BDA＝2∠C．
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴2∠B+3∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠C＝36°，∠BAC＝108°；
③如图所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直线BD是过顶点B．∵△ABD，△BCD是等腰三角形，
∴AD＝BD，BD＝BC，
∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C．
∵∠BDC＝2∠A，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°；
④如图所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直线BD是过顶点B．
∵△ABD，△BCD是等腰三角形，
∴AD＝BD，BC＝CD，
∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠A，∠DBC＝∠CDB．
∴∠BDC＝2∠A，
∴∠DBC＝2∠A，∠ABC＝∠C＝3∠A．
∴7∠A＝180°，
180°
解得∠A= ，
7
540°
则∠ABC=∠C= ．
7
【总结提升】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，正确记忆三角形内角和定理，三角形外角的性质等，注意多种情况讨论，不能丢解是解题关键．
9．已知△ABC中，∠A＝80°，过△ABC的顶点B的直线将△ABC分割成两个等腰三角形，求∠C的度数．
（请画图分析）
【思路引领】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：如图1，∵AB＝BD＝CD，∠A＝80°，
∴∠ADB＝∠A＝80°，∠DBC＝∠C，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C，
1
∴∠C= ∠ADB＝40°；
2
如图2，∵AB＝AD＝BD，∠A＝80°，
1
∴∠ADB＝∠ABD= （180°﹣∠A）＝50°，∠DBC＝∠C，
2
∵∠ADB＝∠DBC+∠C，
1
∴∠C= ∠ADB＝25°，
2
如图3，AD＝BD，BD＝CD，
∴∠A＝∠ABD＝80°，∠DBC＝∠C＝10°．
综上所述，∠C的度数为40°或25°或10°．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，正确的作出图形是
解题的关键．
10．（2016•章贡区模拟）有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形
纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 25 ° 或 40 ° 或 10 ° ．【思路引领】分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出
∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
对于△ABD可能有①AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝80°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣80°＝100°，
1
∠C= （180°﹣100°）＝40°，
2
1 1
②AB＝AD，此时∠ADB= （180°﹣∠A）= （180°﹣80°）＝50°，
2 2
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣50°＝130°，
1
∠C= （180°﹣130°）＝25°，
2
③AD＝BD，此时，∠ADB＝180°﹣2×80°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣20°＝160°，
1
∠C= （180°﹣160°）＝10°，
2
综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°．
故答案为：25°或40°或10°．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．
11．（2021秋•东湖区校级期末）如图，有一个三角形纸片ABC，∠C＝30°，点D是AC边上一点，沿BD
方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是 37.5 ° 或 15 ° 或 60 °
．
【思路引领】分BC＝CD或BC＝BD或CD＝BD三种情况，求出∠ADB，再分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A即可得解．
【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
①BC＝CD，此时∠CDB＝∠DBC＝（180°﹣∠C）÷2＝75°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣75°＝105°，
AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝37.5°；
②BC＝BD，此时∠CDB＝∠C＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣30°＝150°，
AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝15°；
③CD＝BD，此时∠CDB＝180°﹣2∠C＝120°，
∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣120°＝60°，
AB＝AD时，∠A＝180°﹣2∠ADB＝60°；
或AB＝BD，∠A＝60°；
或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝60°．
综上所述，∠A的度数可以是37.5°或15°或60°．
故答案为：37.5°或15°或60°．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
类型五 因动点引起的分类讨论
12．（2020秋•嵊州市期中）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，点A是直线a上的一个定点，点B
在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB的度数是 50 ° 或 65 ° 或
80° 或 25° ．
【思路引领】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解．
【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB ＝AB 时，∠OAB＝∠1＝50°；
1 1
②当OA＝AB 时，∠OAB＝180°﹣2×50°＝80°；
2
1
③当OA＝OB 时，∠OAB＝∠OBA= （180°﹣50°）＝65°；
3
2
1
当OA＝OB 时，∠OAB＝∠OBA= ∠1＝25°；
4
2
综上所述，∠OAB的度数是50°或65°或80°或25°，
故答案为：50°或65°或80°或25°．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
13．（南京中考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形
ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰
三角形长为3的边上标注数字3）
【思路引领】①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，
以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在
AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接
AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A
与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接
即可，⑥以A为端点在AD上截取3个单位，再作这条线段的垂直平分线交BC一点，连接即可（和⑤
大小一样）；⑦以A为端点在AD上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交CD一个点，连接即可（和③大小一样）．
【解答】解：满足条件的所有图形如图所示：
共5个．
【总结提升】此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，关键是掌握等腰三角形的判定方法．
