文档内容
第 3 讲 双曲线
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
突破二：求双曲线的轨迹方程
突破三：双曲线的渐近线
突破四：双曲线的离心率
突破五：双曲线中焦点三角形
突破六：双曲线中中点弦问题
突破七：双曲线弦长及面积
突破八：双曲线中定点，定值问题
突破九：双曲线中定直线问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、双曲线的定义
（1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点 , 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 )的点
的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
（2）集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: .
（3）说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于
与 的大小.
①若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支;
②若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
2、双曲线的简单几何性质
（ （
标准方程
） ）图形
范围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 ， ,
性质
渐近线
离心率 ， ，
a，b，c间的关系
3、等轴双曲线
（ ， ）当 时称双曲线为等轴双曲线
① ； ②离心率e=√2； ③两渐近线互相垂直，分别为 ；
④等轴双曲线的方程x2 −y2 =λ， ；
4、直线与双曲线的位置关系
x2 y2
（1）代数法：设直线 ，双曲线 − =1(a>0,b>0)联立解得：
a2 b2
(b2 −a2k2 )x2 −2a2mkx−a2m2 −a2b2 =0
① 时， ，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
， ，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
② 时，
b
存在时，若 ，k=± ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
b2 −a2k2 =0 a
若 ，
时， ，直线与双曲线相交于两点；
时， ，直线与双曲线相离，没有交点；
时 ， 直线与双曲线有一个交点；相切不存在， 时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
5、弦长公式
（1）直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 ， 两点，则
为直线斜率
a=±1
（2）通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 、 两点，则弦长 .
6、双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为 渐近线方程：
2、若双曲线方程为 （ ， ） 渐近线方程：
3、若渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 ，
4、若双曲线与 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 （ ，焦点在 轴
上， ，焦点在 轴上）
7、双曲线中点弦的斜率公式
设 为双曲线 弦 （ 不平行 轴）的中点，则有
证明：设 ， ，则有 ， 两式相减得：
整理得： ，即 ，因为 是弦 的中点，所以： ， 所以
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））双曲线 上一点P到它的一个焦点的距离等于
6，那么点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
【答案】D
【详解】因为双曲线 ，
所以 ，则 ，
因为点P到它的一个焦点的距离等于6，
设点P到另一个焦点的距离为 ，
所以 ，解得 或
故选：D.
2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知 ，点 满足方程
，且有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，点 且满足 ，
根据双曲线的定义，可得点 的轨迹表示以 为焦点的双曲线 的右支，
其中 ，可得 ，则 ，
可得双曲线 的渐近线方程为 ，
又因为点 满足方程 ，即 ，
结合双曲线的几何性质，可得 ，即 的取值范围是 .
故选：B.3．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设 为椭圆 和双曲线 的一
个公共点，且 在第一象限， 是 的左焦点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由椭圆 方程知其焦点为 ；由双曲线 方程知其焦点为 ；
椭圆 与双曲线 共焦点，设其右焦点为 ，
为椭圆 与双曲线 在第一象限内的交点，
由椭圆和双曲线定义知： ，解得： .
故选：A.
4．（2022·江西·模拟预测（理））已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点
在双曲线的右支上，过点 作渐近线 的垂线，垂足为 ，若 的最小值为 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如下图所示，点 到直线 的距离为 ，连接 ，由双曲线的定义可得 ，
所以， ，
当且仅当 、 、 三点共线时，等号成立，故 ，可得 ，
所以， ，因此，该双曲线的离心率为 .
故选：B.
5．（2022·青海西宁·二模（文））设双曲线 的左焦点为 ，点 为双曲线右支上的一点，且
与圆 相切于点 ， 为线段 的中点， 为坐标原点，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】由题意可知：双曲线 焦点在x轴上，a=4，b=3，c=5，
设双曲线的右焦点F（5，0），左焦点F（﹣5，0），
2
由OM为△PFF 中位线，则丨OM丨= 丨PF 丨，
1 2
由PF与圆x2+y2=16相切于点N，则△ONF为直角三角形，
∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，
则丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，
由丨MF丨= 丨PF丨，
∴|MN|﹣|MO|= 丨PF丨﹣3﹣ 丨PF 丨= （丨PF丨﹣丨PF 丨）﹣3= ×2a﹣3=1，
2 2
∴|MN|﹣|MO|=1，
故选：B．6．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线 的左、有焦点分别为 ， ，实轴长
为4，离心率 ，点Q为双曲线右支上的一点，点 ．当 取最小值时， 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得 ，又 ，故 ，
所以 ，则双曲线方程为 ，
结合双曲线定义可得 ，
如图示，连接 ,交双曲线右支于点M，即当 三点共线，
即Q在M位置时， 取最小值，
此时直线 方程为 ，联立 ，
解得点Q的坐标为 ,( Q为双曲线右支上的一点)，
故 ，
故选：B7．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（理））已知双曲线
的离心率为 ，其左，右焦点分别为 ，过 且与x轴垂直的直线l与双曲线的
两条渐近线分别交于A，B两点，若 ，P为双曲线右支上一点，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】把 代入 得 ，所以 ，又 ， ，所以 ，
， ， ，
所以 ，当且仅当 三点共线时等号成立，
，
所以 的最小值为 ．
故选：C．
8．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，左
焦点为 ，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆 上运动，则 的最小值为
___________.
【答案】8【详解】由双曲线 的一条渐近线方程为 ，
可得 ，解得 .
所以 ，双曲线的左焦点坐标 ，右焦点坐标为 ，
由双曲线的定义，知 ，即 ，
由圆 可得圆心 ，半径为 ，
，
问题转化为求点 到圆 上的最小值，
即 ，
所以 .
所以 的最小值为 .
故答案为： .
9．（2022·河北邯郸·一模）已知点 在双曲线 的右支上， ，动点 满足 ， 是
双曲线的右焦点，则 的最大值为___________.
【答案】 ##
【详解】动点 满足 ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆,
设双曲线的左焦点为 ，由题知 ，
则 ，
当且仅当 ， ， 三点共线时，等号成立，
所以 的最大值为 ，
故答案为：突破二：求双曲线的轨迹方程
1．（2022·湖南·长沙一中高二期中）已知圆 ： ， 为圆心， 为圆上任意一点，定点
，线段 的垂直平分线 与直线 相交于点 ，则当点 在圆上运动时，点 的轨迹方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为线段 的垂直平分线 与直线 相交于点 ，
所以有 ，
由 ，得 ，该圆的半径为 ，
因为点 在圆上运动时，
所以有 ，于是有 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点的双曲线，所以 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
故选：D
2．（2022·湖北省天门外国语学校高二阶段练习）直线 和 上各有一点 （其中点 的纵坐
标分别为 且满足 ）， 的面积为4，则 的中点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为直线 和 互相垂直，
所以 ，
又 ，
所以点 在一，四象限或者二，三象限，
设 ，
因为 为 的中点，
所以 ，
所以
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
故选：B
3．（2022·云南省玉溪第一中学高三开学考试）方程 － ＝12的化简结果为
（ ）
A． － ＝1 B． － ＝1 C． － ＝1(x＞0) D． － ＝1(x＞0)
【答案】C
【详解】解：设A(−10,0)，B(10,0)， ，
由于动点P(x,y)的轨迹方程为 － ＝12，
则|PA|−|PB|=12，故点P到定点A(−10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12，
则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，
由于2a=12，c=10，则 ，
故P的轨迹的标准方程为 － ＝1(x＞0).
所以原方程可以化简为 － ＝1(x＞0).
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆 ： 和圆 ： 均外切，则动圆
圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设动圆M的半径为r，圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径
，因为动圆M与圆 和圆 均外切，所以 ， ，所以 ，所
以点M的轨迹是以点 ， 为焦点的双曲线的右支． ， ， ，所以
.所以动圆圆心M的轨迹方程为 ．故选：A．
5．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知椭圆 的方程为 ，其左､右顶点分
别为 ，一条垂直于 轴的直线 交椭圆 于 两点，直线 与直线 相交于点 ，则点 的轨迹
方程为___________.
【答案】
【详解】由题意知 ，
设直线 为 ， ，
由 三点共线及 三点共线，
得 ，
两式相乘化简，得 ，
又 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆 ，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直
于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且 ，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为
______．
【答案】
【详解】
设直线l的方程为 ，直线m的方程为 ，
所以 ，不妨设点 ， ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
故答案为：
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，以 为一个焦点作过 ， 的椭圆，则
椭圆的另一个焦点 的轨迹方程是________.
【答案】
【详解】根据椭圆定义知： ，即 ，故 ，
故焦点 的轨迹方程为双曲线的下支， ， ，故 ，
故轨迹方程为： .
故答案为： .
突破三：双曲线的渐近线
1．（2022·福建·莆田二中高二阶段练习）已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线C的一
条渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知， ，
则由 得 ；所以，渐近线方程为 ，即
故选：A.
2．（2022·山东省实验中学高二阶段练习）与曲线 共焦点，且与双曲线 共渐近线的双
曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为曲线 为椭圆，焦点在 轴上，且 ，
又因为所求双曲线与双曲线 共渐近线，
所以设所求双曲线为 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以所求双曲线为 .
故选：A.
3．（2022·贵州·高三阶段练习（理））点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为 ，即 ，由对称性不妨考虑点 到直
线 的距离： ，
故选：B.
4．（2022·上海松江·一模）已知 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 是双曲
线 上的任意一点（不是顶点），过 作 的角平分线的垂线，垂足为 ，线段 的延长线交
于点 ， 是坐标原点，若 ，则双曲线 的渐近线方程为______
【答案】
【详解】因为 是 的角平分线， ，所以 是等腰三角形， ， 为 的中点，
又 为 的中点，所以 是 的中位线，
所以 ，因为 ，
当点 在双曲线的右支上时， ，
当点 在双曲线的左支上时， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故答案为： .
5．（2022·江苏连云港·高二期中）已知双曲线 的左､右焦点分别为 为原点，
若以 为直径的圆与 的渐近线的一个交点为 ，且 ，则 的渐近线方程为__________.
【答案】
【详解】由题意知 , , ,
故答案为： .
突破四：双曲线的离心率
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的上、下焦点分别是 ， ，若双曲线C上存在点P使得 ， ，则其离心率的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】设 ，则 ①，
利用向量加法法则知 ，则
即 ，
故 ②，
设 ，
则 ，
③，
由②③得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，即
所以双曲线离心率的值是3
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的上、下焦点分别是 ， 若双曲
线C上存在点P使得 ， ，则其离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，
利用向量加法法则知 ，则
即 ，
故 ①，
设 ，
则 ，
②，由①②得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，即
所以双曲线离心率的值大于3，
故选：D
3．（2022·江西·南昌二中高二阶段练习）已知 ， 分别为双曲线C： 左、右焦
点，过点 的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且 ，
，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，结合正弦定理得 ，
因为 ，所以 ， ．
又 ，即 ，
则 ，所以 ．
设 ，则 ，
又 ，则 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 是正三角形，从而 ．
在 中，由 ，
得 ，得 ，所以 ．
故选：C．
4．（2022·上海宝山·一模）双曲线C的左、右焦点分别为 、 ，点A在y轴上.双曲线C与线段 交于
点P，与线段 交于点Q，直线 平行于双曲线C的渐近线，且 ，则双曲线C的离心率
为______.
【答案】【详解】
如图， 交 轴于 .根据双曲线的对称性，知 与 轴平行，且 .
设 ，则 ， ，所以 .
双曲线渐近线方程为 . ，由已知直线 斜率为 ，
则直线 的方程为 ，则 ， .
因为 ，所以有 ，即 ，
整理可得， ，则 ，则 ，
所以有 ，所以 .
故答案为： .
5．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知直线 与双曲线 相交于两个
不同的点，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率的取值范围是
__________．
【答案】 且
【详解】双曲线 的渐近线为 ，取其中一条渐近线 ，取双曲线的右焦
点为 ，故双曲线的一个焦点到它一条渐近线的距离为 ，
故 ，所以，双曲线变为 ，联立直线方程得到 ，整理得，
，则 ，得到 ，所以，，故 ，又因为直线 不与渐近线平行， ，得到
，解得 ，故双曲线的离心率的取值范围是 且 .
故答案为： 且
突破五：双曲线中焦点三角形
1．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为
，过 的直线与 的左､右两支分别交于 两点， ，则实数
（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】如图所示：设 ， ，即 ，
解得 ， ，即 ，故 ．
， ， ， ， ，即 ．
故选：C
2．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）设 ， 是双曲线C： 的两个焦点，O为坐标原
点，点P在C的渐近线上，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】双曲线的渐近线为 ，由双曲线的对称性，不妨设 ，由 得
，又 ，∴ 的面积 .
故选：A
3．（2022·辽宁沈阳·高二期中） 是双曲线 的左、右焦点，过左焦点 的直线
与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设 ，则 ， ，
， ；
由双曲线定义可知： ， ，
， ，
， ，
， ，则 .
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 为圆
与此双曲线的一个公共点，则 的面积（ ）
A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为
【答案】D
【详解】由双曲线方程 知 ， ，
恰好为圆 的直径，所以 ，如图所示：由双曲线定义知 ， ，
∴ ，
所以
∴ ，
故选：D.
5．（2022·全国·高二单元测试）双曲线 的两焦点为 、 ，点P在双曲线上，直线 、
倾斜角之差为 ，则 面积为（ ）
A． B． C．32 D．42
【答案】A
【详解】根据 、 为双曲线 的两焦点可得 ，
又直线 、 倾斜角之差为 ，所以 ，
根据余弦定理可得 ，
整理得 ①，
根据点P在双曲线上可得 ，
则 ②，
①-②得， ，则 面积为 .
故选：A.
突破六：双曲线中中点弦问题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知双曲线 ，过点 的直线 与该双曲线相交于 两点，
若 是线段 的中点，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．该直线不存在
【答案】D
【详解】解：设 ，且 ，代入双曲线方程得 ，两式相减得：
若 是线段 的中点，则 ，所以 ，即直线 的斜率为 ，
所以直线 方程为： ，即 ；
但联立 ，得 ，则 ，方程无解，所以直线 不存在.
故选：D.
2．（2022·四川·射洪中学高二期中）直线l交双曲线 于A，B两点，且 为AB的中点，则l
的斜率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】设点 ， ，因 为AB的中点，则有 ，
又点A，B在双曲线上，则 ，即 ，
则l的斜率 ，此时，直线l的方程： ，由 消去y并整理得： ， ，即直线l与双曲线交于
两点，
所以l的斜率为2.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）过点 作直线l与双曲线 交于P，Q两点，且使得A是 的
中点，直线l方程为（ ）
A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在
【答案】D
【详解】设点 ，因点 是 的中点，则 ，
从而有 ，两式相减得： ，
即 ，于是得直线l的斜率为 ，
直线l的方程为： ，即 ，
由 消去y并整理得： ，此时 ，即方程组
无解，
所以直线l不存在.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线 的左焦点 的直线与双曲线交 两
点，且线段 的中点坐标为 ，则双曲线方程是_______________.
【答案】
【详解】设 ， ，
则 ， ，
两式相减可得： ，
所以 ，
因为点 是线段 的中点，所以 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
所以双曲线方程是 ，
故答案为： .
5．（2022·全国·高二课时练习）点 平分双曲线 的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般
式为_________________.
【答案】
【详解】设弦的两个端点分别为 ， ，则 ， ，
两式相减得 ，
因为线段 的中点为 ，所以 ， ，所以 ，
所以直线 的方程为 代入 满足 ，即直线方程为 .
故答案为： .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相交于
， 两点， 中点横坐标为 ，则此双曲线的方程是______.
【答案】
【详解】设点 、 ，
由题意可得 ， ， ，
直线 的斜率为 ，
则 ，两式相减得 ，所以 ，
由于双曲线的一个焦点为 ，则 ， ， ，
因此，该双曲线的标准方程为 .
故答案为： .
突破七：双曲线弦长及面积
1．（2022·四川·简阳市阳安中学高二阶段练习（理））已知双曲线 ： 与双曲线
的渐近线相同，且经过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，直线 经过 ，倾斜角为 ， 与双曲线 交于 两点，
求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，设所求双曲线 方程为 ，
代入点 得 ，即 ，
所以双曲线 方程为 ，即 ．
（2）由（1）得 ，则 ， ， ，
又直线 倾斜角为 ，则 ，故直线 的方程为 ，
设 ， ，
联立 ，消去 ，得 ，
则 ， ， ，由弦长公式得 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 ．
2．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）已知双曲线 的渐近线为
，左焦点为 经过点 的直线 交双曲线 于 两点．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 在 轴上截距为2，求 ；
(3)若 的中点横坐标为1，求直线 的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得 ，所以 ，
所以双曲线 的标准方程为 ；
（2）由题意得直线 的方程为 ，由 得， ，设 ，则
，所以 ；
（3）当直线 的斜率不存在时，中点横坐标为 ，显然不合题意，所以设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，解得 ，
此时所联立方程可整理化简得： ，满足 ，符合题意，
故直线 的方程为 ．3．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线C： 的离心率为 ，
实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线 被双曲线C截得的弦长为 ，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 双曲线离心率为 ，实轴长为2，
， ，
解得 ， ，
，
所求双曲线C的方程为 ；
（2）设 , ,
联立 ， ， ，
， ．
，
，解得 ．
4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知双曲线 的焦距长为8.
(1)求 的方程；
(2)若 ，过点 的直线 交 于 两点，若 ，求直线 的方程.
【答案】(1)当 时， 的方程为 ；当 时， 的方程为
(2) 或
【详解】（1）根据已知条件 表示双曲线，
可知 ，解得 或 .
由双曲线 的焦距长为8可知 ，即 .当 时，有 ，则 ，此时双曲线 的方程为 ；
当 时，双曲线 的方程为 ，有 ，则 ，此时双曲线 的方程
为 .
综上所述，当 时， 的方程为 ；当 时， 的方程为 ；
（2）由（1）可知，当 时，双曲线 的方程为 ，其中 ， .
当直线 的斜率为0时，直线为 ，代入 得 ，则 ，不适合题意；
当直线 的斜率不为0时，设直线 ，联立 ，消去 得 .
则 ，
设 ， ，则 ， .
，解得 或 ，则 或 .
故直线 的方程为 或 .
5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知双曲线 的渐近线方程为
，且经过点 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线 与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意： 解得 ，故双曲线的方程为： ．（2）设 ，则 ，消去 得： ，
，
又点O到直线 的距离 ，
．
6．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）已知双曲线 中， ，虚轴长为 .
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点 ，倾斜角为 的直线 与双曲线交于 、 两点， 为坐标原点，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
（1）
解：由已知条件可得 ，解得 ，
因此，双曲线的标准方程为 .
（2）
解：由题意可知，直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ，解得 ， ，
因此， .
7．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）已知双曲线 的离心率为 ，左、右焦点
分别为 ， ，焦距为 ．点 在第一象限的双曲线上，过点 作双曲线切线与直线 交于点 ．
(1)证明： ；(2)已知斜率为 的直线 与双曲线左支交于 两点，若直线 ， 的斜率互为相反数，求 的
面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，焦距为 ，
所以， ，解得 ，
所以，双曲线的标准方程为 ，
因为过点 作双曲线切线与直线 交于点 ，故切线的斜率存在，
所以，设 ，在点 的切线方程为 ，
联立方程 得
所以， ，即 ①
因为 ，代入①式得 ，解得
所以，在点 的切线方程为 ，
所以点 的坐标为 ，即 ，
因为 ，
所以
所以，
（2）解：由题，设直线 的方程为 ，
与双曲线方程 联立得 ，
设 ，
所以因为直线 ， 的斜率互为相反数，所以 ，
所以，
整理得： ②
将 代入②整理得： ③
结合 可知 时，③式恒成立，
所以，由（1）可知 ， ， ，
所以，
所以 的面积 .
突破八：双曲线中定点，定值问题
1．（2022·上海市朱家角中学高一期末）已知双曲线 的一条渐近线方程 ，原
点到过 、 点的直线 的距离为 ．
(1)求双曲线方程；
(2)过点 能否作直线 ，使 与已知双曲线交于两点 、 ，且 是线段 的中点？若存在，请求
出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为直线 过 、 两点，所以方程为 ，
因为原点到直线 的距离为 ，所以 ，
因为双曲线 的一条渐近线方程 ，
所以 ，解得 ， ，
所以双曲线方程为 ；
（2）解：假设直线 存在，设 是线段 的中点，且 ， ，
则 ， ，
因为 、 在双曲线上，则 ，两式相减整理得 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，消 得 ，
因为 ，
所以直线 与双曲线无交点，所以直线 不存在．
2．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）已知双曲线 ，四点
中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点 的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线 的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知点 ， 两点关于原点对称，所以 ， 一定在双曲线上，
而 ，因为 ，但 ，所以点 不在双曲线上，
所以点 ， ， 在双曲线上，则 ，解得 ， ，
所以双曲线方程为 ；
（2）证明：设直线 的方程为 ，代入双曲线方程可得： ，
设 ， ， ， ，则 ，则 ， ，
所以直线 的方程为： ，即 ，
令 ，则 ，
由 ， ，得 ，所以 ，
综上，直线 过定点 ．
3．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，动点C满足直线AC
与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点 作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线 的平行线 交曲线E
于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 为定值2
【详解】（1）设 ，因为直线AC与直线BC的斜率乘积为3，
所以 ，所以 ，
故动点C的轨迹方程为 ．
（2）易知直线 的斜率存在且不为0．
设直线 ： ， ， ，
联立方程组 得 ，
则 ，
因为P，Q在y轴两侧，
所以 ，所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 的方程为 ．
设 ，则 ，
联立方程组 ，得 ．所以 ， ，
所以 ，
所以 ，即 为定值2．
4．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）已知双曲线 （ ， ）的左焦点坐标为
，直线 与双曲线 交于 ， 两点，线段 中点为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)经过点 且与 轴不重合的直线 与双曲线 交于两个不同点 ， ，点 ，直线 ，
与双曲线 分别交于另一点 ， ，若直线 与直线 的斜率都存在，并分别设为 ， .是否存在实常
数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）解：由题意知 ，直线 的斜率为 ，设 ， ，
由题意 ，两式相减得： ，
整理得： ，即 ，
又 ，所以 ， ，即双曲线 ，经检验满足题意.
（2）解：因为 的斜率 存在且 ，直线 的方程为 ，设 ， ，
又 ，设直线 ，
联立 ，整理得 ，由韦达定理得 ，
又∵ ，∴ ，
于是 ，
故 ，同理可得 ，
∴
∴ ，
∴ 为定值 ，所以 的值 .
5．（2022·河南商丘·高二期中（理））椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆
和双曲线
(1)设AB是双曲线 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为
坐标原点，则 为定值.类比双曲线的性质：若AB是椭圆 的不平行于对
称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想 的值，并证明；
(2)设椭圆 交x轴于A，B两点，点P是椭圆 上异于A，B的任意一点，直线PA，
PB分别交y轴于点M，N，则 为定值 ，类比椭圆的性质：若双曲线
交x轴于A，B两点，点P是双曲线 上异于A，B的任意一点，直线PA，PB
分别交y轴于点M，N，试猜想 的值，并证明.【答案】(1)猜想： ，证明见解析
(2)猜想： ，证明见解析
(1)
猜想： .
证明：设 ， ， ，则有
， ，
则 .
将A，B的坐标代入椭圆方程中得： ①， ②，
①-②得： ， ，即 .
(2)
猜想：
证明：由题意得 ， ，设 ，则 ，
所以直线PA方程为 .
令 ，则 ，所以点M坐标为 .
又 ，所以 ；同理可得： .
所以 ，又因为 ，
所以 ，得证.
突破九：双曲线中定直线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： （ ， ）实轴端点分别为 ，，右焦点为 ，离心率为2，过 点且斜率1的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知 的面
积为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线
上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线方程 上
（1）
设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
又 ， ，代入上式得 ，即 ，
∴ ，解得 ，∴ ， ，∴双曲线的方程为 ．
（2）
当直线 点的斜率不存在时， ， ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
，联立直线 与直线 的方程可得的 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，∴ ， ，
∴直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
，两边平方得 ，
又 ， 满足 ，
∴，
∴ ，∴ ，或 ，（舍去）
综上， 在定直线上，且定直线方程为 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是双曲线 的左，右顶点，直线 （不与坐标
轴垂直）过点 ，且与双曲线 交于 ， 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 相交于点 ，求证：点 在定直线上.
【答案】（1） 或 ；（2）证明见解析.
【详解】解：设直线 的方程为 ，设 ， ，把直线 与双曲线
联立方程组， ，可得 ，
则 ，
（1） ， ，由 ，可得 ，
即 ①， ②，
把①式代入②式，可得 ，解得 ， ，
即直线 的方程为 或 ．
（2）直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
直线 与 的交点为 ，故 ，即 ，
进而得到 ，又 ，
故 ，解得故点 在定直线 上．
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知双曲线的一个顶点是 ，其渐近线方程为
，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：
双曲线的一个顶点是 ，
焦点在 轴上，设双曲线方程为 ，
渐近线方程为 ，
， ，
该双曲线的标准方程为 ．
故选：C
2．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知点F是双曲线 的右焦点，点P是双曲线上在第一象
限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由双曲线方程可得，点F坐标为 ，将 代入双曲线方程，得 ，
由于点P在第一象限，所以点P坐标为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，点P到双曲线的渐近线的距离为 ．
Q是双曲线渐近线上的动点，所以 的最小值为 ．
故选：B．
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））若直线 与双曲线 的一条渐近线垂直，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【详解】由已知得：
双曲线的方程为 ，其渐近方程为 ，
∵直线 与双曲线的渐近线垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B
4．（2022·河北·模拟预测（理））已知双曲线 经过点 ，且右焦点 到其
渐近线的距离为4，双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点 ，其中一条渐近线为 ，
由右焦点 到其渐近线的距离为4，即 ，即 ；
又双曲线 经过点 ，故 ，解得 ，
则 ， ．
故选： ．
5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知 是双曲线 的左右焦点，直线
过 与抛物线 的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【详解】已知双曲线的左焦点 ，双曲线的渐近线方程为 ，抛物线 的焦点 .
因为直线 过 与抛物线的焦点 且与双曲线的一条渐近线平行，
所以 ，又 ，解得： ，所以 .
故选：C
6．（2022·广西广西·模拟预测（理））双曲线 的左右顶点分别为 ，曲线
上的一点 关于 轴的对称点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则当 取到最
小值时，双曲线离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】B
【详解】设 ，
则 ， ，所以 ，
将曲线方程 代入得 ，
又由均值定理得 ，当且仅当 ，即 时等号成
立，
所以离心率 ，
故选：B
7．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））已知双曲线 的左右焦点分别为 ，P是
双曲线上位于第一象限内的一点，且直线 与y轴的正半轴交于A点，三角形 的内切圆在边 上
的切点为Q，双曲线的左焦点 到双曲线的一条渐近线的距离为 ， ，则该双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】假设直线 ， 与圆的切点分别为 ， ，
由对称性可知 ，容易得 ， ， ，
因为点 在双曲线的右支，由双曲线的定义得，
所以 ，
又因为双曲线的左焦点 到双曲线的一条渐近线的距离为 ，
设一条准线为： ，则焦点到准线距离 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：A ．
8．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知 分别为双曲线 的左焦点和
右焦点，过 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点， 的内切圆半径为 ， 的内切圆半径
为 ，若 ，且直线l的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】记 的内切圆圆心为C，边 上的切点分别为M，N，E，
则C，E横坐标相等，则 ，
由 ，即 ，得 ，即 ，记C的横坐标为 ，则 ，
于是 ，得 ，同理 的内心D的横坐标也为a，
则有 轴，由直线的倾斜角为 ，则 ， ，
在 中， ，可得 ，
在 中， ，可得 ，
可得 ．
故选：B
二、多选题
9．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线 经过点 ，则（ ）
A． 的实轴长为 B． 的焦距为
C． 的离心率为 D． 的渐近线方程是
【答案】BC
【详解】由题意得 ，得 即双曲线方程为 ．
所以，双曲线的实轴长是 ，焦距是 ，离心率为 ，渐近线方程是
故BC正确，AD错误，
故选：BC
10．（2022·重庆八中模拟预测）已知点 ， ，若某直线上存在点P，使得
，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由题意， ，双曲线的方程为 ，
“好直线”就是与双曲线有交点的直线，
对于A，联立方程 ，解得 无解，故A不是“好直线”；
对于B，联立方程 ，解得 ， ，故B是“好直线”；对于C，联立方程 ，解得 ，无解，故C不是“好直线”；
对于D，联立方程 ，解得 ， ，即直线
与双曲线有交点，
故D是“好直线”；
故选BD.
三、填空题
11．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））若圆 与双曲线
的渐近线相切，则双曲线的离心率为___________.
【答案】 ##
【详解】双曲线 的渐近线方程为
圆 的圆心为 ，半径为1，由直线和圆相切，
可得 ，解得 ，
则离心率 .，
故答案为：
12．（2022·上海闵行·二模）已知双曲线 的实轴为 ，对于实轴 上的任意
点 ，在实轴 上都存在点 ，使得 ，则双曲线 的两条渐近线夹角的最大值为
___________；
【答案】
【详解】对于实轴 上的任意点 ，在实轴 上都存在点 ，使得 ，
当点 位于原点时，则要 ，才能满足要求，
所以 ，设渐近线与x轴的夹角为 ，则 ，
因为 ，则双曲线 的两条渐近线夹角为 ，故答案为：
13．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，
，一条渐近线方程为 ，若点 在双曲线 上，且 ，则 ________.
【答案】9
【详解】由双曲线C的方程可得其渐近线方程为 ，
由已知可得 ，
所以 ， ，所以 ，
由双曲线定义可知 ，则 或 ，
又因为 ，故 ，
故答案为：9.
四、解答题
14．（2022·陕西·咸阳市高新一中模拟预测（文））已知焦点在 轴上的双曲线 经过点
．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，求弦长 ．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）设双曲线 的方程为 ．将 代入，
得 ，解得 ．
所以 ，双曲线 的方程为 ；
（2）由（1）得双曲线 的方程为 ，设 ．由 ，得 ，由韦达定理得 ．
所以 ，
故弦长 为8．
15．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ，动点C满足直线
AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点 作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线 的平行线 交曲线E
于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 为定值2
【详解】（1）设 ，因为直线AC与直线BC的斜率乘积为3，
所以 ，所以 ，
故动点C的轨迹方程为 ．
（2）易知直线 的斜率存在且不为0．
设直线 ： ， ， ，
联立方程组 得 ，
则 ，
因为P，Q在y轴两侧，
所以 ，所以 ，
所以 ．因为 ，所以 的方程为 ．
设 ，则 ，
联立方程组 ，得 ．
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，即 为定值2．
16．（2022·福建漳州·三模）已知圆 ，圆 ，动圆P与圆 ，圆 都外
切．圆心P的轨迹为曲线C
(1)求C的方程；
(2)已知A，B是C上不同的两点，AB中点的横坐标为2，且AB的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定
圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)存在；定圆E：
(1)
圆 的圆心为 （-2，0），半径为
圆 的圆心为 （2，0），半径为
设动圆P的半径为R，因为动圆P与圆 ，圆 都外切
所以
所以
所以点P在以 ， 为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支上，
设双曲线的方程为
所以 ，所以
注意圆 与圆 外切于点（1，0），P不可能为（1，0），
所以C的方程为
(2)设 ，AB的中点为
因为A，B是C上不同的两点，AB中点的横坐标为2．
所以
得
当 存在时，
因为AB的中垂线为直线l，所以 ，即
所以 过定点T（8，0），．
当 不存在时，A，B关于x轴对称，AB的中线l为x轴，此时l也过T（8，0），
所以存在定圆E： ，使得l被圆E截得的弦长为定值2．
