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11.3.2多边形的内角和
一、单选题
1．如图， 是五边形ABCDE的3个外角，若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多边形内角和 ，结合计算即可．
【详解】 ，
，
，
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形内角和，熟知多边形内角和公式 是解题关键．
2．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1440° B．1080° C．720° D．360°
【答案】C
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边
数，由多边形内角和公式可求解．
【详解】∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=180°×（6-2）=720°，故选：C．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
3．一个多边形的内角和等于它的外角和的 倍，则它是（ ）边形．
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和等于它的外角和的3倍可列方程求得边数．
【详解】设多边形的边数为n，
根据题意得：（n−2）×180°＝360°×3．
解得n＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
4．如果一个多边形的内角和为 ，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.
【详解】根据题意,得
(n-2)×180=1260，
解得n=9，
∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：
n-3
=9-3
=6.
故选C.
【点评】本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算
经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.
5．一个多边形的每个外角都等于相邻内角的 ，这个多边形为（ ）A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
【答案】B
【分析】设一个外角是x，则一个内角是3x，列得3x+x=180°，求得x，再用外角和360°除以x即可得到答
案．
【详解】设一个外角是x，则一个内角是3x，3x+x=180°，
解得：x=45°，
由于多边形的外角和为360°，
则边数为360°÷45°=8，
故选：B．
【点评】此题考查多边形内角与外角互补计算，多边形外角和，求多边形边数，熟记多边形外角与内角的
关系是解题的关键．
6．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2
所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）
A．90° B．108° C．120° D．135°
【答案】B
【分析】先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．
【详解】正五边形的内角和= ，
∴∠BAE= ，
故选：B．
【点评】此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的
关键．
7．如图，在 中， ，沿图中虚线截去 ，则 （ ）A．288º B．252º C．180º D．144º
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可．
【详解】∵∠C=72°，
∵∠A+∠B=180°-72°=108°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°-108°=252°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的面积和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
8．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 ，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【点评】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
二、填空题9．科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求行走和旋转．某一指令规定：如图，机器人先向前行
走1米，然后左转45°向前行走1米，……．若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机
器人共走了______米．
【答案】8
【分析】结合题意，根据正多边形外角和的性质计算，即可得到多边形的边数，经计算即可得到答案．
【详解】根据题意得：机器人行走的多边形外角为
∴多边形的边数为：
∴多边形的周长为： 米
故答案为：8．
【点评】本题考查了正多边形的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和的性质，从而完成求解．
10．从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度．
【答案】1800
【分析】设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9，计算出n的值，
再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案．
【详解】设多边形边数为n，由题意得：
n-3=9，
n=12，
内角和： ．
故答案为：1800．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出
(n-3)条对角线，多边形内角和公式(n-2)•180°．
11．在四边形 中， 与 的角平分线交于点 ， ，过点 作交 于点 ， ， ，连接 ， ，则 __________．
【答案】4
【分析】根据∠DEC的度数以及角平分线的定义算出∠A+∠ABC=230°，再结合AD∥BF，得出∠CBF=50°，
利用 算出∠BFC=90°，最后根据 和 算出结果.
【详解】∵ ，
∴∠EDC+∠ECD=180°-115°=65°，
又∵ 与 的角平分线交于点 ，
∴∠ADC+∠BCD=65°×2=130°，
∴∠A+∠ABC=360°-130°=230°，
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF=180°，
∴∠CBF=230°-180°=50°，
∵ ，
∴∠BCE=40°，
∴∠BFC=90°，
∵ ，BF＞0，
∴ ，
解得：x=2，
即CE=2×2=4.故答案为：4.
【点评】本题考查了多边形的内角和，平行线的性质，三角形的面积，角平分线的定义，有一定难度，解
答本题的关键是通过角的运算得到∠BFC=90°.
12．如图1六边形的内角和 为 度，如图2六边形的内角和
为 度，则 ________．
【答案】0
【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.
【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴ =180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴ =180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
【点评】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几
个三角形和四边形的形式进行求解.三、解答题
13．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ，
，求 的度数．
【答案】
【分析】如图，由三角形的外角的性质可得： 可得
再利用三角形的内角和求解 再利用四边
形的内角和求解 再求解
从而可得结论．
【详解】如图，由三角形的外角的性质可得：【点评】本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，掌握
以上知识是解题的关键．
14．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多 ，求该多边形的边数；
（2）如图，已知 是 的角平分线， 是 的高， 与 相交于点F，
， ，求 和 的度数．
【答案】（1）该多边形的边数为8；（2） ； ．
【分析】（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可；
（2）根据角平分线的性质得到 ，再由三角形的外角性质可得
，根据 是 的高及三角形的外角性质可得 ．
【详解】（1）设该多边形的边数为n，由已知，得
，
解得 ，∴该多边形的边数为8；
（2）∵ 是 的角平分线，且 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三
角形外角的性质．
15．已知在四边形ABCD中， ．
（1）如图1，若BE平分 ，DF平分 的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分 、 的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分 、 的邻补角（即
），求 度数．
【答案】（1） ，证明见解析；（2） ，证明见解析；（3）54°
【分析】（1）结论：BE⊥DF，如图1中，延长BE交FD的延长线于H，证明∠DEG+∠EDG=90°即可；（2）结论：DE//BF，如图2中，连接BD，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；
（3）延长DC交BE于H．由（1）得： ，利用五等分线的定义可求
，由三角形的外角性质得 ，代入数值计算即可．
【详解】（1） ．
证明：延长BE、FD交于G．在四边形ABCD中，
， ，
．
， ．
平分 ，DF平分 ，
， ，
，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG，∠FDN=∠EDG，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∴∠EGD=90°，即BE⊥DF．
（2） ．
证明：连接DB．
， ．
又 ， ．
、DF平分 、 的邻补角，， ，
．
在 中，
，
，
， ．
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：
．
、DE分别五等分 、 的邻补角，
，
由三角形的外角性质得，
， ，
，
．
【点评】本题考查多边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线．16．阅读材料
在平面中，我们把大于 且小于 的角称为优角．如果两个角相加等于 ，那么称这两个角互为
组角，简称互组．
（1）若 ， 互为组角，且 ，则 ______．
习惯上，我们把有一个内角大于 的四边形俗称为镖形．
（2）如图，在镖形ABCD中，优角 与钝角 互为组角，试探索内角 ， ， 与钝角
之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．
【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D，理由见解析．
【分析】（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可；
（2）理由①：根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角
∠BCD+钝角∠BCD=360°´，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：连接AC并延长，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，
∴∠2=360°-∠1=225°，
故答案为：225°；
（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．
理由如下：
理由①：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´，
∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：如下图，连接AC并延长，
∵∠BAC+∠B=∠BCE，∠DAC+∠D=∠DCE（三角形外角的性质），
∴钝角∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D=∠A+∠B+∠D．【点评】本题考查三角形的外角，四边形内角和．能正确作出辅助线，将四边形分成两个三角形是理由②
的关键．
17．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度．
（1）求这个多边形的边数；
（2）求这个多边形的对角线的总条数．
【答案】（1）9；（2）27
【分析】（1）利用多边形的外角和为360°，根据内角和与外角和的关系及多边形内角和公式求出边数即
可得答案；
（2）根据多边形对角线条数公式计算即可得答案．
【详解】（1）设多边形的边数为n，
∵多边形的外角和为360°，内角和比它的外角和的3倍还多180度，
∴此多边形的内角和为360°×3+180°=1260°，
∴（n-2）×180°=1260，
解得：n=9，
答：这个多边形的边数是9．
（2）由（1）可知此多边形为9边形，
∴从一个顶点可引出对角线9-3=6（条），
∴这个多边形的对角线的总条数为6×9÷2=27（条），
答：这个多边形的对角线的总条数为27条．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角、多边形的对角线，掌握多边形的内角和定理、多边形的对角线
的条数的计算公式是解题的关键．
18．（1）填表：
n（凸多边形的边数） 3 4 5 …
m（凸多边形中角度等于135°的内角 …个数的最大值）
（ 2 ）猜想给定一个正整数 n ，凸 n 边形最多有 m 个内角等于 135 ° ，则 m 与 n 之间有怎样的关系？
（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说
明理由．
【答案】（1）1，2，3；（2）m＝n﹣2；（3）不成立，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于
135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于
135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°，理由见解析
【分析】（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；
（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2；
（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和
为360°，分类讨论，可确定凸n边形中最多有多少个内角等于135°．
【详解】（1）∵三角形中只有一个钝角，
∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；
∵四边形的内角和为360°，
∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；
∵五边形的内角和为540°，
∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；
答案：1，2，3；
（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．
即m＝n﹣2；
（3）取n＝7时，m＝6，验证猜想不成立；
设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，
∵凸n边形的n个外角和为360°，
∴k≤ ＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8，
讨论n≠8时的情况：
（1）当时n＞8，m的值是7；
（2）当n＝3，4，5时，m的值分别为1，2，3；
（3）当n＝6，7时，m的值分别为5，6；
综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内
角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度较大，注意掌握分类讨论思想的应用是解
此题的关键．
19．如图锐角∠EAF，B、C分别为 AE、AF上一点．
（1）如图 1，∠EAF=50°，连接BC，∠CBA=α，∠BCA=β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点
P，则α+β=_____°，∠P=______°；
（2）Q为∠EAF 内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为 BM、CN．
①如图 2，若∠EAF=50°，∠CQB=100°，BM与DN交于点P，则∠BPC的度数为______；
②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF 相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；
③BM与 CN 可能垂直吗？若不能说明理由，若能，写出此时∠CQB与∠EAF 的数量关系．
【答案】（1） ；（2）① ，② ，理由见解析，③能垂直，
【分析】（1）由 利用三角形的内角和定理可得： 结合平角的定义
再求解 结合 分别平分 ，求解 ，再利用三角形
的内角和定理可求解 ；
（2）①由 求解 ，结合平角的定义求解：
再利用角平分线求解 再利用四边形的
内角和定理可得答案；②延长 交 于 设 利用四边形的内角和定理，平
角的定义，角平分线的定义求解 由三角形的外角性质可得：证明 从而可得猜想的结论；③设
延长 交 于 证明 再利用平角的定义，角
平分线的性质求解： ，再由四边形的内角和定理可得
整理即可得到结论．
【详解】（1）如图1，
分别平分 ，
故答案为：
（2）①如图2，
分别平分故答案为：
②如图3，猜想： 理由如下：
延长 交 于
设
分别平分
③如图4， 与 能垂直，理由如下：设
延长 交 于
分别平分
即
【点评】本题考查的是角平分线的定义，平角的含义，三角形，四边形的内角和定理，三角形的外角的性
质，平行线的判定，垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键．
20．如图1，已知 是 的一个外角，我们容易证明 ，即三角形的一个外
角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的
数量关系呢？尝试探究；
（1）如图2， 与 分别为 的两个外角，则 ______ （选填
“ ”“ ”或“ ”），并说明理由；
初步应用：
（2）如图3，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ， ， ，则
______；（直接写出答案）
拓展延伸：
（3）如图4，在 中， ， 分别平分外角 ， ， 与 有何数量关系？请利
用上面的结论直接写出答案：______；
解决问题：
（4）如图5，在四边形 中， ， 分别平分外角 ， ，请利用上面的结论探究
与 ， 的数量关系．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）55°；（3） ；（4）
．
【分析】（1）根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理解答即可；
（2）由（1）题的结论可得 = ，然后代入数据计算即可；
（3）根据角平分线的定义可得∠PBC+∠PCB= (∠DBC+∠ECB)，然后结合（1）题的结论三角形的内角和
定理解答即可；（4）如图，根据角平分线的定义和平角的定义可得 ，再根据四边形的内角
和定理和三角形的内角和定理即可推出结论．
【详解】（1） = ，理由是：
∵ ， ， ．
∴ ；
故答案为：=；
（2）由（1）题的结论可得： = ，
∴135°+100°= ，
∴∠C=55°，
故答案为：55°．
（3）∵ ， 分别平分 ， ，
∴∠PBC= ∠DBC，∠PCB= ∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB= (∠DBC+∠ECB)，
∵ = ，∴∠PBC+∠PCB= ，
∴ ．
故答案为： ；
（4） ．
理由：如图，∵ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在四边形 中， ，
又∵在 中， ，∴ ．
【点评】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和、三角形的外角性质和四边形的内角和等知识，熟
练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键．
