文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 43 练 直线与双曲线（精练）
刷真题 明导向
一、填空题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分
别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
二、解答题
2．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．直线 与双曲线 有两个交点为 ， ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
2．直线 与双曲线 交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．双曲线 的两焦点为F，F，P点在双曲线上，且满足 ，则△PFF 的面积为
1 2 1 2
（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
4．过双曲线 左､右焦点 分别作倾斜角为 的直线与双曲线 相交于 轴上方 两
点，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线 的左右焦点分别是 、 ，过 的直线 与双曲线相交于 、 两点，则满足
的直线 有
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
6．已知直线 与双曲线 没有公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的标准方程为 ，则下列说法正确的是（ ）A．该曲线两顶点的距离为
B．该曲线与双曲线 有相同的渐近线
C．该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1
D．该曲线与直线 有两个公共点
8．若双曲线 的一个顶点为A，过点A的直线 与双曲线只有一个公共点，
则该双曲线的焦距为( )
A． B． C． D．
9．过点 作直线l与双曲线 交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
10．已知直线 过双曲线 的左焦点 ，且与C的渐近线平行，则l的
倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
11．设A，B为双曲线 右支上的两点，若线段AB的中点为 ，则直线AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
12．直线 与双曲线 的左、右两支各有一个交点，则 的取值范围为（ ）
A． 或 B．
C． D．
13．过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交 于A， 两点， 为 中
点，若 ，则 的离心率为（ ）A． B．2 C． D．
二、多选题
14．若直线 与双曲线 有两个交点，则 的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．直线 与双曲线 的左、右两支各有一个交点，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知直线 经过双曲线 （ ， ）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条
直线，使得 的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
17．已知直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则C的离心率等于 ．
18．直线 与双曲线 有且只有一个公共点，但直线与双曲线不相切，则实数 的值是
.
19．双曲线 ： 的离心率为2，其渐近线与圆 相切，则该双曲线的方
程为 ．
20．双曲线 的左、右焦点分别为 ，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点 作
垂直于 轴的直线 与双曲线 的右支交于 两点，则 ．
21．过双曲线 的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为 ，这样的直线有 条．
22．设直线l： 与双曲线C： 相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为 .23．双曲线 的左､右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且 ，则 的面积为
.
24．已知双曲线 ，过 作直线 与双曲线 交于A、 两点，且 为弦 的中点，则
直线 的方程为 .
25．在平面直角坐标系 中，双曲线 ： ，一条倾斜角为 的直线经过 的一个顶
点及 上另外一点 ，则 的离心率为 .
26．已知双曲线 的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，
M在直线PF上，且满足 ，则 .
27．若点 和点 分别为双曲线 的中心和左焦点，点 为双曲线右支上的任意一
点，则 的取值范围为
28．已知斜率为 的直线 与双曲线 交于 两点，若点 是线段 的中点，
则 的离心率等于 .
29．已知直线 与双曲线 （ ， ）的渐近线交于 ， 两点，且过原点和线段
中点的直线的斜率为 ，则 的值为 ．
四、解答题
30．已知双曲线 的离心率为 ，且其顶点到其渐近线的距离为 .
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线 ： 与双曲线交于 ， 两点，若 ，求 的值.31．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且点 在
上.
（1）求 的标准方程；
（2）直线 与双曲线 交于 两点，求线段 的中点坐标.
32．已知双曲线的中心在原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点
（1）求双曲线 的方程；
（2）设双曲线两条渐近线分别为 ， 已知直线 交 ， 于 两点，若直线 与轨迹 有且只
有一个公共点，求 的面积
33．已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线 的方程；
（Ⅱ）已知直线 与双曲线C 交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 上，求
m的值.
34．已知双曲线 的其中一个焦点为 ，一条渐近线方程为
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点的纵坐标为4，求直线 的方
程.
35．已知双曲线 ，焦点为 ，其中一条渐近线的倾斜角为 ，点 在双曲线上，且 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若直线 交 于 两点，若 的面积为 ，求正实数 的值.
36．已知等轴双曲线 的右焦点为 ， 为坐标原点，过 作一条渐近线的垂线 且
垂足为 ，
（1）求等轴双曲线 的方程
（2）假设过点 且方向向量为 的直线 交双曲线 于 两点，求 的值
37．已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，离心率 ，焦距为 .
（1）求该双曲线方程.
（2）是否定存在过点 的直线 与该双曲线交于 、 两点，且点 是线段 的中点若存在，请求
出直线 的方程，若不存在，说明理由.
38．已知双曲线 的焦点 到渐近线的距离为 ，右顶点为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知过点 的直线 与双曲线 只有一个公共点，求直线 的方程.
39．已知双曲线 的方程为 ，离心率为2，右顶点为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过 的直线 与双曲线 的一支交于 、 两点，求 的取值范围.
40．已知双曲线 （ ， ）中，离心率 ，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线 ： 与双曲线交于 ， 两点，且在双曲线存在点 ，使得 ，求 的
值.
41．已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 且过点
(1)求双曲线方程；
(2)若过 斜率 的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与 对应的顶点为T.试探讨直线MT与
直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.
42．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，焦距为 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过 的直线l交双曲线C于A，B两点，且 的面积为 ，求直线l的方
程.
43．已知双曲线 与 有相同的焦点，且经过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，且 的中点坐标为 ，求直线 的斜率.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．过双曲线 的右焦点作一条斜率为 的直线交双曲线于 两点，则
A． B． C． D．2．过双曲线 的左焦点作直线 ，与双曲线交于 两点，若 ，则这样的直线 有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知双曲线 与椭圆 共焦点，且双曲线与直线 相切，则
（ ）
A． B． C． D．1
4．直线l交双曲线 于A，B两点，且 为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知O为坐标原点，A，B分别是双曲线 的左、右顶点，M是双曲线C上不同于A，B的
动点，直线AM，BM分别与y轴交于点P，Q，则 （ ）
A．16 B．9
C．4 D．3
6．已知双曲线 ： ，直线 经过点 ，若直线 与双曲线 的右支只有一个交点，则直线
的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 与直线 有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交
轴、 轴于 两点．当点 运动时，点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点 为双曲线 的虚轴的上顶点， 为双曲线的右焦点，存在斜率为 的直线交双曲线于点 两点，且 的重心为点 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
9．双曲线 的被点 平分的弦所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．不存在
10．已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的
渐近线交于C，D两点．若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．3
11．已知点 ， 在双曲线 上，线段 的中点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， （不重
合）， 的垂直平分线过点 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．已知双曲线C： 的焦点到渐近线的距离为 ，直线l与C相交于A，B两点，若线段
的中点为 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
14．已知双曲线 ，过点 的直线 与该双曲线相交于 两点，若 是线段 的中点，则
直线 的方程为（ ）A． B．
C． D．该直线不存在
15．已知斜率为 的直线与双曲线 相交于 、 两点， 为坐标原点， 的中
点为 ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．若双曲线 与直线 交于 、 两点，线段 中点的横坐标为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
17．已知直线l和双曲线 相交于A，B两点，线段AB的中点为M，设直线l的斜率为 （
），直线OM的斜率为 （O为坐标原点），则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
18．过双曲线C： 的左焦点 作直线l与双曲线C的右支交于点A，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．点 到双曲线C的渐近线的距离为4
C．直线l的斜率k取值范围是
D．若 的中点在y轴上，则直线l的斜率
19．已知 为双曲线 的右焦点，直线 与该双曲线相交于 两点（其中 在第一象限），连接 ，下列说法中正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B．若 ，则
C．若 ，则点 的纵坐标为
D．若双曲线的右支上存在点 ，满足 三点共线，则 的取值范围是
20．已知双曲线 ： 的左，右焦点分别为 ， ，过点 的直线 与双
曲线 的左支交于点 ，与双曲线 的其中一条渐近线在第一象限交于点 ，且 （ 是坐标
原点），下列结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则双曲线 的离心率为
C．
D．
21．直线l交双曲线 于A、B两点，且 为AB的中点，则l的斜率不可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
22．已知双曲线 的右焦点为 ，过 的动直线 与 相交于 ， 两点，则（ ）
A．曲线 与椭圆 有公共焦点
B．曲线 的离心率为 ，渐近线方程为 ．
C． 的最小值为1D．满足 的直线 有且仅有4条
23．已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双曲线交于两点 、 ，则（ ）
A．若 、 同在双曲线的右支，则 的斜率大于
B．若 在双曲线的右支，则 最短长度为
C． 的最短长度为
D．满足 的直线有4条
24．已知双曲线 ，点 ， 在 上， 的中点为 ，则（ ）
A． 的渐近线方程为 B． 的右焦点为
C． 与圆 没有交点 D．直线 的方程为
25．过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线 相交于A、B两点，若M是AB的中点，
则下列表述正确的是（ ）
A．ba
三、填空题
26．设 为双曲线 的两个焦点，已知点 在此双曲线上，且 ，若此双曲线的离心
率等于 ，则点 到 轴的距离等于 ．
27．已知双曲线 ： 的右焦点为F，P为 右支上一点， 与 x 轴切于点 F 与
y 轴交于点 A，B， ，则 的离心率为 .
28．已知F 为双曲线 的左焦点，过点F 的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，若
1 1，则直线l的斜率为 ．
29．已知双曲线 ，过点 作一直线交双曲线于 、 两点，并使 为 的中点，则直线
的斜率为 ．
30．双曲线 的右焦点为 为双曲线 上的一点，且位于第一象限，直线 分
别交于曲线 于 两点，若 为正三角形，则直线 的斜率等于 .
31．已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交两渐近线于x轴上方的不同两点
C，D，且 ，则 ．
32．若过点P（0，1）作直线l，使l与双曲线 有且仅有一个公共点，则直线l的方程为 ．
33．已知双曲线 的离心率为 ，过左焦点 且斜率为 的直线交 的两支于
两点．若 ，则 ．
34．已知双曲线 ： 的左､右焦点分别为 ， ，一条渐近线为 ，过点 且与 平
行的直线交双曲线C于点M，若 ，则渐近线 的方程为 .
35．已知双曲线C： （ ， ）的焦距是椭圆 焦距的两倍，且它们的离心率互
为倒数，过双曲线C的右焦点F且倾斜角为120°的直线l交C于A，B两点，则 ．
36．过双曲线 ： 的右焦点 作圆 ： 的切线，此切线与 的右支交于 ，
两点，则 .
37．已知双曲线 ： ，若直线 的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若 ，则点P的坐标为 .
38．若双曲线 上存在两个点关于直线 对称，则实数 的取值范围为 .
39．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相交于 ， 两点， 中点横坐
标为 ，则此双曲线的方程是 .
40．已知双曲线 上存在两点A，B关于直线 对称，且线段 的中点在直线
上，则双曲线的离心率为 .
41．过点 作直线 与双曲线 交于 ， 两点，若点 恰为线段 的中点，则实数 的取
值范围是 .
四、解答题
42．已知双曲线C的渐近线为 ，且过点 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线 与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长
．
43．已知双曲线 .
(1)若离心率为 ，求b的值， 的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若 ，是否存在被点 平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．
44．已知双曲线 的离心率为2，右焦点 到一条渐近线的距离为 .(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 ，过点 作直线 与双曲线 相交于 两点，若 ，求直线 的方程.
45．已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为 ，
(1)求双曲线C的离心率e
(2)若直线 与C相交于不同的两点A，B，且 ，求双曲线C的方程．
46．已知双曲线 的右焦点为 ，且C的一条渐近线经过点 .
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点 的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方
程；若不存在，请说明理由.
47．双曲线C的离心率为 ，且与椭圆 有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说
明理由．
48．已知双曲线 ，过点 ，离心率为 .
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点 ，过点N的直线交双曲线C于A、B两点，且 求直线AB的方程
49．已知双曲线 截直线 所得的弦 的长为 ．(1)求 的值；
(2)若 轴上有一点 ，使 的面积为 ，求点 的坐标．
50．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且双曲线经过点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线与 交于 两点（与点 不重合），直线 分别与直线 交
于点 ，求 的值.
51．已知双曲线 ： （ ， ）的左顶点为 ， 到 的一条渐近线的距离为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 与 交于 ， 两点，求 的值．
52．已知双曲线C： 的右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于M，N两点，当
轴时， ．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)当l倾斜角为 时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求 的值．
53．已知双曲线 的左，右顶点分别为A，B，过点 且不与x轴重合的动直线交双曲线C于P，Q两点，当直线PQ与x轴垂直时， ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ和直线 分别交于点M，N，若 恒成立，求t的值．
54．已知双曲线C的方程为 ．
(1)直线 截双曲线C所得的弦长为 ，求实数m的值；
(2)过点 作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段 的中点M的轨迹方程．
55．已知点 ， 依次为双曲线 的左、右焦点，且 ，令 ．
(1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为 ，若直线 与直线 垂直，求双曲线的离心率；
(2)若 ，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为 的直线
与椭圆C交于两点M，N，且 ，求直线 的一般式方程．
56．已知双曲线 的实轴长为6，左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，
轴，且 .
(1)求双曲线 及其渐近线的方程；
(2)如图，若过点 斜率为 的直线 与双曲线 及其两条渐近线从左至右依次交于 ， ， ，四点，且 ，求 .
57．已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点为 ， ，过点 作双曲线
一条渐近线的垂线，垂足为 ，且 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设双曲线 的左顶点为 ，过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，连接 ， 分别交于
轴于点 ， ，且 ，求直线 的方程及 的面积．
58．已知双曲线C的焦点在y轴，对称中心O为坐标原点，焦距为 ，且过
(1)求C的方程
(2)若斜率为2的直线l与C交于P，Q两点，且 ，求|PQ|．
59．已知双曲线 ： 经过点 ，焦点 到渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 相交于 ， 两点， 是弦 的中点，求 的长度．
60．设P是双曲线 右支上任意一点，O为坐标原点．
(1)过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别是E、F，求 的值；
(2)过点P的直线与两条渐近线分别交于A、B两点，且满足 ，求 的面积．
61．已知双曲线 的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，M为双曲线C上的任一点，且点M到双曲线C的两条渐近线距离的乘积为 ，
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P，Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点
B，求 的值．
62．双曲线 的渐近线方程为 ，一个焦点到该渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点 且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：
若不存在，说明理由．
63．已知双曲线 ： 的左、右两焦点分别为 、 ， 为 上一点，
且 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)是否存在直线 ，使 被 所截得的弦 的中点坐标是 ？若存在，求出直线 的方程，若不存在，
请说明理由．
64．已知点 、 为双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线，在 轴的上方
交双曲线 于点 ，且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 过点 且与双曲线 交于A、 两点，若A、 中点的横坐标为1，求直线 的方程.
65．已知双曲线 过点 ，焦距为 ， ．(1)求双曲线C的方程；
(2)是否存在过点 的直线 与双曲线C交于M，N两点，使△ 构成以 为顶角的等腰三
角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
66．已知点 、 ，为双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线，在 轴的上
方交双曲线 于点 ，且 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 过点（0，1）且与双曲线 交于 、 两点，若 、 中点的横坐标为1，求直线 的方程；
（3）过双曲线 上任意一点 作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为 、 ，求证： 为定
值．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知双曲线 的左顶点为 ，过 的直线 与 的右支交于点 ，若线段 的中
点在圆 上，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．已知直线 过双曲线 的左焦点 ，且与 的左､右两支分别交于 两点，设 为坐标原
点， 为 的中点，若 是以 为底边的等腰三角形，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．3．已知双曲线 ，直线 过坐标原点并与双曲线交于 两点（ 在第一象限），
过点 作 的垂线与双曲线交于另一个点 ，直线 交 轴于点 ，若点 的横坐标为点 横坐标的两倍，
则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知椭圆 和双曲线 具有相同的焦点 ， ，A、B、C、D是它们的公共点，且
都在圆 上，直线 与x轴交于点P，直线 与双曲线 交于点 ，记直线 、 的斜率
分别为 、 ，若椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
5．已知双曲线 的右焦点为F，过点F且斜率为 的直线l交双曲线于A、B两点，
线段AB的中垂线交x轴于点D. 若 ，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 ，以右顶点 为圆心， 为半径的圆上一点 （ 不在 轴上）处的切线与交于 两点，且 为 中点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．过双曲线 的右焦点作直线 与该双曲线交于 、 两点，则（ ）
A．存在四条直线 ，使
B．与该双曲线有相同渐近线且过点 的双曲线的标准方程为
C．若 、 都在该双曲线的右支上，则直线 斜率的取值范围是
D．存在直线 ，使弦 的中点为
8．双曲线E的一个焦点为 ，一条渐近线l的方程为 ，M，N是双曲线E上不同两点，则
（ ）
A．渐近线l与圆 相切
B．M，N的中点与原点连线斜率可能为
C．当直线MN过双曲线E的右焦点时，满足 的直线MN只有3条
D．满足 的点M有且仅有2个
9．双曲线 的虚轴长为2， 为其左右焦点， 是双曲线上的三点，过 作
的切线交其渐近线于 两点.已知 的内心 到 轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）
A． 外心 的轨迹是一条直线B．当 变化时， 外心的轨迹方程为
C．当 变化时，存在 使得 的垂心在 的渐近线上
D．若 分别是 中点，则 的外接圆过定点
10．已知双曲线 ： 与椭圆 有公共焦点， 的左､右焦点分别为 ， ，
且经过点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的标准方程为
B．若直线 与双曲线 无交点，则
C．设 ，过点 的动直线与双曲线 交于 ， 两点（异于点 ），若直线 与直线
的斜率存在，且分别记为 ， ，则
D．若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ， ，则
（ 为坐标原点）的面积为定值1
三、填空题
11．过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于P、Q两点，则 的值为
.
12．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，以 为圆心，以 为半径的圆交双曲线 的右
支于 ， 两点（ 为坐标原点）， 的一个内角为 ，则双曲线 的离心率为 ．
13．设直线 与双曲线 两条渐近线分别交于点 ， ，若点
满足 ，则该双曲线的渐近线方程是 ．
14．已知双曲线方程为 ，直线 分别交双曲线左右两支于A，B两点，与 轴交于点C，则 的范围是 ．
15．设双曲线 ， 是它的左焦点，直线l通过它的右焦点 ，且与双曲线的右支交于A，B两点，
则 的最小值为 .
四、解答题
16．已知直线 ： 与双曲线 ： 相交于两个不同的点 ， ，线段 的垂直平分线
分别与 ， 轴相交于 ， 两点．
(1)若 ，且点 ， 都在双曲线的右支上，求 的取值范围；
(2)若 （ 为坐标原点）的面积为 ，且 ，求 的取值范围．
17．已知双曲线 ，过点 作直线 交双曲线 的两支分别于 ， 两点，
(1)若点 恰为 的中点，求直线 的斜率；
(2)记双曲线 的右焦点为 ，直线 ， 分别交双曲线 于 ， 两点，求 的取值范围.
18．设F是双曲线 ： 的左焦点，经过F的直线与 相交于M，N两点．
(1)若M，N都在双曲线的左支上，求 面积的最小值．
(2)是否存在x轴上一点P，使得 为定值?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
19．已知双曲线 的焦距为4，虚轴长为2，左右焦点分别为 和 .直线 与曲
线 交于不同的两点 .
(1)求双曲线 的方程及其离心率 ；
(2)如果直线 过点 且 ，求直线 的方程；(3)是否存在直线 使得 两点都在以 为圆心的圆上？如果存在，求 的取值范围；如果不存在，
请说明理由.
20．已知双曲线C以 为渐近线，其上焦点F坐标为 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于 两点， 的中垂线交y轴于点T，问 是否为定值，
若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
21．已知曲线C为双曲线 的右支，斜率为k的直线l过双曲线右焦点 ，且与曲线C相交于A，
B两点.
(1)求斜率k的取值范围；
(2)在x轴上是否存在点M使得 ，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
22．已知焦点在x轴上的双曲线C的一条渐近线 方程为 ，左焦点F到直线 的距离为1，右顶点为
A，直线 ： 与双曲线相交于P、Q两点（P、Q不和双曲线的顶点重合）.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当 时，求PQ的长；
(3)当 为何值时，以PQ为直径的圆经过点A.
23．已知双曲线 （ ， ）的渐近线方程为 ，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 ， 是双曲线 右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线 交AB于 ，点 的横坐标为2，则是
否存在半径为1的定圆 ，使得 被圆 截得的弦长为定值，若存在，求出圆 的方程；若不存在，请说明
理由.24．已知双曲线 的实轴长为2，且双曲线 上任一点 到它的两条渐近线的距离之
积为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知过点 的直线 与双曲线 交于 两点.
（i）当 时， 能否是线段 的中点？若能，求出 的方程；若不能，说明理由；
（ii）若点 不是线段 的中点，写出 所满足的关系式（不要求证明）
