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11.2 与三角形有关的角
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
题型1：三角形的内角和定理
1.△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．40° C．60° D．50°
【变式1-1】已知一个等腰三角形的顶角为40°，则它的一个底角等于（ ）
A．30° B．70° C．140° D．125°
【变式1-2】如图，将△ABC的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若
∠A=65°，∠ACD=25°，则∠B=（ ）.
A．45° B．60° C．35° D．40°
三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
注意：
(1)外角的特征：
①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条
边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常
每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
（3）因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是 180°，可
推出三角形的三个外角和是360°
题型2：三角形的外角性质和外角和
2.如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，
∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．90° D．80°
【变式2-1】如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
【变式2-2】如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数．题型3：三角形的内角和定理的应用-方程
3.在△ABC中， ∠A-∠B=∠B-∠C=15° ，求∠A、∠B、∠C的度数.
【变式3-1】在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠B－40°，求△ABC的各个内角的度
数.
【变式3-2】求出下列图形中的x的值：
题型4：三角形的内角和定理的应用-三角板
4.小明在数学课上，将文具盒中的直角三角板与一直尺放置如图，若测得∠AEF
＝50°，那么∠BDA＝ （ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【变式4-1】如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角
板的斜边AB上，BC与DE交于点M，若∠ADF＝95°，则∠BMD为（ ）A．80° B．85° C．90° D．100°
【变式4-2】将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠a的大小为 ．
题型5：三角形的内角和定理的应用-高、角平分线
5.如图，AF，AD分别是 △ABC 的高和角平分线，且 ∠B=34° ， ∠C=76°
，求 ∠DAF 的度数.
【变式5-1】如图，在 △ABC 中， ∠B=32° ， ∠C=54° ， AD⊥BC 于D，
AE平分 ∠BAC 交BC于E， DF⊥AE 于F，求 ∠ADF ．
【变式5-2】（8字模型）如图，已知AB，CD是两条相交线段，连结AD，CB，分别作∠DAB和∠BCD的平分线相交于点P，若∠D=50°，∠B=40°，则∠P的度
数为( )
A．50° B．45° C．40° D．30°
题型6：三角形的内角和定理的应用-平行线
6.已知：如图，AB∥CD，点E在AC上.求证：∠A=∠CED+∠D.
【变式6-1】已知：如图在△ABC中，BD是角平分线，DE//BC，∠A=60°，
∠C=80°，求∠BDE的度数.
【变式6-2】如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若
∠ADE=155°，求∠B的度数.
题型7：三角形的内角和定理的应用-多角和
7.如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（
）A．90° B．180° C．270° D．360°
【变式7-1】如图所示，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.
【变式7-2】如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= （ ）度.
A．180 B．270 C．360 D．540
题型8：三角形的内角和定理的应用-数量关系
8.（双外角模型）如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分
∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）求∠E的度数．
（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由．
【变式8-1】定义：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图
形称之为“8字形”.试解答下列问题：（1）在图1中，∠A、∠B、∠C、∠D之间的关系为 .
（2）如图2，在（1）的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点
P，并且与CD、AB分别相交于点M、N.
①仔细观察，在图2中有 个以线段AD为边的“8字形”；
②若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数（请说明理由）；
③∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间的数
量关系，不需说明理由.
题型9：三角形的内角和定理的应用-新定义
9.定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值 k(k>1) 称为这个等腰
三角形的“优美比”．若在等腰三角形 ABC 中， ∠A=36°, 则它的优美比 k 为
（ ）
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
【变式9-1】定义：当三角形中一个内角 α 是另一个内角 β 的两倍时，我们称此三
角形为“特征三角形”，其中 α 称为“特征角” 如果一个“特征三角形”的一
个内角为48°，那么这个“特征角” α 的度数为 ．
【变式9-2】三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做
“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为 60°，则另外两个角分
别为 ．
直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.
反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.
注意：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是
45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.
题型10：直角三角形的性质
10.若三角形三个内角度数之比为2：3：7，则这个三角形一定是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【变式10-1】一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中 ∠A=45° ，
∠D=30° ，若 DF//BC ，则 ∠AGE 等于 度.
【变式10-2】两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，
∠C＝30°，AB与DF交于点M，BC∥EF，求∠BMD的度数．
【变式10-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝
∠B+30°，求∠AEB的度数.
题型11：直角三角形的判定
11.在下列条件：①∠A-∠B=∠C ；②∠A：∠B：∠C=2：3：5 ；③
∠A-90°=∠B ；④2∠A=2∠B=∠C 中，能确定 △ ABC是直角三角形的条件
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式11-1】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A
＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式11-2】如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求
证△ACE是直角三角形．
一、单选题
1．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若∠A=40°，∠C=35°，则∠BED=
（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
2．在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝2:3:4，则∠B等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
3．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．在 ΔABC 中，若 ∠B,∠C 都是锐角，则 ΔABC 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
5．将一副三角板按如图的方式摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为( )A．80° B．60° C．105° D．75°
6．如图，AB=AC，AF∥BC，∠FAC=75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE
的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
7．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x-y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有
一个内角为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．60°
二、填空题
8．在 △ABC 中， ∠A=60∘ ， ∠C=2∠B ，则 ∠C= 度 .
9．如图，△ABC中，∠A=50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2+∠3+∠4=
10．如图， l ∥m，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是 ．11．如图，在 ΔABC 中，点 D 、 E 分别在 AB 、 BC 上，且 DE // AC ，
∠A=80o ， ∠BED=55o ，则∠ABC= .
12．如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A ，得∠A ；
1 1
∠A BC与∠A CD的平分线相交于点A ，得A ；⋯；∠A BC与∠A CD的平
1 1 2 2 2019 2019
分线相交于点A ，得∠A ，则∠A = ．
2020 2020 2020
三、解答题
13．如图，△ABC与△DBE中，AC∥DE，点B、C、E在同一直线上，AC，BD相交
于点F，若∠BDE=85°，∠BAC=55°，∠ABD：∠DBE=3：4，求∠DBE的度数．
14．如图， B 村在 A 村的正东方， C 村在 A 村的北偏东 25° 方向，且在 B 村
的西北方， CD⊥AB ,垂足为点 D ， E 村在 AB 上，连接 CE ，恰好平分
∠ACB ，那么 E 村在 C 村的什么方向？
四、综合题
15．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB边的垂直
平分线EF交BD于点E，连AE（1）比较∠AED与∠ABC的大小关系，并证明你的结论
（2）若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度数．
