文档内容
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
学习目标：1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
2.能运用三角形的内角和定理进行计算.
重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
难点：能运用三角形的内角和定理进行计算.
自主学习
一、知识链接
1.三角形按照角的大小分类，可以分为_________、_________、_________.
2.分别用量角器量出下面三个三角形的内角度数，并填表.
三角形形状 每个内角的度数 三个内角的和
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
B
A C参考答案
自主学习
一、知识链接
1.锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
2.
三角形形状 每个内角的度数 三个内角的和
锐角三角形 180°
直角三角形 180°
钝角三角形 180°
二、新知预习
1.180°
3.180° 无关
三、自学自测 80°
四、我的疑惑
课堂探究
二、要点探究
探究点1：三角形内角和定理的证明
问题1：
证法1：过点A作直线l∥BC，
∴∠B=∠1，(两直线平行，内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴∠A=∠1，(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
证法3：过BC上一点D作DE∥AC，作DF∥AB.
∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，
∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)
∴∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
思考：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
探究点2：三角形内角和定理的应用
例1 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.【变式题】 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
例2 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
例3 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°， 从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.
解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
【变式题】 解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出
∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度
数．
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
针对训练 1.102 2.直角 3.60 50 70
例4 解：由题意得∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °，
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°，∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180 °-∠ABC- ∠ CAB=180°-60°-30° =90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
【变式题】 解：如图，
由题意得BE∥AD，∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°，∠BAC=40°+15°=55°，
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°．当堂检测
1.x=70 x=60 x=30 x=50 2.280 °
3.解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．
4.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD= ∠BAC=30°，∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.
拓展提升
5.解：（1）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°．
（2）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A．
